ISS SP 2012 - Distribuição geométrica

Yuri, aluno do meu curso de estatística, solicitou a resolução de uma questão do ISS SP 2012, que trata da distribuição geométrica.

Ressalto que todas as questões de exatas do ISS SP 2012 estão comentadas no www.tecconcursos.com.br

Vamos lá, falemos um pouco sobre a distribuição geométrica.

Suponha que realizamos repetidas vezes um experimento de Bernoulli, até que obtenhamos o primeiro sucesso. A variável “X” indica o número de tentativas até conseguirmos o primeiro sucesso. “X” é uma variável com distribuição geométrica.

Exemplo: “X” designa o número de lançamentos de uma moeda até obtermos “cara” pela primeira vez.

Outro exemplo: “X” designa o número de lançamentos do dado até obtermos um múltiplo de 3.

No primeiro caso, a cada lançamento a chance de sucesso (“cara”) é 50%. Dizemos que

No segundo caso, a cada lançamento do dado a chance de sucesso (“múltiplo de 3”) é 1/3. Assim .

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na “k-ésima” tentativa é:

É possível então calcular a média e a variância de “X”, assim:

Finalmente, vamos á questão:

(ISS SP 2012 – FCC)

Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X = 2 | X ≤ 3) é igual a

a) 5/27

b) 4/27

c) 2/9

d) 1/3

e) 6/19

Resolução:

Temos uma distribuição geométrica. Sua média é:

Logo, temos:

Por fim:

Gabarito: E

Analista da Receita 2009–Estatística

Hoje resolvo uma questão do concurso de Analista da Receita. A questão foi pedida pelo Renato, aluno do meu curso de RLQ.

Segue enunciado:

(ESAF - ATRFB 2009) O modelo de regressão linear múltipla Y= α + βX + γZ + ε é ajustado às observações Y_i, X_i e Z_i, que constituem uma amostra aleatória simples de tamanho 23. Considerando que o coeficiente de determinação calculado foi R² = 0,80, obtenha o valor mais próximo da estatística F para testar a hipótese nula de não-existência da regressão.

a) 84

b) 44

c) 40

d) 42

e) 80

Resolução:

Sejam:
- SQT: soma de quadrados total

- SQM: soma de quadrados do modelo de regressão.

- SQR: soma de quadrados dos resíduos

- r2: coeficiente de determinação

- "n": o tamanho da amostra.

- "p": a quantidade de parâmetros a serem estimados. Nesta questão, temos três parâmetros ()

Temos:







Logo:





Sejam:
- QMT: quadrado médio total

- QMM: quadrado médio do modelo de regressão

- QMR: quadrado médio dos resíduos.

O quadrado médio é dado pela respectiva soma de quadrados dividida pelo número de graus de liberdade.

A soma de quadrados total tem graus de liberdade.



Ou seja, SQT tem 22 graus de liberdade.

A soma de quadrados dos resíduos tem graus de liberdade. Como a amostra tem tamanho 23 () e são três parâmetros a serem estimados (), ficamos com:



Logo, SQR tem 20 graus de liberdade.

Por fim, o número de graus de liberdade de SQM é dado pela diferença entre os valores acima:



SQM tem 2 graus de liberdade.

A estatística F é dada por:











A questão foi anulada por não estar prevista no edital do concurso.

Gabarito: anulado

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Analista da Receita 2009 - Variância

Jamile Farias, aluna do meu curso de estatística, pediu a solução da questão abaixo, da prova do ATRFB 2009.

(ESAF – ATRFB 2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde X_i representa o i-ésimo valor observado e f_i a respectiva frequência.

Xi	5	6	7	8	9
fi	2	6	6	4	3

a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.

e) 1, 4.

Resolução:

Para facilitar as contas, vamos subtrair 7 de todos os valores de X, para que, quando elevarmos ao quadrado, não tenhamos números muito grandes.

Essa variável “d” é uma variável auxiliar, criada a partir de “X”. Nosso objetivo é diminuir a quantidade de contas.

Xi	d	fi	d f
5	-2	2	-4
6	-1	6	-6
7	0	6	0
8	1	4	4
9	2	3	6
TOTAL		21	0

Agora vamos calcular a média dos valores de d².

d	d2	fi	d f
-2	4	2	8
-1	1	6	6
0	0	6	0
1	1	4	4
2	4	3	12
TOTAL		21	30

A variância de d fica:

Mas nós não queremos a variância de d. Nós queremos a variância de X.

Somas e subtrações não interferem na variância. Logo, a variância de d é igual à variância de X.

Gabarito: C

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Probabilidade condicional

Hoje respondo a uma dúvida da Cristiane Ferreira. Não sei se é de algum concurso ou não.

 

Enunciado:

Dados A e B eventos com

calcular:

 

Resolução.

Antes de tudo, temos que relembrar a fórmula da probabilidade condicional. É a que segue:

Agora aplicamos este resultado à questão.

No numerador temos a intersecção entre dois conjuntos:

- o conjunto “A união com B”

- o conjunto B

Vejam que o segundo conjunto está contido no primeiro. Logo, a intersecção corresponderá ao conjunto menor:

Esse resultado não é tão difícil de entender. Se é dado que o evento B ocorreu, então temos certeza absoluta de que ocorreu o evento A ou o evento B (união). Por isso a probabilidade é 1.

Antes de atacarmos a letra “b”, vamos calcular a probabilidade da união:

Na letra “b”, a primeira probabilidade a ser calculada é:

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:

No numerador, queremos a probabilidade de que o evento “A” não ocorra e o evento “B” também não ocorra.

Isso é exatamente o contrário da união entre A e B. Para ficar mais claro, vejamos o diagrama:

Em amarelo temos a união entra A e B.

Em azul temos a parte do diagrama que corresponde à intersecção entre (A não ocorre) e (B não ocorre). Os eventos em amarelo e em azul são complementares.

Assim:

Agora podemos voltar no cálculo da probabilidade condicional:

Analogamente:

Por fim, outra forma de resolver a questão é trabalhar com um exemplo numérico.

Considere que tenhamos em uma urna 12 bolas numeradas de 1 a 12.

O evento A ocorre quando extraímos um bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B ocorre quando extraímos uma bola do conjunto {4, 5, 6, 7}

Com isso, vocês podem verificar que:

Se é dado que B ocorreu, então extraímos uma das seguintes bolas: 4, 5, 6, 7.

Logo, temos certeza de que o evento A união com B ocorreu. Temos certeza que alguma bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} foi extraída. Por isso a probabilidade da letra “a” é 1.

Se é dado que B não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “A” é de 5 em 8. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 8 possíveis. Por isso:

Se é dado que A não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {7, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “B” é de 5 em 6. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 6 possíveis. Por isso:

Cris, espero ter ajudado.

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Vítor

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