Petrobras 2014 - questão 36

Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos,
a segunda opção é considerada melhor
(A) dependendo somente da taxa j.
(B) dependendo somente do valor do serviço.
(C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j.
(D) em qualquer situação.
(E) em nenhuma situação.

Resolução

Questão mal elaborada, em que para resolver precisamos de uma certa dose de boa vontade com o examinador.

A questão não disse (mas deveria ter dito) que o valor total pago é o mesmo nas duas situações. Exemplo: ou o empreiteiro recebe uma vez de 12.000,00, um mês após o final da obra, ou recebe três prestações de 4.000,00 cada, sendo a primeira no final da obra.

Deste modo, temos o seguinte.

	Opção 1	Opção 2
Data 0 (fim da obra)		4.000
data 1 (um mês depois)	12.000	4.000
Data 2 (dois meses depois)		4.000

Vamos usar a data 1 como data focal. O valor do fluxo de caixa 2 na data focal tem que ser maior que o fluxo de caixa 1 na mesma data, para que a segunda opção seja melhor:

$ {4.000 \times (1+j)} + 4.000+ {4.000 \over 1+j}  > 12.000 $

Dividindo todos os termos por 4.000:

$ {1 \times (1+j)} + 1+ {1 \over 1+j}  > 3 $

$  {1 \over 1+j}  > 2 - (1+j) $

$  {1 \over 1+j}  >1-j $

Supondo taxas positivas, podemos multiplicar todos os termos por $1+j$:

$1 > (1-j) \times (1+j) $

$ 1 > 1 - j^2 $

Como $j^2$ é positivo, então o lado direito da igualdade será menor que 1, sempre. Portanto, essa desigualdade vale para qualquer taxa "j" positiva.

Portanto, a segunda opção é sempre melhor, em qualquer situação.

Gabarito: D