Exatas para Concursos: junho 2013

segunda-feira, 10 de junho de 2013

Tabela verdade do condicional

Neste vídeo trabalho a tabela verdade do conectivo "se, então".

[youtube=http://youtu.be/VQyoZMT5toU]

domingo, 9 de junho de 2013

Matemática financeira–Codemig

Olá pessoal, recebi um e-mail do Thiago Leandro, solicitando ajuda com um recurso para a prova da CODEMIG.

Segue enunciado:

Durante dois anos os R$ 3.400,00 (três mil e quatrocentos reais) que estavam depositados na minha poupança renderam 8% de juros ao mês. Quanto recebi de juros nesses dois anos?

A) R$ 9.928,00.

B) R$ 6.528,00.

C) R$ 3.128,00.

D) R$ 3.264,00.

A banca, no gabarito preliminar, deu como resposta a letra B. Para tanto, considerou o cálculo dos juros pelo regime simples:

Onde:

n é o número de meses (dois anos correspondem a 24 meses)

“i” é a taxa de juros mensal (0,08, dada na questão)

C é o capital (R$ 3.400,00)

Substituindo esses valores na fórmula, tem-se:

Já o Thiago queria a anulação da questão, porque o correto seria utilizar a capitalização composta.

O Thiago está coberto de razão. Na falta de indicação expressa da questão sobre a utilização do regime de juros simples, só podemos nos remeter às situações reais do dia a dia. E, no mundo real, não há a menor dúvida de que a poupança é remunerada pela capitalização mensal dos recursos (portanto, juros compostos).

Este é, inclusive, o posicionamento das bancas mais tradicionais do país, como Cespe e Esaf. Claro que o fato de uma banca tradicional ter determinado posicionamento não faz dele mais ou menos correto. Este é apenas um parêntese para tranquilizar quem se prepara para algum certame organizado por tais bancas.

Voltando à nossa questão, lembro que o art. 5º da MP 2170-36/2001 traz:

Art. 5o Nas operações realizadas pelas instituições integrantes do Sistema Financeiro Nacional, é admissível a capitalização de juros com periodicidade inferior a um ano.

E, por conta desta “brecha”, as instituições financeiras evidentemente cobram juros compostos em suas operações e, portanto, têm também que remunerar a juros compostos.

No caso específico da poupança, prevê a lei 8177/91, em seu art. 12:

Art. 12. Em cada período de rendimento, os depósitos de poupança serão remunerados:

I - como remuneração básica, por taxa correspondente à acumulação das TRD, no período transcorrido entre o dia do último crédito de rendimento, inclusive, e o dia do crédito de rendimento, exclusive;

II - como remuneração adicional, por juros de: (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

a) 0,5% (cinco décimos por cento) ao mês, enquanto a meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, for superior a 8,5% (oito inteiros e cinco décimos por cento); ou (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

b) 70% (setenta por cento) da meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, mensalizada, vigente na data de início do período de rendimento, nos demais casos. (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

§ 1° A remuneração será calculada sobre o menor saldo apresentado em cada período de rendimento.

§ 2° Para os efeitos do disposto neste artigo, considera-se período de rendimento:

I - para os depósitos de pessoas físicas e entidades sem fins lucrativos, o mês corrido, a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança;

II - para os demais depósitos, o trimestre corrido a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança.

§ 3° A data de aniversário da conta de depósito de poupança será o dia do mês de sua abertura, considerando-se a data de aniversário das contas abertas nos dias 29, 30 e 31 como o dia 1° do mês seguinte.

§ 4° O crédito dos rendimentos será efetuado:

I - mensalmente, na data de aniversário da conta, para os depósitos de pessoa física e de entidades sem fins lucrativos; e

II - trimestralmente, na data de aniversário no último mês do trimestre, para os demais depósitos.

O §1º acima transcrito diz que a remuneração é calculada sobre o (menor) saldo apresentado no período. Se é sobre saldo, isso significa que a taxa de remuneração incidirá sobre o valor do capital mais juros anteriores, o que implica necessariamente na capitalização de juros.

Deste modo, a resolução correta para o problema seria calcular o montante (M) segundo a fórmula de juros compostos:

Os juros (J) correspondem à diferença entre montante e capital inicial:

Na falta de alternativa correta, a questão deveria ter sido anulada.

Contudo, já observei várias vezes provas de concurso, elaboradas por bancas menos tradicionais no cenário nacional, ignorando os dispositivos da lei, exigindo que os candidatos utilizem o regime de juros simples, que nos conduz à resposta indicada em B. Por isso alertei ao Thiago que era praticamente certo que a banca organizadora do concurso não anularia a questão, apesar de o Thiago ter razão.

O Thiago entrou com o recurso e, para a minha surpresa, nem uma coisa nem outra: não anulou, nem manteve o gabarito.

Estranhamente a banca alterou a resposta para letra C, o que não pode ser obtido nem com o regime simples, nem com o regime composto. A justificativa da banca foi:

RESPOSTA: Em resposta ao recurso interposto contra questões das provas objetivas e gabaritos preliminares, a Comissão de Análise de Recurso esclarece o que se segue. Com fundamento na bibliografia de:BONJORNO, GIOVANI, GIOVANI Jr.: Matemática. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2011.GIOVANI, GIOVANI Jr.: A conquista da matemática. São Paulo Ed. FTD, 2011.IEZZI e outros: Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Saraiva, 2004.Indicam que:A) R$ 9.928,00. NÃO é a alternativa correta porque: é calculado o valor dos juros e soma ao capital inicial (R$ 6.528,00 + R$ 3.400,00) encontrando o valor do montante: R$ 9.928,00.B) R$ 6.528,00. NÃO é a alternativa correta porque não responde o que foi solicitado no enunciado da questão, pois representa a soma do capital inicial mais os juros do período.C) R$ 3.128,00. ALTERNATIVA CORRETA porque: J = C. I.TJ = 3400(0,08)(24)J = 6528,00 Subtraindo deste valor o capital inicial (R$6.528,00 – R$3.400,00 = R$ 3.128,00), encontra-se os juros dos dois anos conforme solicitado no enunciado.D) R$ 3.264,00. NÃO é a alternativa correta porque: é transformado os anos em meses, mas no cálculo ele considera apenas 1 ano (12 meses), encontrando R$ 3.264,00.Por estas razões a banca DEFERE o recurso.RESULTADO – DEFERIDO COM ALTERAÇÃO DA QUESTÃO DE B PARA C.

Não estou acompanhando este concurso, não sei se ainda cabe algum outro tipo de recurso.

Caso caiba, agora sim, é bastante pertinente que os candidatos questionem novamente a organizadora, pois houve um equívoco na resolução acima, não havendo o menor fundamento alterar o gabarito para a letra C.

Como sobredito, utilizando-se (indevidamente) o regime de juros simples, obtém-se a quantia de R$ 6.528,00 a título de juros, para os 24 meses de aplicação.

A banca resolveu subtrair desta quantia o valor do capital inicial, assim:

E disse que isso é igual aos juros, o que não faz o menor sentido.

Observem que a fórmula já fornece diretamente o valor dos juros. Não devemos, depois disso, subtrair o capital inicial.

Para checar o absurdo que seria, basta pensar que, em vez de aplicar o dinheiro por 24 meses, aplicamos por um mês só.

Os juros seriam iguais a:

Ou seja, ao final de 1 mês, temos um saldo de

Valor este composto do capital inicial (R$ 3.400,00), mais juros de R$ 272,00.

Usando o raciocínio da banca, nossos juros seriam de:

Ou seja, teríamos juros negativos. Pergunta-se: como nosso saldo na conta aumenta, se os juros foram negativos? Essa contradição deixa bem claro o erro cometido pela banca.

Para elaborarem o recurso, vocês podem abrir qualquer livro de matemática financeira (inclusive aquele citado pela banca) e copiarem a definição e a fórmula de juros simples apresentada. Ela será:

Apenas isso, sem que haja subtração do capital inicial.

Estou sem livros aqui comigo, por isso não poderei deixar já indicado para vocês o recurso completo. Mas espero ter dado um norte para a elaboração.

quinta-feira, 6 de junho de 2013

RLQ MPU - parte 2

Hoje terminamos a resolução da prova do MPU.

[youtube=http://youtu.be/MuBgD7yjZp0]

Enunciados trabalhados no vídeo:

Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores.

A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2/3 são de A e 3/5 são de B, julgue os itens a seguir.

48 Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%.

49 O conjunto CP(A) U CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise

50 A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise.

Covariância

No meu curso de estatística, a Ana pediu para eu mostrar de onde vem um resultado utilizado em uma das questões, que foi o seguinte:

Muito bem, vamos lá.

A definição de covariância é:

Sabendo disso, podemos calcular a covariância entre 2X e Y:

Mas, usando propriedades da esperança, temos:

Logo:

Colocando o “2” em evidência:

Dentro da esperança, temos uma constante multiplicativa. Podemos retirá-la da esperança (novamente, aplicação das propriedades da esperança):

Em vermelho temos justamente a covariância entre X e Y (vide equação I). Logo:

Condicional associado ao argumento

Hoje veremos uma interessante forma de analisar se um condicional é ou não tautológico.

Vou dar um exemplo com duas premissas e uma conclusão. Mas é só um exemplo. O que vem a seguir vale para qualquer argumento, com qualquer número de premissas.

Sejam a e b duas premissas. Seja c a conclusão. O argumento pode ser escrito assim:

A esse argumento pode ser associado o seguinte condicional:

Nesse condicional, nós temos um “e” unindo as premissas. E o consequente (segunda parcela) é a conclusão do argumento.

Se o argumento for válido, então esse condicional é uma tautologia. E vice-versa. Se esse condicional for uma tautologia, o argumento é válido. Dizemos que o argumento é válido se e somente se o condicional a ele associado é tautológico.

Estendendo o conceito para n premissas, temos:

O argumento

é válido se e somente se o condicional

for uma tautologia.

Vimos acima que, se o argumento é válido, o condicional a ele associado é tautológico. E se o condicional é tautológico, então o argumento associado é válido.

Isso pode ser entendido da seguinte forma. Nas linhas da tabela-verdade em que pelo menos uma das premissas é falsa, o condicional é verdadeiro, de cara (pois seu antecedente é falso). E essas linhas pouco importam para gente, pois, dentro de um argumento, só nos interessam as linhas da tabela verdade em que as premissas são verdadeiras.

Ok, agora vamos para as linhas da tabela-verdade em que todas as premissas são verdadeiras. Nessas linhas, se a conclusão também for verdadeira, então o argumento é válido. E, além disso, o condicional a ele associado também assume o valor lógico verdadeiro, o que faz dele uma tautologia.

Caso contrário, se, em pelo menos uma das linhas em que as premissas são verdadeiras, a conclusão for falsa, o argumento será inválido. Além disso, o condicional a ele associado não será mais uma tautologia.

O conceito de condicional associado a um argumento válido pode ser utilizado para identificar tautologias.

Exemplo:

AFT (Esaf)

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

E todas as alternativas trazem condicionais. O condicional tautológico será aquele que pode ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

Este condicional pode ser associado ao seguinte argumento:

Premissa: p

Conclusão:

Notem que se “p” for verdadeiro (premissa verdadeira), isso já garante, automaticamente, que “” é verdadeiro (conclusão verdadeira).

Isso ocorre porque a proposição composta pelo “ou” é V se pelo menos uma de suas parcelas for verdadeira. Como já sabemos que a primeira parcela é V (“p” é verdadeiro), então a conclusão necessariamente é V, independente do valor lógico de “q”.

Ou seja, o argumento é válido (premissa verdadeira acarreta em conclusão verdadeira). Logo, o condicional associado é tautológico.

Pronto. Achamos nossa resposta.

Gabarito: A

Letra b: “se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo”

Agora nosso condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão:

O simples fato de a premissa ser verdadeira (p) verdadeiro não nos permite concluir que a conclusão também seja. A conclusão apresenta o conectivo “e”. Ela só será verdadeira se ambas as parcelas forem V.

Uma das parcelas (p), já sabemos que é V. Mas a outra, “q”, nada sabemos sobre ela. Então nada podemos concluir sobre a proposição composta “p e q”

O argumento não é válido. Então o condicional não é tautológico.

Letra C: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo”

O condicional fica:

O argumento correspondente é:

Premissa:

Conclusão: q

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que “q” é verdadeira. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Letra D: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo”

Condicional:

Argumento:

Premissa:

Conclusão:

Saber que a premissa é verdadeira nos indica que pelo menos uma das proposições simples (p ou q) é verdadeira.

Ou seja, sabemos que pelo menos uma das duas (p ou q) é verdadeira, mas não sabemos se são as duas, ou só uma. E, caso apenas uma delas seja verdadeira, não sabemos qual é.

A conclusão já afirma que ambas (p e q) são verdadeiras. Esse é o erro – acabamos de ver que não temos como descobrir qual das duas proposições simples (p ou q) é verdadeira. Pior ainda seria dizer que ambas são verdadeiras.

Letra E: se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Condicional:

Argumento:

Premissa: p

Conclusão: q

Vejam que a premissa em nada ajuda a descobrir a veracidade da conclusão. Saber que “P” ocorre em nada ajuda a identificar qualquer coisa sobre “Q”. O argumento é inválido. Logo, o condicional não é tautológico.

terça-feira, 4 de junho de 2013

Ministério da Integração Nacional 2013

Olá pessoal, hoje resolvo a prova do Ministério da Integração Nacional 2013, atendendo ao pedido da Roberta.

Ainda não foi liberado o gabarito preliminar da banca, então o que irá constar aqui são as respostas a que eu cheguei, e não a posição oficial.

Julgue os itens seguintes, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de medidas.

33) Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então

Resolução:

Subtraindo as duas equações:

Podemos fazer a mesma coisa com B:

Somando A e B:

Item correto.

34) Se a área da fazenda Y for igual a 23 km² e a área da fazenda Z for igual a 2.300.000 m², então a área da fazenda Y será menor que a área da fazenda Z.

Resolução.

Temos que lembrar que 1 km = 1.000 m. Assim:

A área de Y é igual a 23 milhões de metros quadrados.

Já a área de Z é igual a 2 milhões e trezentos mil metros quadrados.

A área de Y é maior. Item errado.

35) Considere que, para garantir o abastecimento de água durante determinado período de seca, tenha sido construído, em uma propriedade, um reservatório com capacidade para armazenar 10.000 dm³ de água. Nesse caso, o reservatório não transbordará se nele forem depositados 20.000 L de água.

Resolução.

Temos que lembrar que 1 dm3 corresponde a 1 L de água. Logo, no reservatório cabem 10.000 dm3 = 10.000 litros de água.

Tentarmos colocar 20.000 L de água (o dobro da capacidade), certamente irá transbordar.

36) A soma

é inferior a 2.

Resolução.

Caso a soma prosseguisse infinitamente

teríamos a soma dos infinitos termos de uma PG com razão entre 0 e 1. Esta soma é dada por:

Onde a₁ é o primeiro termo da PG (vale 1) e “q” é a razão (vale 0,5).

Lembrando, uma PG é uma sequência em que a razão entre dois números seguidos é constante (igual a “q”).

A soma dos infinitos termos fica:

No entanto, como não somamos de fato todos os infinitos termos, a soma será um pouco menor que 2. Item correto.

Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em cidades assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por dia, durante 3 dias, constroem 60 cisternas. Com base nessas informações e considerando que todos os empregados sejam igualmente eficientes, julgue os itens que seguem.

37) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante 2 dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.

Resolução.

Basta fazermos uma regra de três.

Vamos tomar a quantidade de cisternas como grandeza de comparação. E a partir dela, analisamos as demais.

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais horas por dia de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Se aumentarmos a quantidade de cisternas, precisaremos de mais dias de trabalho (grandezas diretamente proporcionais).

Agora montamos as frações. Deixamos a fração correspondente à grandeza “quantidade de cisternas” de um lado da igualdade (pois foi nossa referência). Do outro lado ficam as demais grandezas, multiplicando.

Item certo

38) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.

Resolução:

Se já foi feito 16% do total, faltam 100% - 16% = 84%

16% corresponde a 800 cisternas

84% corresponde a x cisternas

16% ---- 800

84% ---- x

Multiplicando cruzado:

Item certo

39) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram retiradas por terem apresentado vazamentos. Em face desta situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.

Resolução.

8% das 1.250 cisternas tiveram defeito. E, destas, 15% foram por vazamento.

15% de 8% corresponde a: