FCC - Metrô

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um  investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos  os   seus  rendimentos  obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K  supera  o  montante  aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação  corresponde  a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
A 11/32
B 25/64
C 5/8
D 3/16
E 23/256

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Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo "x" de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$ 125 + {125 \over 4} = 156,25$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após "n" meses será de:

$M_J = 100 \times 1,25^n $

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente "n", conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento "K" é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após "n" meses, fica:

$M_K = 50 \times 1,5^n $

Após "n" meses o montante em K ultrapassa o montante em J. 

$M_K > M_J$

$50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$

$\left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $

$1,2^n > 2$

Testando valores, o primeiro "n" natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de "superação", corresponde a:

$M_k - M_J = 50 \times 1,5^4 - 100 \times 1,25^4$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e  que 1,25 = 5/4

$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} - {100 \times 5^4 \over 4^4}$

Colocando 50 em evidência:

$=50 \times {6^4 - 2 \times 5^4 \over 4^4 }$

$={50 \times 46 \over 256}$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$={50 \times 46 \over 256} \div 100$

$={23 \over 256}$

Resposta: E

FCC - Sabesp

Hoje resolvo uma questão pedida pelo José Eduardo Vieira. A questão é da FCC:

Um investidor aplicou 25% de um capital, durante 6 meses, sob o regime de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao ano. O restante deste capital ele aplicou durante 1 semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 2% ao trimestre. Se a soma dos valores dos juros destas duas aplicações foi igual a  3.384,00, então o montante correspondente à aplicação sob o regime de capitalização composta foi, em reais, igual a
  a) 65.025,00.
  b) 57.742,20.
  c) 62.424,00.
  d) 64.504,80.
  e) 56.181,60

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Resolução:

1) Aplicação no regime simples

Seja $C_t$ o capital total investido. No regime simples a pessoa aplicou 25% disso, ou seja, $0,25C_t$.

O prazo de aplicação foi de meio ano (n = 0,5) e a taxa de juros foi de 9,6% ao ano (i = 0,096).

No regime simples os juros são dados por:

$J = n \times i \times C$

$J_1 = 0,5 \times 0,096 \times 0,25C_t$

$J_1 = 0,012C_t$

2) Aplicação no regime composto

Agora o capital investido é de $0,75 C_t$, a taxa de juros é de 2% ao trimestre, e o número de períodos é igual a 2 trimestres.

No regime composto o montante é assim calculado:

$M = C \times (1+i)^n $

$M = 0,75C_t \times (1,02)^2$

$M = 0,7803 C_t$

Os juros são iguais à diferença entre montante e capital:

$J_2 = 0,7803 C_t - 0,75C_t = 0,0303 C_t$

3) Juro total

A soma dos juros é igual a 3.384:

$3.384 = 0,12C_t + 0,0303 C_t$

$C_t = {3.384 \over 0,012+0,0303}=80.000

Já vimos que o montante no regime composto é de $0,7803 C_t$. Logo, valerá:

$0,7803 \times 80.000=62.424$

Resposta: C

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Caixa econômica 2012 - taxa efetiva e taxa nominal

Olá pessoal!

Hoje resolvo a questão a seguir, enviada pelo Adriano Ramos. Ele informa que é uma questão retirada do concurso da Caixa Econômica.

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(Caixa 2012) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de


(A) 10,51% (B) 10,25% (C) 5% (D) 10% (E) 5,51%

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Primeiro notem a taxa de 10,25% ao ano já é efetiva. Assim, para calcular a taxa efetiva semestral ($i_s$), basta fazermos:

$(1+i_s)^2=1,1025$

Fazemos desse jeito porque em um ano temos duas capitalizações semestrais. Em outras palavras, duas capitalizações da taxa $i_s$ resultam em uma capitalização anual de 10,25%.

Agora extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$1+i_s = 1,05$

$i_s=0,05$

A taxa efetiva semestral é igual a 5%. 

Tendo a taxa efetiva semestral, podemos calcular a taxa nominal anual. Para converter uma taxa efetiva em nominal, basta aplicarmos a regra de três.

5% .... 1 semestre

x ..... 2 semestres (=1 ano)

$x = 2 \times 0,05 = 0,1$

A taxa procurada é de 10%. 

Resposta: D

Lógica de argumentação - Vunesp 2013 - Investigador de Polícia

O aluno Take Fiscal me pediu a resolução desta questão via facebook.

Vunesp - 2013 - PC SP - Investigador de Polícia
Quando um argumento dedutivo é válido, isso significa que
a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.
b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.
c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.
d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.
e) as premissas são sempre verdadeiras.

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Antes de resolver a questão, vejamos um exemplo de argumento válido.

$ p \to q$

$\underline p$

$q$

Este argumento é válido, pois, em todas as linhas da tabela em que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. Em outras palavras, premissas V garantem conclusão V. Vejam a tabela:

p (Premissa)	q (Conclusão)	Se p, então q (Premissa)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na primeira linha da tabela verdade, todas as premissas são verdadeiras. Nessa mesma linha, a conclusão também é V. É isso que faz um argumento válido.

Argumento válido: sempre que premissas forem V, conclusão será V também

Vejam que "p" e "q" podem representar qualquer coisa, pouco importa o significado, o argumento continuará válido. Isso ocorre porque o que interessa na validade de um argumento é a sua forma, e não o seu conteúdo.

Deste modo, se eu fizer:

• p = O sol é amarelo
• q = O dia é claro

Terei um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Ou seja, estou na linha 1 da tabela.

Já seu eu fizer:

• p = O gato late
• q = O cachorro mia

Terei um argumento válido, já que seu formato não mudou. Mas seria um argumento válido com premissas F e conclusão F. Ou seja, estou na linha 4 da tabela.

O argumento ficaria assim:

Se o gato late, então o cachorro mia

O gato late

Conclusão: o cachorro mia

Este argumento é válido.

Por quê?

Porque, se as premissas fossem verdadeiras, então eu estaria na linha 1 da tabela, e isso garantiria conclusão V também. 

O fato de, no mundo real, as premissas serem na verdade falsas e eu estar na linha 4 da tabela, isso é um mero detalhe, irrelevante para a análise da validade do argumento. 

Pouco importa se, num caso concreto, a gente foi parar na linha 2, ou na 3, ou na 4 da tabela. Isso não importa. O que importa é: se as premissas fossem verdadeiras, cairíamos na linha 1, e a conclusão seria V também. 

Resumindo, podemos ter argumento válido com:

• premissas V e conclusão V
• premissas F e conclusão V
• premissa F e conclusão F

A única coisa que não pode ocorrer é termos premissas V com conclusão F, já que, nesse caso, resta configurado argumento inválido. 

Visto isso, vamos analisar nossas alternativas:

a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas falsas e conclusão verdadeira.

Exemplo:

Premissa: O gato late

Conclusão: O gato late ou o pinto pia

b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas F e conclusão V. Vide exemplo dado na letra "a"

c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.

Perfeito!

Oras, se não houvesse premissa falsa, então teríamos premissas V + conclusão F e o argumento seria inválido.

Como foi garantido que o argumento é válido, tal situação não pode ocorrer. Logo, se a conclusão é falsa, realmente há alguma premissa falsa também.

d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.

Perfeito! Se existisse tal situação o argumento seria inválido.

e) as premissas são sempre verdadeiras.

Errado, vide exemplo dado na letra "a".

Deste modo, a questão apresenta duas alternativas corretas e deveria ter sido anulada. 

Enem 2014 - questão 138

Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a
carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente,
A 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.
B 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.
C 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
D 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.
E 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t.

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Ponto central = 60% de 12 t:

$0,6 \times 12 = 7,2t$

Para os outros dois pontos sobram 40% da carga, sendo metade para cada um deles.

$0,2 \times 12 = 2,4$

Deste modo, o primeiro ponto sustenta 2,4 toneladas, o ponto central sustenta 7,2 toneladas, e o ponto restante sustenta 2,4 toneladas.

Resposta: C

Enem 2014 - questão 137

Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) $ \pi d$
b) $ 2 \pi d$
c) $4 \pi d$
d) $5 \pi d$
e) $10 \pi d$

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A base do cilindro forma uma circunferência de comprimento

$2 \pi r = 2 \pi {d \over 2} = \pi d$

Como a folha de papel dá 5 voltas ao redor do cilindro, sua dimensão é 5 vezes o comprimento da circunferência:

$5 \times (\pi d) = 5 \pi d$

Resposta: D

Enem 2014 - questão 136

A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é

A 1 : 3.

B 1 : 4.

C 1 : 20.

D 1 : 25.

E 1 : 32.

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Na folha de papel, devido às margens livres, a largura disponível para reprodução da gravura é de:

$42 - 3 - 3 = 36$

Também devido às margens livres, a altura disponível para reprodução da gravura é de:

$30 - 3 - 3 = 24$

Agora vamos analisar apenas as larguras. Na figura original, a largura é de 8 metros. Na folha de papel, a largura disponível é de 36 cm. Fazendo a relação entre ambas, temos a escala:

${8 \over 0,36} \approx 22$

A escala seria de 1 : 22.

Agora analisamos as alturas. Na figura original, a altura é de 6 metros. Na folha de papel, a altura disponível é de 24 cm. Fazendo novamente a relação entre ambas:

$ {6 \over 0,24} = 25$

A escala seria de 1: 25

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E agora? Qual das duas escalas é a correta?

O grande problema é que as dimensões disponíveis na folha de papel não estão na mesma proporção da gravura (8 para 6).

Nas larguras, a escala de 1 : 22 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 22 vezes para caber na folha de papel.

Nas alturas, a escala de 1 : 25 nos mostra que precisaríamos encolher a figura 25 vezes para caber na folha de papel.

Notamos então que nosso "gargalo" é a altura, pois ela requer um encolhimento maior da figura original.

Vejam que:

• se reduzíssemos a figura original em apenas 22 vezes, a largura caberia na folha de papel, mas a altura não caberia
• se reduzíssemos a figura original em 25 vezes, a altura vai caber na folha de papel. A largura também certamente caberá, com folga, diga-se de passagem, já que requeria apenas 22 vezes de redução

Sendo a altura nosso gargalo, ficamos com a escala de 1 : 25.

Resposta: D

Contador TJ SP - Vunesp - Questão 92

Na vila de Trulie, alguns habitantes sempre mentem e os demais sempre falam a verdade. Alberto é um turista nessa vila e não conhece a natureza dos habitantes, ou seja, ele não sabe, a princípio, se um dado habitante sempre fala a verdade ou se sempre mente.

92. Passeando na vila, Alberto encontrou três habitantes e sabia que apenas um deles era médico, mas não sabia qual. Esses três habitantes, identificados por A, B e C, fizeram as seguintes afirmações:
A: “Olá, eu sou o médico da vila.”
B: “Olá, eu não sou o médico da vila.”
C: “Olá, no máximo um de nós sempre fala a verdade.”
A partir dessas afirmações, Alberto concluiu corretamente que o médico pode ser
(A) apenas A.
(B) apenas B.
(C) A ou C, mas não B.
(D) B ou C, mas não A.
(E) A ou B, mas não C.

Resolução:

Hipótese: A é médico. Logo:

• A diz a verdade
• B diz a verdade
• Até aqui temos 2 verdadeiros. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. Logo, C é mentiroso 

Não chegamos a qualquer contradição. Esta hipótese ainda é possível.


Hipótese: B é médico.

Logo:

• A mente
• B mente
• Até aqui temos 2 mentirosos. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. Logo, C é verdadeiro

Não chegamos a contradições. A hipótese acima é possível.

Hipótese: C é médico. Logo:

• A mente
• B diz a verdade
• Até aqui temos 1 verdadeiro e 1 mentiroso. Assim:

• caso C seja verdadeiro, teremos 2 verdadeiros. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. O que por sua vez torna C um mentiroso. Assim chegamos a uma contradição. Então descartamos esta hipótese.
• caso C seja falso, teremos um único verdadeiro. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. O que por sua vez torna C um verdadeiro. Chegamos novamente a uma contradição. Então descartamos esta hipótese. 

Então eliminamos esta hipótese, pois ela sempre nos leva a contradições.

Resultado: apenas A e B podem ser o médico. C não pode ser médico, pois tal hipótese nos leva a contradições.

Resposta: E

Contador TJ SP - questão 91

Hoje resolvo uma questão da Vunesp, questão do concurso do TJ SP, realizado agora em 2015.

 Três meninas têm um irmão cada uma. No total, esses seis jovens já ganharam 43 medalhas em competições de natação, sendo que Renato ganhou 2 medalhas, Márcio 3 e Rogério 5. Renata ganhou 7 medalhas a mais que seu irmão, Márcia ganhou 4 vezes mais medalhas que seu irmão e Rogéria ganhou 3 vezes mais medalhas que seu irmão. A diferença entre as medalhas recebidas por Renata e
Márcia é igual a
(A)  5.
(B)  1.
(C)  3.
(D)  2.
(E)  4.

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Montando uma tabela para fazermos as associações:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	20
Rogéria	6	9	15

Na tabela acima, elencamos todas as possibilidades. Exemplos:

• Se Renata for irmã de Renato, então ela tem 9 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• Se Renata for irmã de Márcio, então ela tem 10 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• ...
• Se Rogéria for irmã de Rogério, então ela tem 15 medalhas (3 vezes mais que seu irmão)

O total de medalhas é 43. Somando só os homens, já temos $2+3+5=10$. Para completar 43 faltam 33

Deste modo, somando as medalhas das mulheres devemos ter 33.

Vamos começar analisando a maior quantidade possível, que seriam 20 medalhas para Márcia, caso ela seja irmã de Rogério.

Hipótese: Márcia tem 20 medalhas.

Se Márcia tiver 20 medalhas, então as outras duas (Renata e Rogéria) devem ter, juntas, $ 33 - 20 = 13$ medalhas. Mas não é possível termos uma combinação de Renata e Rogéria que resulte em 13 medalhas. 

Conclusão: Márcia não tem 20 medalhas

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Já vimos que Márcia não é irmã de Rogério. Então a irmã de Rogério só pode ser Renata ou Rogéria.

Hipótese: Renata é irmã de Rogério

Nesse caso, Renata tem 10 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $ 33 - 10 = 23$. A única combinação que dá 23 é se Márcia tiver 8 e Rogéria tiver 15. Mas isso seria absurdo, pois exigira que Rogéria também fosse irmã de Rogério, quando nossa hipótese é a de que a irmã de Rogério é Renata.

Conclusão: Renata não é irmã de Rogério.

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	FALSO
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Por eliminação, Rogéria é irmã de Rogério. Logo, ela tem 15 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $33 - 15 = 18$. Isso ocorrerá se Renata tiver 10 e Márcia tiver 8, assim:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	FALSO	10	FALSO
Márcia	8	FALSO	FALSO
Rogéria	FALSO	FALSO	15

Renata recebeu 10 medalhas e Márcia recebeu 8. A diferença é de 2 medalhas. Resposta: D

Petrobras 2014 - questão 29

Hoje matamos a última das questões solicitadas pelo Cesar, vamos lá. 

Para ingressar em um curso de pós-graduação, os candidatos são avaliados por uma prova tradicional, com conteúdo técnico e específico, e os 25% melhores são classificados. Esse processo está sendo reavaliado e pensa-se em substituí-lo por uma prova de raciocínio lógico. Para testar esse processo, sessenta candidatos foram submetidos à prova de raciocínio lógico e à avaliação tradicional. A probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de  raciocínio  lógico,  dado  que  ele  foi  classificado  como um dos 25% melhores, foi 80%, e a probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de raciocínio lógico e não ter sido classificado foi de 50%. A probabilidade de um candidato não ter ficado entre os  25% melhores, dado que foi aprovado na prova de raciocínio lógico é de

a) 2/7

b) 3/10

c) 1/2

d) 7/10

e) 5/7

Resolução:

Dos 60 candidatos, só 25% são classificados no exame tradicional. 

$60 \times 0,25 = 15$

15 candidatos são classificados e o restante é desclassificado.

A chance de um aluno ter sido aprovado em lógica e ter sido desclassificado no exame tradicional é de 50%. Assim, metade dos 60 candidatos se encontra nesta situação:

A chance de um candidato ter sido aprovado em lógica, dado que foi classificado no exame tradicional, é de 80%. Em outras palavras, dos 15 que foram classificados no exame tradicional, 80% também foram aprovados em lógica.

$0,8 \times 15 = 12$

As demais células podem ser preenchidas por somas ou diferenças:

Foi pedida a chance de um candidato ter sido desclassificado no exame tradicional, dado que ele é um dos 42 que foram a provados em lógica. 

Temos então 30 casos favoráveis em 42 possíveis. A probabilidade fica:

$P = {30 \over 42} = {5 \over 7}$

Resposta: E

Petrobras 2014 - questão 36

Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos,
a segunda opção é considerada melhor
(A) dependendo somente da taxa j.
(B) dependendo somente do valor do serviço.
(C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j.
(D) em qualquer situação.
(E) em nenhuma situação.

Resolução

Questão mal elaborada, em que para resolver precisamos de uma certa dose de boa vontade com o examinador.

A questão não disse (mas deveria ter dito) que o valor total pago é o mesmo nas duas situações. Exemplo: ou o empreiteiro recebe uma vez de 12.000,00, um mês após o final da obra, ou recebe três prestações de 4.000,00 cada, sendo a primeira no final da obra.

Deste modo, temos o seguinte.

	Opção 1	Opção 2
Data 0 (fim da obra)		4.000
data 1 (um mês depois)	12.000	4.000
Data 2 (dois meses depois)		4.000

Vamos usar a data 1 como data focal. O valor do fluxo de caixa 2 na data focal tem que ser maior que o fluxo de caixa 1 na mesma data, para que a segunda opção seja melhor:

$ {4.000 \times (1+j)} + 4.000+ {4.000 \over 1+j}  > 12.000 $

Dividindo todos os termos por 4.000:

$ {1 \times (1+j)} + 1+ {1 \over 1+j}  > 3 $

$  {1 \over 1+j}  > 2 - (1+j) $

$  {1 \over 1+j}  >1-j $

Supondo taxas positivas, podemos multiplicar todos os termos por $1+j$:

$1 > (1-j) \times (1+j) $

$ 1 > 1 - j^2 $

Como $j^2$ é positivo, então o lado direito da igualdade será menor que 1, sempre. Portanto, essa desigualdade vale para qualquer taxa "j" positiva.

Portanto, a segunda opção é sempre melhor, em qualquer situação.

Gabarito: D

Petrobras 2014 - questão 35

Mais uma questão da prova da Petrobras 2014.

Seja Y uma variável qualitativa binária.
Selecionou-se  uma  amostra  aleatória  simples,  de  tamanho  16,

$Y_1 , \, Y_2, \, \cdots , \, Y_{16}$

para  se  estudar  uma  característica  tal que:
1; se ocorreu sucesso e
0; caso contrário.

Sabe-se que ocorreram 10 sucessos. A variância dessa amostra é
(A) 0,22
(B) 0,25
(C) 0,32
(D) 0,35
(E) 0,42

Resolução

A distribuição de frequências fica:

Valor (Y)	Frequência (f)	$Yf$	$Y^2 f$
1	10	10	10
0	6	0	0
Total	16	10	10

Agora podemos calcular as médias:

$\overline Y = {\sum Yf \over \sum f} = {10 \over 16} ={5 \over 8}$

$\overline {Y^2} = {\sum Y^2f \over \sum f} = {10 \over 16} = {5 \over 8}$

A variância populacional é dada por:

$ \sigma^2 = \overline{Y^2} - (\overline Y)^2 $

$ = {5 \over 8} - {25 \over 64} = {40-25 \over 64} = {15 \over 64}$


Finalmente fazemos o ajuste para a variância amostral:

$s^2 = {n \over n-1} \times \sigma^2 $

$ s^2 = {16 \over 15} \times {15 \over 64} = 0,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 34

Retomando as questões da Petrobrás, solicitadas pelo Cesar Goes

Uma operadora de cartão de crédito entra em contato com o cliente toda vez que o valor de uma compra for superior ao terceiro quartil mais uma vez e meia a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis dos gastos do cliente nos últimos doze meses. A seguir, mostram-se os gastos de um cliente nos últimos doze meses.

 Mês // Gasto
01 // 1.200,00
02 // 1.400,00
03 // 1.700,00
04 // 2.000,00
05 // 2.100,00
06 // 2.300,00
07 // 3.000,00
08 // 3.200,00
09 // 4.000,00
10 // 4.300,00
11 // 4.300,00
12 // 4.800,00

O menor valor de compra a partir do qual o cliente será contatado pela operadora do cartão nas compras do próximo mês é, em reais,
(A) 4.800,00
(B) 5.800,00
(C) 7.300,00
(D) 7.450,00
(E) 8.300,00

Resolução

Antes de mais nada vamos calcular os quartis. Quando temos dados em ROL, a determinação dos quartis é feita conforme os seguintes passos:

1) Determinamos a mediana (Q2)

Como temos uma quantidade par de observações (12), a mediana é a média entre os termos centrais:

$Q_2 = {2.300 + 3.000 \over 2} = 2.650$

2) Determinamos o primeiro quartil (Q1)

A mediana separa o conjunto de dados em duas partes. O primeiro quartil é a mediana da primeira parte:

1.200, 1.400, 1.700, 2.000, 2.100, 2.300

A mediana dessa primeira parte é a média dos termos centrais:

$Q_1 = {1.700 + 2.000 \over 2} = 1.850$

3) Determinamos o terceiro quartil (Q3)

O terceiro quartil é a mediana da segunda parte:

3.000, 3.200, 4.000, 4.300, 4.300, 4.800

$Q_3 = {4.000+4.300 \over 2} = 4.150$

Limite para a operadora entrar em contato

A operadora entra em contato se a compra for superior ao terceiro quartil somado a 1,5 vezes a diferença entre terceiro e primeiro quartil:

$Q_3 + 1,5 \times (Q_3 - Q_1) $

$4.150 + 1,5 \times (4.150 - 1.850)$

$= 7.600$

Na minha opinião não há resposta. O gabarito da banca foi letra C.

Petrobras 2014 - questão 30

Hoje vamos dar sequência à série de questões do concurso da Petrobras/2014, elaborado pela Cesgranrio..

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Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.

A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

(A) $0,45 \times 0,9^8$ 0

(B) $1 - 1,9 . 0,9^9$

(C) $1 - 1,35 . 0,9^8$

(D) $1,9 . 0,9^9$

(E) $1 - 0,45 . 0,9^8$

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No meu entendimento o enunciado da questão é completamente falho e a questão merecia ser anulada.

Primeiramente, vamos à solução pretendida pela banca.

Ao dizer que 90% das reclamações de seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto, a banca quis que a gente considerasse que 10% dos clientes sabem usar o produto. Ou seja, chamando de "p" a probabilidade de um cliente saber usar o produto, temos:

$p=0,1$

Seja "X" a variável que designa o número de clientes que sabem usar o produto na amostra. X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 (pois são 10 clientes) e p = 0,1.

Resultado:

$P(X=0) = C_{10,0} \times p^0 \times (1-p)^{10} = 0,9^{10}$

$P(X=1) = C_{10,1} \times p^1 \times (1-p)^{9} = 0,9^{9}$

Acima calculamos a chance de nenhum cliente saber usar o produto e a chance de 1 cliente saber usar o produto.

Somando as duas probabilidades, temos a chance de no máximo 1 cliente saber usar o produto:

$P(X=0 \cup X =1 ) = 0,9^9 +0,9^{10} = 0,9^9 \times (1+0,9) = 1,9 \times 0,9^9$

Se no máximo 1 cliente souber usar o produto, a alegação do fabricante é aceita. Como a questão pediu a chance de a alegação ser rejeitada, basta tomarmos o evento complementar:

$P(X \ge 2) = 1 - 1,9\times 0,9^9$

Resposta: B

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Críticas à questão

Primeira crítica: A informação de que 90% das reclamações são decorrentes de clientes que não sabem usar o aparelho não ajuda em absolutamente nada a determinar o percentual de clientes que não sabe usar o aparelho.

Ou seja, o candidato precisaria de muita boa vontade para interpretar o enunciado do jeito que a banca queria e, assim, resolver a questão.

Para tornar a crítica mais concreta, suponha que a empresa tenha 1.000 clientes, assim distribuídos:

• 900 não reclamam, assim distribuídos:
  
  
  
  • 800 sabem usar o produto e não reclamam
  • 100 não sabem usar o produto, e mesmo assim não reclamam (não têm paciência para acionar o fabricante)


• Os outros 100 reclamam, sendo que:
  
  
  
  • 90 deles não sabem usar o produto
  • 10 sabem usar, mas reclamam por outros motivos

Notem que respeitamos absolutamente todas as condições do enunciado, pois 90% das reclamações são de clientes que não sabem usar o produto (90 em 100 = 90%).

No entanto, se observarmos o percentual de clientes que não sabe usar o produto, teremos 90 + 100 = 190. Num total de 1.000 clientes, isso representa 19%, o que compromete todos os cálculos que realizamos acima.

Para corrigir tal falha, uma primeira tentativa de alterar o enunciado seria:

Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes que apresentaram reclamação e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Contudo, esta forma acima não sobrevive à nossa segunda crítica: seria perfeitamente possível que um cliente apresentasse mais de uma reclamação, o que mais uma vez atrapalharia todo o cálculo.

Por este motivo, o enunciado deveria ter sido redigido da seguinte forma:

Um fabricante alega que 90% dos seus clientes têm dificuldade em operar o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Pronto, a forma acima foge das duas críticas acima listadas e deixaria a questão mais clara.

Petrobras 2014–questão 21

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.

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Seja $ \theta$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$\tan \theta = 3$

Sabendo-se que

$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$

Desde que $ \cos \theta \ne 0$ , quanto vale $ \sec (2 \theta)$?

(A) - 0,8
(B) -1,25
(C) 0,8
(D) 1,25
(E) 10^0,5

Resolução:

$\tan \theta = 3 $

${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $

$\sin \theta = 3 \cos \theta $

$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\cos ^2 \theta = 0,1$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$

Finalmente:

$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 27

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás 2014, hoje vamos para a questão 27:

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Em um determinado período, a probabilidade de a inflação aumentar é 0,9, a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que a inflação aumenta, é 0,6 e a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que não ocorreu aumento na taxa de inflação, é 0,2.

A probabilidade de que ocorra aumento da taxa de inflação ou aumento da taxa referencial de juros é

(A) 0,10
(B) 0,50
(C) 0,54
(D) 0,92
(E) 0,96

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Vou chamar de "A" o evento que ocorre quando a inflação aumenta. Vou chamar de "B" o evento que ocorre quando a taxa referencial de juros aumenta.

O exercício nos deu as seguintes informações:

$ P(A)=0,9 $

$ P(B|A)=0,6$

$ P(B | \bar A)=0,2$

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1ª solução: abordagem frequentista da probabilidade.

Considere que estejamos diante de 1.000 cenários. Em 90% deles a inflação aumenta, respeitando P(A)=0,9. Ou seja,

• em 900 cenários a inflação aumenta
• em 100 cenários a inflação não aumenta

Nos casos em que a inflação não aumenta, a chance de aumento na taxa de juros é 20%. Assim, em

$ 0,2 \times 100=20$

em 20 cenários temos aumento na taxa de juros, sem aumento de inflação.

A questão pede os casos em que temos ao menos uma das duas coisas ocorrendo: aumento da inflação, ou aumento na taxa de juros.

Em negrito temos os casos que atendem a este quesito: 900 casos de inflação aumentando + 20 casos de taxa de juros aumentando, ainda que sem aumento da inflação = total de 920 casos.

Se temos 920 casos favoráveis em 1.000 possíveis, então a probabilidade procurada é de:

$920 \div 1.000=0,92$

Gabarito: D

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2ª solução: usando as fórmulas da probabilidade.

Primeiro começamos calculando P(B), por meio da fórmula da probabilidade total:

$ P(B)=P(B|A) \times P(A) + P(B|\bar A) \times P(\bar A)$

$ P(B) = 0,6 \times 0,9+0,2 \times 0,1=0,56$

Agora calculamos a probabilidade da intersecção entre A e B:

$ P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0,6 \times 0,9=0,54$

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade da união:

$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0,9+0,56-0,54=0,92$

Gabarito: D

Questão de Lógica do ICMS SP 2006

Hoje trabalho uma questão que deu certa polêmica no fórum do TecConcursos. Foi elaborada pela FCC para o concurso do ICMS SP 2006.

Basicamente, ela dá a tabela verdade de uma proposição composta e pede que a gente identifique a sentença que originou tal proposição.

Vamos lá!

Segue link da questão no site do TEC: https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/1573

Petrobras 2014 - parte 4

A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.

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Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é

a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728

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Casos possíveis

Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:

$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$

Este é o número de casos possíveis.

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Casos favoráveis

São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.

Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:

1. escolhemos exatamente dois dos signos
2. atribuímos estes signos às 4 pessoas

Para a escolha desses dois signos, temos um caso de combinação de 12 signos, tomados 2 a 2:

$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$

Há 66 modos de escolhermos os dois signos.

Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.

Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.

Podemos colocar:

• uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
• ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
• ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso

Observem que tais possibilidades estão conectadas pelo "ou". Estamos diante do princípio aditivo:

$ 4+6+4=14 $

Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:

$ 66 \times 14$

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Probabilidade

Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:

$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$

Dividindo numerador e denominador por 12:

$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$

$ P= {77 \over 1728}$

Gabarito:A

Petrobras 2014 - parte 3

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás, hoje veremos a questão 24:

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No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?

(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572

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Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.

O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).

Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.

Número total de possibilidades:

$ 7 \times 8 \times 8 = 448$

Vamos agora calcular o número de possibilidades em que não há algarismos repetidos.:

• para a escolha de X temos 7 opções
• para a escolha de Y temos 8 opções. Mas um dos algarismos já foi usado para X e não queremos repeti-lo. Então sobram 7 opções.
• para a escolha de Z temos inicialmente 8 algarismos. Mas dois deles já foram usados para X e Y e não queremos repeti-los. Sobram 6 opções.

Aplicando novamente o PFC:

$7 \times 7 \times 6 =294$

Assim, dos 448 números existentes, 294 não nos interessam, pois não apresentam ao menos um algarismo repetido.

$ 448-294=154$

Fazendo a diferença, descobrimos que 154 números atendem ao enunciado.

Gabarito: A

Petrobras 2014 - parte 2

Dando continuidade às questões da Petrobrás, hoje resolvemos a questão 25:

O produto de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1 e termos estritamente positivos é igual a oito vezes a soma desses termos. O maior dos três termos considerados, portanto, vale

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8

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Primeira solução:

Você pode simplesmente testar as alternativas. Como a PA é de razão 1, então temos algo do tipo:

$ (x-1), \, (x), \, (x+1) $

Como as alternativas estão nos dando candidatos ao maior termo, elas nos fornecem possíveis valores de x+1.

Com isso, as PAs fornecidas em cada alternativa são:

Na alternativa "A" a PA é 3, 2, 1. A soma vale 6 e o produto vale 6.

Na alternativa "B" a PA é 4, 3, 2. A soma vale 9 e o produto vale 24

Na alternativa "C" a PA é 5, 4, 3. A soma vale 12 e o produto vale 60

Na alternativa "D" a PA é 6, 5, 4. A soma vale 15 e o produto vale 120. Pronto, aqui já deu certo. O produto foi oito vezes maior que a soma (120 = 8 x 15). Gabarito: D

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Segunda solução.

A soma dos três termos fica:

$ (x-1)+x+(x+1) = 3x $

O produto dos três termos fica:

$ (x-1) \times x \times (x+1) $

A segunda quantia é oito vezes a primeira:

$ (x-1) \times x \times (x+1)=8 \times 3x $

Simplificando os dois lados da igualdade por "x":

$ (x-1) \times (x+1) = 24 $

$ x^2-1=24 $

$ x^2=25 $

$x = 5 $

O termo central da PA vale 5. Logo, o maior termo vale 5 + 1 = 6. Novamente marcamos gabarito letra D.