Petrobras 2014 - questão 29

Hoje matamos a última das questões solicitadas pelo Cesar, vamos lá. 

Para ingressar em um curso de pós-graduação, os candidatos são avaliados por uma prova tradicional, com conteúdo técnico e específico, e os 25% melhores são classificados. Esse processo está sendo reavaliado e pensa-se em substituí-lo por uma prova de raciocínio lógico. Para testar esse processo, sessenta candidatos foram submetidos à prova de raciocínio lógico e à avaliação tradicional. A probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de  raciocínio  lógico,  dado  que  ele  foi  classificado  como um dos 25% melhores, foi 80%, e a probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de raciocínio lógico e não ter sido classificado foi de 50%. A probabilidade de um candidato não ter ficado entre os  25% melhores, dado que foi aprovado na prova de raciocínio lógico é de

a) 2/7

b) 3/10

c) 1/2

d) 7/10

e) 5/7

Resolução:

Dos 60 candidatos, só 25% são classificados no exame tradicional. 

$60 \times 0,25 = 15$

15 candidatos são classificados e o restante é desclassificado.

A chance de um aluno ter sido aprovado em lógica e ter sido desclassificado no exame tradicional é de 50%. Assim, metade dos 60 candidatos se encontra nesta situação:

A chance de um candidato ter sido aprovado em lógica, dado que foi classificado no exame tradicional, é de 80%. Em outras palavras, dos 15 que foram classificados no exame tradicional, 80% também foram aprovados em lógica.

$0,8 \times 15 = 12$

As demais células podem ser preenchidas por somas ou diferenças:

Foi pedida a chance de um candidato ter sido desclassificado no exame tradicional, dado que ele é um dos 42 que foram a provados em lógica. 

Temos então 30 casos favoráveis em 42 possíveis. A probabilidade fica:

$P = {30 \over 42} = {5 \over 7}$

Resposta: E

Petrobras 2014 - questão 36

Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos,
a segunda opção é considerada melhor
(A) dependendo somente da taxa j.
(B) dependendo somente do valor do serviço.
(C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j.
(D) em qualquer situação.
(E) em nenhuma situação.

Resolução

Questão mal elaborada, em que para resolver precisamos de uma certa dose de boa vontade com o examinador.

A questão não disse (mas deveria ter dito) que o valor total pago é o mesmo nas duas situações. Exemplo: ou o empreiteiro recebe uma vez de 12.000,00, um mês após o final da obra, ou recebe três prestações de 4.000,00 cada, sendo a primeira no final da obra.

Deste modo, temos o seguinte.

	Opção 1	Opção 2
Data 0 (fim da obra)		4.000
data 1 (um mês depois)	12.000	4.000
Data 2 (dois meses depois)		4.000

Vamos usar a data 1 como data focal. O valor do fluxo de caixa 2 na data focal tem que ser maior que o fluxo de caixa 1 na mesma data, para que a segunda opção seja melhor:

$ {4.000 \times (1+j)} + 4.000+ {4.000 \over 1+j}  > 12.000 $

Dividindo todos os termos por 4.000:

$ {1 \times (1+j)} + 1+ {1 \over 1+j}  > 3 $

$  {1 \over 1+j}  > 2 - (1+j) $

$  {1 \over 1+j}  >1-j $

Supondo taxas positivas, podemos multiplicar todos os termos por $1+j$:

$1 > (1-j) \times (1+j) $

$ 1 > 1 - j^2 $

Como $j^2$ é positivo, então o lado direito da igualdade será menor que 1, sempre. Portanto, essa desigualdade vale para qualquer taxa "j" positiva.

Portanto, a segunda opção é sempre melhor, em qualquer situação.

Gabarito: D

Petrobras 2014 - questão 35

Mais uma questão da prova da Petrobras 2014.

Seja Y uma variável qualitativa binária.
Selecionou-se  uma  amostra  aleatória  simples,  de  tamanho  16,

$Y_1 , \, Y_2, \, \cdots , \, Y_{16}$

para  se  estudar  uma  característica  tal que:
1; se ocorreu sucesso e
0; caso contrário.

Sabe-se que ocorreram 10 sucessos. A variância dessa amostra é
(A) 0,22
(B) 0,25
(C) 0,32
(D) 0,35
(E) 0,42

Resolução

A distribuição de frequências fica:

Valor (Y)	Frequência (f)	$Yf$	$Y^2 f$
1	10	10	10
0	6	0	0
Total	16	10	10

Agora podemos calcular as médias:

$\overline Y = {\sum Yf \over \sum f} = {10 \over 16} ={5 \over 8}$

$\overline {Y^2} = {\sum Y^2f \over \sum f} = {10 \over 16} = {5 \over 8}$

A variância populacional é dada por:

$ \sigma^2 = \overline{Y^2} - (\overline Y)^2 $

$ = {5 \over 8} - {25 \over 64} = {40-25 \over 64} = {15 \over 64}$


Finalmente fazemos o ajuste para a variância amostral:

$s^2 = {n \over n-1} \times \sigma^2 $

$ s^2 = {16 \over 15} \times {15 \over 64} = 0,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 34

Retomando as questões da Petrobrás, solicitadas pelo Cesar Goes

Uma operadora de cartão de crédito entra em contato com o cliente toda vez que o valor de uma compra for superior ao terceiro quartil mais uma vez e meia a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis dos gastos do cliente nos últimos doze meses. A seguir, mostram-se os gastos de um cliente nos últimos doze meses.

 Mês // Gasto
01 // 1.200,00
02 // 1.400,00
03 // 1.700,00
04 // 2.000,00
05 // 2.100,00
06 // 2.300,00
07 // 3.000,00
08 // 3.200,00
09 // 4.000,00
10 // 4.300,00
11 // 4.300,00
12 // 4.800,00

O menor valor de compra a partir do qual o cliente será contatado pela operadora do cartão nas compras do próximo mês é, em reais,
(A) 4.800,00
(B) 5.800,00
(C) 7.300,00
(D) 7.450,00
(E) 8.300,00

Resolução

Antes de mais nada vamos calcular os quartis. Quando temos dados em ROL, a determinação dos quartis é feita conforme os seguintes passos:

1) Determinamos a mediana (Q2)

Como temos uma quantidade par de observações (12), a mediana é a média entre os termos centrais:

$Q_2 = {2.300 + 3.000 \over 2} = 2.650$

2) Determinamos o primeiro quartil (Q1)

A mediana separa o conjunto de dados em duas partes. O primeiro quartil é a mediana da primeira parte:

1.200, 1.400, 1.700, 2.000, 2.100, 2.300

A mediana dessa primeira parte é a média dos termos centrais:

$Q_1 = {1.700 + 2.000 \over 2} = 1.850$

3) Determinamos o terceiro quartil (Q3)

O terceiro quartil é a mediana da segunda parte:

3.000, 3.200, 4.000, 4.300, 4.300, 4.800

$Q_3 = {4.000+4.300 \over 2} = 4.150$

Limite para a operadora entrar em contato

A operadora entra em contato se a compra for superior ao terceiro quartil somado a 1,5 vezes a diferença entre terceiro e primeiro quartil:

$Q_3 + 1,5 \times (Q_3 - Q_1) $

$4.150 + 1,5 \times (4.150 - 1.850)$

$= 7.600$

Na minha opinião não há resposta. O gabarito da banca foi letra C.