FCC - Metrô

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um  investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos  os   seus  rendimentos  obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K  supera  o  montante  aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação  corresponde  a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
A 11/32
B 25/64
C 5/8
D 3/16
E 23/256

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Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo "x" de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$ 125 + {125 \over 4} = 156,25$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após "n" meses será de:

$M_J = 100 \times 1,25^n $

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente "n", conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento "K" é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após "n" meses, fica:

$M_K = 50 \times 1,5^n $

Após "n" meses o montante em K ultrapassa o montante em J. 

$M_K > M_J$

$50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$

$\left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $

$1,2^n > 2$

Testando valores, o primeiro "n" natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de "superação", corresponde a:

$M_k - M_J = 50 \times 1,5^4 - 100 \times 1,25^4$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e  que 1,25 = 5/4

$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} - {100 \times 5^4 \over 4^4}$

Colocando 50 em evidência:

$=50 \times {6^4 - 2 \times 5^4 \over 4^4 }$

$={50 \times 46 \over 256}$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$={50 \times 46 \over 256} \div 100$

$={23 \over 256}$

Resposta: E

FCC - Sabesp

Hoje resolvo uma questão pedida pelo José Eduardo Vieira. A questão é da FCC:

Um investidor aplicou 25% de um capital, durante 6 meses, sob o regime de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao ano. O restante deste capital ele aplicou durante 1 semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 2% ao trimestre. Se a soma dos valores dos juros destas duas aplicações foi igual a  3.384,00, então o montante correspondente à aplicação sob o regime de capitalização composta foi, em reais, igual a
  a) 65.025,00.
  b) 57.742,20.
  c) 62.424,00.
  d) 64.504,80.
  e) 56.181,60

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Resolução:

1) Aplicação no regime simples

Seja $C_t$ o capital total investido. No regime simples a pessoa aplicou 25% disso, ou seja, $0,25C_t$.

O prazo de aplicação foi de meio ano (n = 0,5) e a taxa de juros foi de 9,6% ao ano (i = 0,096).

No regime simples os juros são dados por:

$J = n \times i \times C$

$J_1 = 0,5 \times 0,096 \times 0,25C_t$

$J_1 = 0,012C_t$

2) Aplicação no regime composto

Agora o capital investido é de $0,75 C_t$, a taxa de juros é de 2% ao trimestre, e o número de períodos é igual a 2 trimestres.

No regime composto o montante é assim calculado:

$M = C \times (1+i)^n $

$M = 0,75C_t \times (1,02)^2$

$M = 0,7803 C_t$

Os juros são iguais à diferença entre montante e capital:

$J_2 = 0,7803 C_t - 0,75C_t = 0,0303 C_t$

3) Juro total

A soma dos juros é igual a 3.384:

$3.384 = 0,12C_t + 0,0303 C_t$

$C_t = {3.384 \over 0,012+0,0303}=80.000

Já vimos que o montante no regime composto é de $0,7803 C_t$. Logo, valerá:

$0,7803 \times 80.000=62.424$

Resposta: C

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Caixa econômica 2012 - taxa efetiva e taxa nominal

Olá pessoal!

Hoje resolvo a questão a seguir, enviada pelo Adriano Ramos. Ele informa que é uma questão retirada do concurso da Caixa Econômica.

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(Caixa 2012) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de


(A) 10,51% (B) 10,25% (C) 5% (D) 10% (E) 5,51%

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Primeiro notem a taxa de 10,25% ao ano já é efetiva. Assim, para calcular a taxa efetiva semestral ($i_s$), basta fazermos:

$(1+i_s)^2=1,1025$

Fazemos desse jeito porque em um ano temos duas capitalizações semestrais. Em outras palavras, duas capitalizações da taxa $i_s$ resultam em uma capitalização anual de 10,25%.

Agora extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$1+i_s = 1,05$

$i_s=0,05$

A taxa efetiva semestral é igual a 5%. 

Tendo a taxa efetiva semestral, podemos calcular a taxa nominal anual. Para converter uma taxa efetiva em nominal, basta aplicarmos a regra de três.

5% .... 1 semestre

x ..... 2 semestres (=1 ano)

$x = 2 \times 0,05 = 0,1$

A taxa procurada é de 10%. 

Resposta: D

Lógica de argumentação - Vunesp 2013 - Investigador de Polícia

O aluno Take Fiscal me pediu a resolução desta questão via facebook.

Vunesp - 2013 - PC SP - Investigador de Polícia
Quando um argumento dedutivo é válido, isso significa que
a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.
b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.
c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.
d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.
e) as premissas são sempre verdadeiras.

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Antes de resolver a questão, vejamos um exemplo de argumento válido.

$ p \to q$

$\underline p$

$q$

Este argumento é válido, pois, em todas as linhas da tabela em que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. Em outras palavras, premissas V garantem conclusão V. Vejam a tabela:

p (Premissa)	q (Conclusão)	Se p, então q (Premissa)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na primeira linha da tabela verdade, todas as premissas são verdadeiras. Nessa mesma linha, a conclusão também é V. É isso que faz um argumento válido.

Argumento válido: sempre que premissas forem V, conclusão será V também

Vejam que "p" e "q" podem representar qualquer coisa, pouco importa o significado, o argumento continuará válido. Isso ocorre porque o que interessa na validade de um argumento é a sua forma, e não o seu conteúdo.

Deste modo, se eu fizer:

• p = O sol é amarelo
• q = O dia é claro

Terei um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Ou seja, estou na linha 1 da tabela.

Já seu eu fizer:

• p = O gato late
• q = O cachorro mia

Terei um argumento válido, já que seu formato não mudou. Mas seria um argumento válido com premissas F e conclusão F. Ou seja, estou na linha 4 da tabela.

O argumento ficaria assim:

Se o gato late, então o cachorro mia

O gato late

Conclusão: o cachorro mia

Este argumento é válido.

Por quê?

Porque, se as premissas fossem verdadeiras, então eu estaria na linha 1 da tabela, e isso garantiria conclusão V também. 

O fato de, no mundo real, as premissas serem na verdade falsas e eu estar na linha 4 da tabela, isso é um mero detalhe, irrelevante para a análise da validade do argumento. 

Pouco importa se, num caso concreto, a gente foi parar na linha 2, ou na 3, ou na 4 da tabela. Isso não importa. O que importa é: se as premissas fossem verdadeiras, cairíamos na linha 1, e a conclusão seria V também. 

Resumindo, podemos ter argumento válido com:

• premissas V e conclusão V
• premissas F e conclusão V
• premissa F e conclusão F

A única coisa que não pode ocorrer é termos premissas V com conclusão F, já que, nesse caso, resta configurado argumento inválido. 

Visto isso, vamos analisar nossas alternativas:

a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas falsas e conclusão verdadeira.

Exemplo:

Premissa: O gato late

Conclusão: O gato late ou o pinto pia

b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas F e conclusão V. Vide exemplo dado na letra "a"

c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.

Perfeito!

Oras, se não houvesse premissa falsa, então teríamos premissas V + conclusão F e o argumento seria inválido.

Como foi garantido que o argumento é válido, tal situação não pode ocorrer. Logo, se a conclusão é falsa, realmente há alguma premissa falsa também.

d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.

Perfeito! Se existisse tal situação o argumento seria inválido.

e) as premissas são sempre verdadeiras.

Errado, vide exemplo dado na letra "a".

Deste modo, a questão apresenta duas alternativas corretas e deveria ter sido anulada. 

Enem 2014 - questão 138

Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a
carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente,
A 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.
B 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.
C 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
D 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.
E 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t.

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Ponto central = 60% de 12 t:

$0,6 \times 12 = 7,2t$

Para os outros dois pontos sobram 40% da carga, sendo metade para cada um deles.

$0,2 \times 12 = 2,4$

Deste modo, o primeiro ponto sustenta 2,4 toneladas, o ponto central sustenta 7,2 toneladas, e o ponto restante sustenta 2,4 toneladas.

Resposta: C

Enem 2014 - questão 137

Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) $ \pi d$
b) $ 2 \pi d$
c) $4 \pi d$
d) $5 \pi d$
e) $10 \pi d$

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A base do cilindro forma uma circunferência de comprimento

$2 \pi r = 2 \pi {d \over 2} = \pi d$

Como a folha de papel dá 5 voltas ao redor do cilindro, sua dimensão é 5 vezes o comprimento da circunferência:

$5 \times (\pi d) = 5 \pi d$

Resposta: D

Enem 2014 - questão 136

A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é

A 1 : 3.

B 1 : 4.

C 1 : 20.

D 1 : 25.

E 1 : 32.

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Na folha de papel, devido às margens livres, a largura disponível para reprodução da gravura é de:

$42 - 3 - 3 = 36$

Também devido às margens livres, a altura disponível para reprodução da gravura é de:

$30 - 3 - 3 = 24$

Agora vamos analisar apenas as larguras. Na figura original, a largura é de 8 metros. Na folha de papel, a largura disponível é de 36 cm. Fazendo a relação entre ambas, temos a escala:

${8 \over 0,36} \approx 22$

A escala seria de 1 : 22.

Agora analisamos as alturas. Na figura original, a altura é de 6 metros. Na folha de papel, a altura disponível é de 24 cm. Fazendo novamente a relação entre ambas:

$ {6 \over 0,24} = 25$

A escala seria de 1: 25

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E agora? Qual das duas escalas é a correta?

O grande problema é que as dimensões disponíveis na folha de papel não estão na mesma proporção da gravura (8 para 6).

Nas larguras, a escala de 1 : 22 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 22 vezes para caber na folha de papel.

Nas alturas, a escala de 1 : 25 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 25 vezes para caber na folha de papel.

Notamos então que nosso "gargalo" é a altura, pois ela requer um encolhimento maior da figura original.

Vejam que:

• se reduzíssemos a figura original em apenas 22 vezes, a largura caberia na folha de papel, mas a altura não caberia
• se reduzíssemos a figura original em 25 vezes, a altura vai caber na folha de papel. A largura também certamente caberá, com folga, diga-se de passagem, já que requeria apenas 22 vezes de redução

Sendo a altura nosso gargalo, ficamos com a escala de 1 : 25.

Resposta: D