CGU–Probabilidade

(CGU 2012 – ESAF) Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo C_n,k o número de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da comissão ser formada exatamente por duas mulheres e dois homens?

a) C_4,2(1/3)²(2/3)²

b) C_4,2(20x19x10x9)/(30x29x28x27)

c) C_4,4(20x19x10x9)/(30x29x28x27)

d) C_4,0(1/3)²(2/3)²

e) C_4,4(2/9)²

Resolução:

A quantidade de maneiras de escolhermos 4 pessoas, independente de sexo, é igual à combinação de 30 elementos, tomados 4 a 4:

Esse é o número de casos possíveis.

Agora vamos calcular o número de casos favoráveis.

Para a escolha das 2 mulheres, temos um caso de combinação de 10 mulheres, tomadas 2 a 2.

Para a escolha dos 2 homens, temos um caso de combinação de 20 homens, tomados 2 a 2.

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

A probabilidade é a relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis:

Resposta: B

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CGU–Número de ouro

(CGU 2012 – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que x = (1-x)/x, usando

a) 0,62

b) 0,38

c) 1,62

d) 0,5

e) 1/ π

Resolução:

Queremos que:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

As raízes ficam:

Resposta: A

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CGU–Determinante e trigonometria

(CGU 2012 – ESAF) Calcule o determinante da matriz

a) 1

b) 0

c) cos 2x

d) sen 2x

e) sen x/2

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, multiplicamos os elementos da diagonal principal, multiplicamos os elementos da diagonal secundária, e fazemos a diferença:

Para resolver essa questão o aluno tinha que lembrar da fórmula do cosseno da soma:

Fazendo

obtemos

Outra opção, caso o candidato não lembrasse da fórmula, era jogar valores de ângulos conhecidos. Por exemplo, jogando x = 30, obtemos:

Agora testamos as alternativas:

Letra A: errado, o valor não deu 1

Letra B: errado, o valor não deu 0

Letra C: certo. Veja que o valor coincidiu com o cosseno de 60 (= 2 x 30).

Letra D: Errado. Veja que:

Que não coincide com o valor 1/2

Letra E: errado. Veja que:

que não é igual a 1/2, pois a função seno é crescente para ângulos entre 0 e 90. O seno de 15 tem que ser menor que o seno de 30, este sim igual a 1/2.

Resposta: C

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CGU–Conjuntos

(CGU 2012 – ESAF) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é

a) 21.

b) 14.

c) 16.

d) 19.

e) 12

Resolução:

As informações são:

1) o grupo tem 120 empresas

2) 57 estão situadas na Região Nordeste

3) 48 são empresas familiares

4) 44 são empresas exportadoras

5) 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima.

6) das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras.

7) das empresas familiares, 21 são exportadoras

Das 120 empresas, 19 não se enquadram em nenhum desses grupos (informação 5). Logo, 120 – 19 = 101 empresas se enquadram em pelo menos um desses grupos.

Seja “x” a quantidade de empresas que faz parte dos três conjuntos.

Das empresas do nordeste, 20 são exportadoras. Já alocamos “x”. Faltam 20 – x.

Além disso, 19 são familiares. Já alocamos “x”, faltam 19 – x.

Das empresas familiares, 21 são exportadoras. Já alocamos “x”. Faltam 21 – x:

Agora completamos o diagrama, de modo que o conjunto preto tenha 57 elementos, o azul tenha 48 e o verde tenha 44:

Agora somamos todas essas quantidades. O resultado tem que ser igual a 101, que é o número de empresas que pertence a pelo menos uma das categorias:

Entre parêntesis temos todos os elementos do conjunto preto (nordeste). Já sabemos que esse conjunto tem 57 empresas. Logo:

Resposta: E

Outra solução possível é a seguinte.

Sejam “A”, “B” e “C” os conjuntos que representam, respectivamente, as empresas do Nordeste, familiares e exportadoras.

Aplicamos a fórmula que dá o número de elementos da união:

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CGU–Equivalências Lógicas

(CGU 2012 – ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale logicamente à afirmação “D é K se e somente se D é F e D é L” é:

a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

c) D não é F e D não é L se e somente se D não é K.

d) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

e) D é K se e somente se D é F ou D é L.

Comentários:

Vamos dar nomes às proposições simples:

k: “D é K”

f: “D é F”

l: “D é L”

A proposição apresentada foi:

Vamos agora trabalhar as alternativas. Vamos desenvolver cada uma delas, para ver se chegamos à proposição acima.

Letra A: Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

Em símbolos:

Dentro do segundo colchete, temos um condicional. Podemos fazer o seguinte. Negamos cada uma de suas parcelas, e trocamos a ordem entre elas. Com isso, obtemos um condicional equivalente ao primeiro. Fica assim (veja destaque em vermelho):

Duas negações em seguida se anulam:

Para negar uma proposição composta pelo “e”, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por “ou”:

Agora obtivemos uma conjunção de duas parcelas idênticas entre si. Logo, essa proposição acima é equivalente a:

Obtivemos um único condicional. Então essa não é a nossa resposta.

Letra b: Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

Vamos mais rápido agora? Os passos são exatamente os mesmos da alternativa anterior.

A proposição dada é:

Obtivemos um único condicional. Então essa não é a nossa resposta.

Letra c: D não é F e D não é L se e somente se D não é K.

A proposição dada foi:

Podemos negar as duas parcelas do bicondicional, que obtemos uma proposição equivalente:

Que não coincide com o bicondicional dado no início da questão. Alternativa errada.

Letra d: Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

Em símbolos:

Podemos tomar o segundo condicional e fazer o seguinte. Negamos as parcelas e invertemos a ordem, obtendo outro condicional, equivalente ao primeiro:

Achamos nossa resposta.

Resposta: D

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