Exatas para Concursos: agosto 2013

terça-feira, 13 de agosto de 2013

Resolução da prova de RLQ EPPGG 2013–questão 40

40- Em um país distante, as tarifas ferroviárias são diretamente proporcionais à raiz quadrada da distância percorrida. A distância da cidade Bengé até a cidade Mengé, por trem, é de 1250 km e a tarifa é de R$ 182,00. Um turista que está em Bengé quer ir até Mengé, viajando sempre de trem. No entanto, em vez de o turista ir diretamente de Bengé para Mengé, ele vai de Bengé para Cengé, que ﬁca distante 800 km de Bengé. No outro dia, ainda de trem, o turista, sai de Cengé para Mengé, cuja distância é de 450 km. Desse modo, se o turista tivesse ido diretamente de Bengé para Mengé, a redução percentual dos gastos com as tarifas de trem, considerando duas casas após a vírgula, seria aproximadamente de:

a) 28,57 %

b) 27,32 %

c) 25,34 %

d) 43,78 %

e) 22,33 %

Seja “p” o preço e “d” a distância percorrida. “k” é a constante de proporcionalidade. Temos:

Foi dito que quando p = 182, d = 1250. Logo:

O turista faz um primeiro trecho de 800 km. Logo:

O segundo trecho é de 450 km:

O preço total pago é:

A economia que seria obtida se ele fosse diretamente de uma cidade a outra seria:

Em termos percentuais, temos:

Gabarito: A

Resolução prova EPPGG–questão 39

39- Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. Se Eva não vai ao cinema, ela não bebe caipirinha. Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema. Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema. Segue-se, portanto, que Eva:

a) vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.

b) não vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha.

c) vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.

d) não vai à praia, não vai ao cinema, não bebe caipirinha.

e) não vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha.

As premissas são:

Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha.

Se Eva não vai ao cinema, ela não bebe caipirinha.

Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema.

Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema

Vamos pegar a segunda premissa e vamos aplicar a equivalência do condicional que nos diz que:

Ficamos com:

Se Eva bebe caipirinha, então ela vai ao cinema.

A terceira premissa nos diz:

Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema.

Vejam que, caso Eva beba caipirinha, temos problema. Uma premissa nos diz que ela vai ao cinema. A outra diz que não vai ao cinema. É uma situação absurda: uma premissa indo de encontro à outra.

Para que isso não ocorra, já temos certeza então que Eva não pode beber capirinha.

Eva não bebe caipirinha

Agora aplicamos a equivalência lógica do condicional na primeira premissa. Ficamos com:

Se Eva não bebe caipirinha, então não vai à praia.

Já sabemos que ela não bebe caipirinha (antecedente V). Isso é condição suficiente para que ocorra o consequente:

Eva não vai à praia.

A última premissa nos diz:

Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema

O antecedente é V. Isso é condição suficiente para que o consequente ocorra. Logo:

Eva vai ao cinema.

Gabarito: B

Resolução Prova EPPGG 2013–questão 38

38- Paula e Flávia moram juntas e ambas trabalham na mesma loja e no mesmo horário. Elas caminham para o trabalho todos os dias e na mesma direção, de modo a chegarem no horário do início do trabalho. Flávia leva 10 minutos a menos do que Paula para chegar à loja exatamente no horário do início do trabalho. Um dia, por motivos particulares, Paula sai de casa com o objetivo de chegar à loja 10 minutos antes do início do trabalho. Nesse mesmo dia, após 5 minutos de Paula ter saído, Flávia começa a caminhar para a loja. Desse modo, sabendo que ambas caminham sempre na mesma direção, o tempo que Flávia levará para alcançar Paula, antes do início do trabalho é, em minutos, igual a:

a) 20

b) 30

c) 25

d) 35

e) 45

Achei a questão bem confusa. Não ficou claro se a pergunta é:

- sobre quanto tempo decorre entre o período do encontro e o início do trabalho

- sobre quanto tempo demora para Flávia alcançar Paula.

Vamos jogar valores.

Suponha que a distância até o trabalho seja de 1.000 metros. Paula anda a 50 metros/minuto e Flávia anda a 100 metros/minuto. De modo que Flávia gasta 10 minutos e Paula gasta 20 minutos, dando então a diferença de 10 minutos entre ambas.

Usualmente, Paula sai às 8h40, para iniciar o trabalho às 9h00.

Flávia sai às 8h50, para iniciar também às 9h00.

No dia em questão, Paula saiu às 8h30 (dez minutos mais cedo).

5 minutos depois, às 8h35, Flávia sai. Neste ponto, Paula já havia percorrido:

Por minuto, Flávia anda 50 metros a mais. Logo, ela demorará um tempo de:

Ela demorará 5 minutos para alcançar Paula, o que ocorrerá às 8h40.

Deste modo, se a pergunta for sobre quanto tempo Flávia demora para alcançar Paula, a resposta seria 5minutos, que não consta em nenhuma das alternativas. Neste caso, caberia anulação da questão.

Na verdade, você pode obter qualquer outro valor em vez de 5 minutos, basta variar o tempo total que gastam para andar até o trabalho.

Se a pergunta for sobre quanto tempo antes do horário de início (9h00) ocorreu o encontro, a resposta seria 20 minutos. Isso porque o encontro ocorreu às 8h40, e o trabalho inicia às 9h00.

E 20 minutos está na letra A.

Agora vejamos outro exemplo, para obtermos outro resultado.

Suponha que Flávia ande a 13m/min e Paula a 12m/min. O trecho tem 1.560 metros, de modo que Flávia gasta 2 horas para chegar ao trabalho e Paula gasta 2h 10 minutos (veja que obedecemos à diferença de tempo).

Usualmente, Paula sai de casa às 6 h50 para chegar no trabalho às 9h00. Flávia sai às 7h00 para chegar às 9h00.

No dia em questão, Paula saiu 10 minutos mais cedo, às 6h40. Flávia sai 5 minutos depois, às 6h45.

Em 5 minutos, Paula andou:

Flávia tira uma diferença de 1 metro por minuto. Logo, demora 1 hora para alcançar Paula, o que ocorrerá às 7h45.

Caso a pergunta seja sobre o tempo que Flávia demora para alcançar, nesse segundo exemplo nossa resposta seria 60 minutos.

Caso a pergunta seja sobre o tempo que falta para o início do trabalho, nossa resposta seria 1h15 (diferença entre 7h45 e 9h00).

Veja que o resultado depende do chute inicial que tomarmos. Por isso, creio que cabe a anulação da questão.

Resolução prova EPPGG 2013–questão 37

37- Duas categorias de trabalhadores − CT1 e CT2 − possuem diferentes médias salariais e, também, diferentes medidas de dispersão, todas expressas em unidades monetárias. O salário médio da categoria CT1 é igual a 7,5 u.m., com desvio padrão igual a 3 u.m. O salário médio da categoria CT2 é igual a 8 u.m., com desvio padrão igual a 3,2 u.m..

Ana pertence à categoria CT 1 e seu salário atual é igual a 9 u.m.. Por outro lado, Beatriz pertence à categoria CT 2 e seu salário atual é igual a 9,6 u.m..

Deste modo, pode-se corretamente aﬁrmar que:

a) a dispersão salarial absoluta de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e a dispersão relativa de CT 1 é maior do que a de CT 2 .

b) a dispersão salarial absoluta de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e a dispersão relativa de CT 1 é menor do que a de CT 2 .

c) a dispersão relativa de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e o salário de Ana ocupa pior posição relativa do que o de Beatriz.

d) a dispersão relativa de CT 1 é igual a de CT2 , e o salário de Beatriz ocupa melhor posição relativa do que o de Ana.

e) a dispersão relativa de CT 1 é igual a de CT 2 e os salários de Ana e Beatriz ocupam a mesma posição relativa nas respectivas séries de salários.

Resolução:

A dispersão absoluta é medida pelo desvio padrão. No caso, CT2 tem maior dispersão absoluta, pois seu desvio padrão (3,2) é maior que o de CT1 (3).

A dispersão relstiva é medida pelo coeficiente de variação, igual ao desvio padrão dividido pela média.

A dispersão relativa é igual para ambos os conjuntos. Descartamos algumas alternativas.

~~a) a dispersão salarial absoluta de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e a dispersão relativa de CT 1 é maior do que a de CT 2 .~~

~~b) a dispersão salarial absoluta de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e a dispersão relativa de CT 1 é menor do que a de CT 2 .~~

~~c) a dispersão relativa de CT 1 é menor do que a de CT 2 , e o salário de Ana ocupa pior posição relativa do que o de Beatriz.~~

d) a dispersão relativa de CT 1 é igual a de CT2 , e o salário de Beatriz ocupa melhor posição relativa do que o de Ana.

e) a dispersão relativa de CT 1 é igual a de CT 2 e os salários de Ana e Beatriz ocupam a mesma posição relativa nas respectivas séries de salários.

Para avaliar a posição relativa de Ana e Beatriz, basta trabalharmos com a variável reduzida:

Para Ana, temos:

Para Beatriz:

O posicionamento relativo de ambas é igual.

Gabarito: E

Resolução da prova de RLQ EPPGG 2013–questão 36

36- Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6.

Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo

Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo

em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após veriﬁcar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se correu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a:

a) 6/31

b) 1/2

c) 1/12

d) 1/7

e) 5/6

Resolução:

Problema de aplicação da fórmula do teorema de Bayes. Você pode optar por usar a fórmula, ou então ir para a abordagem frequentista da probabilidade.

1ª solução: abordagem frequentista

Suponha que a gente lance a moeda 60 vezes.

Em 1/6 das vezes dá coroa. Logo, são 10 coroas. Nestas 10 vezes, selecionamos um número entre aqueles do conjunto P: {1, 2, 3, 4}. Metade deles é par e metade é ímpar. Logo, nos dez resultados coroa, temos:

5 números pares
5 números ímpares

Nas outras 50 vezes, o resultado deu cara. Neste caso, escolhemos um número do conjunto Z: {7, 8, 9, 10, 11}. Neste conjunto, são 3 ímpares e 2 pares. Ou seja, em 40% dos casos teremos resultado par, e em 60% teremos resultado ímpar:

0,6 x 50 = 30 resultados ímpares
0,4 x 50 = 20 resultados pares

É dado que o número sorteado é ímpar. Logo, estamos diante de um dos 35 casos abaixo:

5 números ímpares obtidos nos lançamentos “coroa”

30 números ímpares obtidos nos lançamentos “cara”

Queremos a probabilidade de coroa. São 5 casos favoráveis em 35. A probabilidade é 5/35

Gabarito: D

2ª solução: aplicando a fórmula

Seja “I” o evento que ocorre quando o número sorteado é ímpar. Seja “K” o evento que ocorre quando o lançamento da moeda resulta em coroa. Seja “C” o evento correspondente a resultado cara.

O exercício nos disse que:

Dando coroa, o conjunto numérico é {1, 2, 3, 4}, que tem metade dos casos sendo números ímpares. Logo:

Dando cara, o conjunto numérico é {7, 8, 9, 10, 11}, que tem 60% dos casos sendo números ímpares. Logo:

Agora aplicamos o teorema:

Multiplicando todos os termos por 6 não alteramos a fração:

Resolução da prova EPPGG 2013–questão 35

35) Se a operação π y é deﬁnida como o triplo do cubo de y, então o valor da expressão representada pelo produto entre π 2^1/3 e π 2^0,5 é igual a:

d) 0

e) 1

Resolução:

No desenvolvimento acima, tivemos que lembrar que 2 elevado a meio é o mesmo que a raiz quadrada de 2.

Bom, agora que calculamos cada uma das parcelas, basta fazer o produto:

Gabarito: B

Resolução prova RLQ EPPGG 2013–questão 34

34) O conjunto solução da equação

É dado por:

a) S = {-1, 0}

b) S = {0}

c) S = {-1, 1/2}

d) S = {-1/2, 1/2}

e) S = {1, -1/2}

Resolução pretendida pela banca:

Para que o resultado dê 1, o expoente deve ser 0, pois qualquer número elevado a 0 resulta em 1.

Logo:

Para que o produto valha zero, um de seus termos deve ser nulo.

Gabarito: A

Contudo, a questão acima está equivocada, e cabe recurso.

Nossa equação original há duas incógnitas – x e y. Assim sendo, nosso conjunto solução deve contemplar valores para as duas incógnitas, o que não ocorre para nenhuma das alternativas. As alternativas apresentaram apenas valores para “x”.

Para melhor entendimento, vejamos dois contra-exemplos.

1º contra-exemplo: