Teorema de Bayes–FCC 2007

Hoje respondo a uma dúvida da Ianna, aluna do meu curso de Estatística para o Bacen.

A dúvida é sobre a questão abaixo, que trata do Teorema de Byes.

Apesar de a questão poder ser resolvida com a aplicação direta deste teorema, vou optar por usar a abordagem frequentista da probabilidade.

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(FCC - TRF 2ª Região 2007)

Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é:

a) 0,9

b) 0,8

c) 0,4

d) 0,35

e) 0,32

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Resolução:

Vamos supor que a população tem 100.000 habitantes. Para obedecer às condições do enunciado, temos o seguinte quadro:

0,5% da população tem a doença.

São 500 doentes.

O teste detecta a doença em 95% dos casos (ele é 95% efetivo na detecção)

Logo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• Os outros 25 pacientes que têm a doença terão exame negativo

O restante da população é saudável:

São 99.500 saudáveis.

Em 1% destes casos o teste dá falso positivo

São 995 saudáveis com teste positivo

Os demais são saudáveis com teste negativo:

Resumindo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Estamos interessados nos casos em que a pessoa tem a doença. Os casos favoráveis são:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

E foi dada uma condição. A condição é o exame ter dado positivo. Vamos rever nossos casos possíveis e favoráveis.

Casos possíveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Casos favoráveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

A probabilidade fica:

Gabarito: E.

Equivalências lógicas

Hoje respondo a uma dúvida da Renata, aluna do meu curso de Raciocínio Lógico para o Bacen.

Ela pediu para resolver a questão abaixo, que trata de equivalências lógicas, usando a tabela verdade.

TRT 1ª Região 2008 [CESPE]

Para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por

possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a)

b)

c)

d)

e)

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Resolução:

Primeiro apresento a resolução já dad em aula.

Vamos partir da proposição dada no comando da questão.

Agora aplicamos a equivalência que transforma um condicional em disjunção. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

Agora temos uma negação de um “ou”. Verificando as alternativas, não há nenhuma que contemple a proposição acima. Precisamos trabalhar um pouco mais.

Para negar um “ou”, usamos a Lei de Morgan. Basta negar cada parcela e trocar o conectivo por um “e”:

Ah, agora sim. A alternativa “E” contempla justamente a proposição acima. Ela é a resposta.

Gabarito: E

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Abaixo, mostro como ficariam as tabelas verdade.

Só ressalto que, usando as tabelas verdade, a solução é bem mais demorada, pois precisamos testar todas as alternativas.

Iniciando pela tabela verdade da proposição de partida:

Agora deveríamos montar as tabelas verdades para todas as alternativas, para comparar com esta aí de cima.

Por sorte, caiu justo na tabela verdade típica do conectivo “e”, que só assume o valor V quando suas duas parcelas são V.

Em todo caso, vamos às alternativas.

Na letra “a” temos uma proposição composta pelo “ou”.

Ela só será falsa quando suas duas parcelas forem F. Isso ocorrerá quando:

• : falso, logo, é verdadeiro
• é falso.

Portanto:

A tabela verdade foi diferente daquela dada na questão.

Letra b:

Um condicional só é falso quando temos:

• Antecedente verdadeiro (logo, é falso)
• Consequente falso (logo, P é falso)

Nos demais casos, o condicional é verdadeiro:

A tabela verdade é diferente daquela dada no enunciado.

Letra c:

Novamente a tabela verdade é diferente da proposição de partida.

Letra d:

A negação dupla se anula. Ficamos com:

Que tem tabela verdade:

 

Letra e

Observem como coincide exatamente com a tabela verdade da proposição original. A última coluna só tem “V” na primeira célula. As demais são todas “F”.

E a Esaf não anulou…

Prezados,

Recentemente a Esaf divulgou o gabarito final do concurso de Especialista em Políticas Públicas do MPOG.

Infelizmente, a banca resolveu não anular duas questões extremamente problemáticas.

O único motivo pelo qual estou escrevendo este texto é o seguinte: acho que vale a pena continuar reclamando junto à banca, mesmo já tendo saí do gabarito definitivo.

Não estamos falando de questões controversas, em que juristas diferentes, autores diferentes, tribunais diferentes, têm posicionamentos diversos. Estamos falando de questões de matemática, uma ciência exata. E os problemas das questões não decorrem de diferentes interpretações do enunciado, o que, aí sim, envolveria aspectos possivelmente controversos. Não é isso. A matemática requerida para chegar ao gabarito pretendido pela banca é, por si só, inconsistente.

Em síntese, não há motivo algum para que ambas as questões não tenham sido anuladas.

Ok, você diz: mas Vítor, já saiu o gabarito definitivo, nada mais pode ser feito.

Se serve de esperança, em situação similar a esta, ou seja, em um caso de questão de matemática (financeira), em que a resposta da banca era matematicamente incorreta, já ví a Esaf anular questão depois do gabarito final. Ocorreu no concurso do AFRFB 2005. É por isso que acho que vale a pena continuar reclamando junto à banca.

E, detalhe: ao meu ver, o caso de 2005 não era tão grave quanto o atual. Embora, em 2005, o gabarito da banca fosse incorreto, ele correspondia à única alternativa próxima da resposta correta. Logo, bons alunos, mesmo diante da falha da banca, conseguiriam chegar ao gabarito da Esaf.

Neste concurso do MPOG/2013, em uma das questões problemáticas, nem isso ocorreu – o aluno precisaria de verdadeira bola de cristal para chegar ao gabarito.

Antes de iniciar os comentários às duas questões da prova, lembro que meu intuito é ajudar numa eventual reclamação administrativa, que geralmente não tem custo para o candidato. Ação judicial é outra história. Eu não atuo fornecendo pareceres junto à justiça, não tenho experiência em processos judiciais, não sei qual é a chance de um juiz dar provimento. Caso alguém vá por este caminho, é bom sempre saber que existe a possibilidade de decisão contrária. O juiz pode entender, por exemplo, que não cabe à justiça avaliar o mérito administrativa. Ou seja, pode-se perder a ação e ainda ter que arcar com custas mais o valor do advogado. Enfim, cada um decide o que fazer. Meu papel é só dar a minha opinião: as questões deveriam ter sido anuladas.

Dito isso, vamos às questões.

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Questão 34.

Enunciado:

O conjunto solução da equação

É dado por:

[omiti as alternativas]

Gabarito dado pela banca:

S = {-1, 0}

 

Na fundamentação para não acolhimento dos recursos, a banca diz:

“Logo, de forma alguma é necessário explicitar se a questão deve ser resolvida para calcular x ou y, pois, independentemente do valor de y (que pode assumir qualquer valor diferente de zero), a equação só é verdadeira se o expoente for nulo.” [o grifo não é do original]

Na solução apresentada pela banca, tem papel central o pressuposto de que “y” não pode ser igual a 0, conforme trecho grifado acima. Isto é importante pois temos uma potência do tipo

Para que a igualdade valha, a banca queria que igualássemos o expoente a 0, pois todo número elevado a 0 resulta em 1. Só que esta regra tem exceção: não resulta em 1, é uma forma indefinida. Por isso, a banca assumiu que a base de nossa potência é diferente de 0.

Contudo, esta informação, em momento algum, foi fornecida pela questão. Ficaria a cargo do candidato supor isso. Ficaria a cargo do candidato adivinhar o que a banca queria, algo incabível para uma prova de concurso.

Este motivo já era suficiente para anular a questão. No entanto, não é o único problema.

Suponhamos que o enunciado tivesse garantido que y é diferente de zero, que foi a suposição adicional, feita apenas quando da análise dos recursos. Mesmo com esta suposição, a questão continua tendo problemas.

A questão pede que seja assinalado o conjunto solução da equação. Por definição, o conjunto solução deve conter todos os elementos que satisfazem à equação. O que o gabarito da questão nos diz é que os únicos valores de x que satisfazem à equação são 0 e 1.

Muito bem. Façamos, por exemplo, e

Resultado:

Acabamos de verificar que, para x = 5 e y = 1, obtemos o resultado 1. Ou seja, trata-se de uma combinação que resolve a questão, e que deveria pertencer ao conjunto solução. Oras, se o “conjunto solução” apresentado pela banca não contempla esta solução acima, não pode ser considerado um conjunto solução, pelo fato de não abranger todas as respostas.

É possível encontrar infinitas outras soluções não contempladas no conjunto solução. Qualquer combinação de valores de x e y, em que y valha 1, também resolve a equação.

Por estes motivos, a questão não tem resposta correta e deve ser anulada.

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Questão 38.

Enunciado:

Paula e Flávia moram juntas e ambas trabalham na mesma loja e no mesmo horário. Elas caminham para o trabalho todos os dias e na mesma direção, de modo a chegarem no horário do início do trabalho. Flávia leva 10 minutos a menos do que Paula para chegar à loja exatamente no horário do início do trabalho. Um dia, por motivos particulares, Paula sai de casa com o objetivo de chegar à loja 10 minutos antes do início do trabalho. Nesse mesmo dia, após 5 minutos de Paula ter saído, Flávia começa a caminhar para a loja. Desse modo, sabendo que ambas caminham sempre na mesma direção, o tempo que Flávia levará para alcançar Paula, antes do início do trabalho é, em minutos, igual a:

a) 20

b) 30

c) 25

d) 35

e) 45

Gabarito da banca: C

 

Inicialmente, a própria redação da pergunta é confusa. Vejamos por partes:

“o tempo que Flávia levará para alcançar Paula, antes do início do trabalho é, em minutos, igual a”

Assim, uma possibilidade, conforme trecho acima grifado, é que a banca queira o cálculo do tempo que Flávia leva para alcançar Paula.

“o tempo que Flávia levará para alcançar Paula, antes do início do trabalho é, em minutos, igual a”

Outra possibilidade, conforme trecho acima grifado, é que a banca queira o cálculo do tempo entre o encontro de Flávia e Paula e o início do trabalho.

Pela fundamentação apresentada na análise dos recursos, conclui-se que esta é a hipótese pretendida pela banca. No entanto, o texto ficou extremamente mal escrito, não sendo imediato chegar a esta conclusão.

Independente da ausência de clareza na redação do enunciado, o fato é que, qualquer que seja o intervalo de tempo questionado, a questão não dá informações suficientes para resolver a questão.

Para comprovar que a resposta correta é a letra C, a própria banca fornece exemplos numéricos.

O primeiro exemplo numérico é o seguinte:

(1) Distância da casa até a fábrica é de 300 metros

(2) Paula leva 30 minutos para caminhar até a fábrica

(3) Flávia leva 20 minutos para caminhar até a fábrica

(4) Velocidade de Paula é igual a 300/30 = 10 m/min

(5) Velocidade de Flávia é igual a 300/20 = 15 m/min

(6) Início do trabalho na fábrica é às 7 horas

(7) Para chegar 10 minutos antes, Paula sai às 6:20

(8) Flávia sai às 6:25

(9) Quando Flávia sai, Paula já percorreu 10 * 5 = 50 metros

(10) Diferença entre as velocidades (velocidade relativa) é igual 10 – 5 = 5 m/min

(11) Tempo que Flávia leva para alcançar Paula depois de sair é a distância entre as duas, dividida pela diferença das velocidades, ou seja: 50/5= 10 minutos depois de sair de casa (ela sempre sai 5 minutos depois de Paula).

(12) Flávia alcançará Paula 10 minutos depois de sair e, portanto, chegará à fábrica 25 minutos antes do trabalho. Isso porque, como Paula saiu às 6:20 e Flávia às 6:25, ou seja, 25 minutos antes do início do trabalho, chegando na fábrica as (6:50) onde o trabalho começa as 7:00

 

O primeiro ponto relevante neste exemplo é: o último parágrafo, em que se apresenta a conclusão do problema, é repleto de erros. Vejamos:

• Flávia não chegará ao trabalho às 6:50, como alegado. Se ela sai de casa às 6:25 (vide informação 8), e demora 20 minutos no trajeto (vide informação 3), chegará ao trabalho às 6:45.
• Outro erro de informação: Flávia não chegará ao trabalho 25 minutos antes do início do trabalho. Se ela chega às 6:45 (vide conclusão acima) e o trabalho inicia às 7:00 (vide informação 6), então ela chegou apenas 15 minutos antes do início do trabalho

Ignorando todos os problemas do último parágrafo, vamos explorar melhor o caso concreto.

Pelo exemplo apresentado pela própria banca, temos o seguinte:

• Flávia sai de casa às 6:25 (informação 8), e encontra Paula 10 minutos depois (vide informação 11), às 6:35
• Como o trabalho inicia às 7:00 (vide informação 6) e o encontro ocorreu às 6:35, então temos que o encontro ocorreu 25 minutos antes do início do trabalho

Veja que o exemplo é perfeito. Construiu-se uma situação em que chegamos à resposta dada na alternativa C.

Este exemplo também demonstra que a banca queria o cálculo do tempo entre o encontro das amigas e o início do trabalho. Concluímos isto porque é o único tempo que vale 25 minutos. Os demais tempos envolvidos são todos diferentes de 25 minutos. Vejamos:

• tempo que Flávia leva para encontrar Paula = 10 minutos (conforme cálculos da banca)
• tempo que Flávia chega ao trabalho, antes do início do expediente = 15 minutos. Basta ver que ela sai de casa às 6:25 e leva 20 minutos para chegar ao trabalho. Chegará, portanto, às 6:45, apenas 15 minutos antes do expediente
• tempo entre o encontro e o horário em que Flávia chega ao trabalho: 10 minutos (basta notar que o encontro se dá às 6:35 e ela chega ao trabalho às 6:45)

Repetindo: por este primeiro exemplo dado pela banca, concluímos que a pergunta é sobre o tempo que leva entre o encontro das amigas e o início do expediente. Admitir o contrário significaria que já neste primeiro exemplo comprovamos que a questão não tem resposta.

O segundo exemplo, dado pela própria banca, é o seguinte:

(1) Distância da casa até a fábrica é de 600 metros

(2) Paula leva 40 minutos para caminhar até a fábrica

(3) Flávia leva 30 minutos para caminhar até a fábrica

(4) Velocidade de Paula é igual a 600/20 = 15 m/min

(5) Velocidade de Flávia é igual a 600/30 = 20m/ min

(6) Início do trabalho na fabrica é às 8 horas

(7) Para chegar 10 minutos antes Paula sai às 7:10

(8) Flávia sai às 7:15

(9) Quando Flávia sai, Paula já percorreu 15* 5 = 75 metros

(10) Diferença entre as velocidades (velocidade relativa) é igual 20 – 15 =5 m/min

(11) Tempo que Flávia leva para alcançar Paula é a distância entre as duas, dividida pela diferença das velocidades, ou seja: 75/5 = 15 min

(12) Flávia alcançará Paula 15 minutos depois de sair e, portanto, chegará à fábrica 25 minutos antes do trabalho. Isso porque, Paula saiu às 7:10 e Flávia às 7:25, alcançando Paula as 7:25 e, portanto, 25 minutos antes do início do trabalho (7:50) na fábrica que começa às 8:00.

 

Novamente, o último parágrafo, em que se apresentam as conclusões para o exemplo, está repleto de erros:

• Flávia não chegará ao trabalho 25 minutos antes do expediente, conforme alegado. Se ela sai de casa às 7:15 (informação 8) e demora 30 minutos no trajeto (informação 3), então chegará ao trabalho às 7:45. Como o trabalho inicia às 8:00 (informação 6), ela chegou apenas 15 minutos antes do horário do expediente.
• Flávia não chegará ao trabalho às 7:50, como alegado, mas sim às 7:45, como explicado acima.
• Flávia não alcança Paula às 7:25, como alegado. Ela alcança Paula 15 minutos depois de sair de casa (informação 11). Portanto, isso ocorre às 7:30.

Novamente ignorando os problemas do último parágrafo, vamos explorar melhor o exemplo.

Pela solução apresentada, tem-se:

• Flávia saiu de casa às 7:15 e encontra Paula 15 minutos depois, às 7:30
• Como o trabalho inicia às 8:00, temos que O ENCONTRO OCORREU TRINTA MINUTOS ANTES DO INÍCIO DO TRABALHO

Ou seja, no próprio exemplo dado pela banca, a resposta seria de 30 minutos, e não de 25 minutos. A própria banca forneceu um contra-exemplo para o enunciado. A própria banca demonstra que a resposta depende da suposição inicial feita pelo candidato.

Oras, se a resposta final depende da suposição inicial feita pelo candidato, então é possível chegar a qualquer resultado. Não há uma resposta única. Há infinitas respostas. Tudo depende da suposição inicial. Só acerta a questão o candidato que tiver a sorte de partir de uma hipótese similar à primeira montada pela banca.

Isso só ocorre porque o problema é aberto, não tem todas as informações necessárias para que se resolva a questão.

Genericamente, sejam:

• o tempo que Flávia leva para chegar ao trabalho (tempo em minutos)
• o tempo que Paula leva para chegar ao trabalho (ela leva 10 minutos a mais que a amiga)
• a distância entre a casa das moças e o local de trabalho
• a velocidade de Flávia
• a velocidade de Paula

Para calcular a velocidade, basta dividir a distância percorrida pelo tempo de trajeto:

A diferença de velocidade entre elas é:

Num dado dia, Paula sai de casa no instante , para chegar ao trabalho no instante . Como ela chega 10 minutos antes do expediente, concluímos que o expediente inicia no instante

Flávia sai de casa no instante (minutos depois de Paula). Neste intervalo de tempo, Paula já andou certa distância. Para calculá-la, basta multiplicar sua velocidade pelo tempo:

Paula já terá andado esta distância acima indicada.

Para que Flávia tire essa diferença, gastará determinado tempo. Para calculá-lo, basta dividir a distância acima (IV) pela velocidade relativa entre ambas (III):

Flávia demora minutos para alcançar Paula. Como Flávia iniciou a caminhada no instante 5, então o encontro ocorre no instante .

Dado que o expediente inicia no instante , concluímos que o encontro ocorreu:

O encontro ocorreu antes do início do expediente.

Observem então que, à medida que jogamos valores diferentes para “t”, obtemos respostas diferentes. Só chegaremos à resposta da banca se, por sorte, considerarmos t = 20. Foi exatamente o que a banca fez no primeiro exemplo – supôs que Flávia demora 20 minutos para chegar ao trabalho. Neste caso, a resposta dará:

A resposta dará realmente 25 minutos.

Já no segundo exemplo, a banca fez t = 30. Neste caso, o resultado não é mais 25:

O resultado passa para 30 minutos.

Assim, mesmo desconsiderando a redação confusa da questão, ela deve ser anulada, pois podemos obter qualquer resultado desejado – basta adotar valores diferentes para o tempo que Flávia demora para chegar ao trabalho. Só obteríamos o gabarito da banca se déssemos a sorte de fazer t = 20. Qualquer outra hipótese leva a respostas diferentes.