Cálculo financeiro - custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento

Olá pessoal!

Tenho recebido mensagens perguntando sobre o assunto "Cálculo financeiro - custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento."

Trata-se de um assunto presente em editais do Cespe, e que será cobrado novamente agora no concurso da Caixa Econômica Federal.

Fiz então este vídeo abaixo, mostrando os principais tipos de questão. Evidentemente, o objetivo não é esgotar o assunto, apenas mostrar o que é mais comumente cobrado em provas.

Aproveitando a deixa, elaborei um curso completo de matemática financeira, disponível no Tec Concursos. O material começa em porcentagem, passa por juros e descontos, equivalência de capitais, rendas, amortizações, entre vários outros temas, indo até análise de investimentos. O material teórico é acompanhado de mais de 800 questões comentadas. Para conhecer, clique aqui.

Sem mais delongas, vamos ao vídeo de hoje:

[youtube=http://youtu.be/mhlCelZdoC4]

 

Raciocínio Lógico - ICMS RJ 2014

Resolução da prova de RLQ do ICMS RJ

[youtube=http://youtu.be/U0AsyhoIMsw]

49. Em um clube com 440 associados ocorre uma eleição para presidente, em que os dois primeiros colocados, entre 6 candidatos, passam para um segundo turno.

Se, no primeiro turno, todos os 440 associados votam, cada um, em apenas um dos candidatos, então o número mínimo de votos que assegura a um determinado candidato a sua participação no segundo turno é

(A) 221

(B) 147

(C) 89

(D) 111

(E) 74

50. A seguinte sequência numérica obedece, a partir do segundo número, a uma determinada lei de formação

6 , 42 , 114 , 222 , 366 , ....

O sexto termo dessa sequência é

(A) 600

(B) 510

(C) 546

(D) 564

(E) 582

51. Em uma grande empresa, 50% dos empregados são assinantes da revista X, 40% são assinantes da revista Y e 60% são assinantes da revista Z. Sabe-se que 20% dos empregados assinam as revistas X e Y, 30% assinam as revistas X e Z, 20% assinam as revistas Y e Z e 10% não assinam nenhuma das revistas. Considerando que existam somente as revistas X, Y e Z, obtém-se que a porcentagem dos empregados que assinam mais que uma revista é igual a

(A) 80%.

(B) 40%.

(C) 60%.

(D) 50%.

(E) 70%

52. Um indivíduo ser contador é condição suficiente para ele ter condições de trabalhar no ramo de Auditoria. Assim sendo,

(A) os indivíduos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria sempre são contadores.

(B) todos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores.

(C) é possível que alguns contadores não tenham condições de trabalhar no ramo de Auditoria.

(D) um indivíduo que não tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria nunca é contador.

(E) a maioria dos indivíduos que tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores.

Dona Araci participa de um programa de auditório que oferece prêmios. Três prêmios serão entregues a quem acertar quais objetos  valiosos  estão  ocultos  em  três  baús,  enumerados  de  1  a  3  e  posicionados  lado  a  lado  nesta  ordem.  Os  prêmios  são:  um  anel  de  brilhantes, uma barra de ouro e uma tiara de esmeraldas. Ao lado de cada um dos baús há uma pista escrita em um cartão. Dona Araci leu as três pistas. Pelas regras do programa, Dona Araci ganhará os três prêmios se descobrir em qual baú cada prêmio se encontra. As pistas dizem o seguinte:

Baú 1 − Pista número 1: “O anel de brilhantes está no baú 3”.

Baú 2 − Pista  número 2: “A barra de ouro está no baú de número 1.

Baú 3 − Pista número 3: “O anel de brilhantes está aqui”.

Dona  Araci  foi  avisada  pelo  apresentador  do  programa  que  a  afirmação  escrita  na  pista  associada  ao  baú  que  guarda  o  anel  de brilhantes tanto pode ser verdadeira quanto falsa, que a informação contida na pista relativa ao baú que contém a barra de ouro é falsa e que a informação contida na pista relativa ao baú que contém a tiara de esmeraldas é verdadeira. Com estes elementos, Dona Araci  levará os três prêmios se disser que os prêmios que se encontram, respectivamente, nos baús 1, 2 e 3 são:

A)  anel de brilhantes, barra de ouro e tiara de esmeraldas.

(B)  barra de ouro, tiara de esmeraldas e anel de brilhantes.

(C)  anel de brilhantes, tiara de esmeraldas e barra de ouro.

(D)  tiara de esmeraldas, barra de ouro e anel de brilhantes.

(E)  tiara de esmeraldas, anel de brilhantes e barra de ouro.

54.  Suponha que sejam verdadeiras as seguintes informações:

I.  Todos os empregados da empresa Alfa são competentes.

II.  Mário não trabalha na empresa Alfa.

III.  André é competente.

IV.  Alguns empregados da empresa Alfa são estudantes.

Então, é correto afirmar que

(A)  todos os estudantes são competentes.

(B)  existe pelo menos um estudante que é competente.

(C)  André trabalha na empresa Alfa.

(D)  Mário não é competente.

(E)  existe pelo menos um estudante que não trabalha na empresa Alfa.

Resolução da prova do ICMS RJ – Estatística

41. O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes resultados:

Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a

(A) 8,93

(B) 8,72

(C) 8,54

(D) 8,83

(E) 8,62

Ao valor 8 associamos a frequência acumulada

Ao valor 10 associamos a frequência acumulada:

À mediana (8,8) associamos a frequência acumulada 200 (metade do número de observações).

Então temos (valor/frequência acumulada):

8 --- 148

8,8 --- 200

10 ---- 148+x

Na interpolação linear, fazemos a diferença entre as linhas. Em seguida, montamos as frações e igualamos:

A soma de todas as frequências simples é 400:

Criando a variável auxiliar:

Agora calculamos a média:

Logo:

Portanto:

Gabarito: A

42 - Considere o modelo

(omiti a explicação sobre cada símbolo – basicamente é o modelo usual de regressão linear)

Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a

(A) 785

(B) 810

(C) 515

(D) 920

(E) 460

 

Primeiro calculamos , que é o estimador de :

A soma de quadrados total é igual a:

A soma de quadrados do modelo de regressão é:

Finalmente, calculamos a soma de quadrados dos resíduos:

Gabarito: D

43. Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é

a) 13/100

b) 13/55

c) 7/55

d) 9/110

e) 9/55

 

Número total de casos:

Casos favoráveis

1º tipo: três itens defeituosos

Há 4 formas de escolhermos três itens defeituosos

2º tipo: dois itens defeituosos e um item bom.

Escolha dos itens defeituosos:

Escolha do item bom:

Aplicando o princípio fundamental da contagem:

Há 48 formas de escolhermos 2 defeituosos e 1 bom.

Assim, há 3+48 = 51 casos favoráveis.

Probabilidade:

Gabarito: B

44) Sabe-se que:

I . X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância (2p-2p²).

II . Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância (5p-5p²).

III . A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.

Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a

a) 3/1024

b) 1/64

c) 5/512

d) 15/1024

e) 7/512

 

Resolução:

Antes de entrarmos na resolução da questão, vamos analisar uma distribuição Binomial genérica, com parâmetros “p” e “n”.

Sua esperança e sua variância são:

Dividindo a variância pela esperança:

A divisão entre ambas nos dá a probabilidade de fracasso em um experimento de Bernoulli.

Visto isso, vamos atacar a questão. Dividindo a variância de X por sua esperança:

Concluímos que, para X, a probabilidade “p” é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento. Ou seja, a questão está usando a nomenclatura usual, onde “p” é a chance de sucesso em cada extração.

Lembrando que a esperança é dada por:

E comprando isso com:

Concluímos que:

Uma distribuição binomial com parâmetro n = 2 só pode assumir valores 0, 1, e 2.

A chance de X = 2 é dada por:

Como a chance de X ser menor que 2 é 15/16, então:

Isto ocorre porque X só assume valores 0, 1 ou 2. Logo, o evento X < 2 é complementar a X = 2.

Voltando:

Agora vamos à variável Y. Dividindo sua variância por sua esperança:

O que nos indica que, também para a variável Y, a questão usa a simbologia usual (chamar a probabilidade de sucesso de “p”).

Comparando com , concluímos que, para Y, temos n=5.

Assim, Y é binomial com parâmetros

Agora calculamos as probabilidades:

Logo:

Gabarito: B

45) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é

(A) 0,594

(B) 0,910

(C) 0,766

(D) 0,628

(E) 0,750

Dado:

 

Resolução:

Se em para 1 hora a média é de 12 atendimentos, então para 20 minutos (um terço de hora), a média é:

A fórmula para a distribuição de Poisson é:

Agora substituímos “k” por 0, 1 e 2:

Mas nós queremos a probabilidade de X ser maior ou igual a 3. Basta tomar o evento complementar:

Gabarito: C

---

Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92;

P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

---

46. Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na variável aleatória que representa a proporção de caras em 100 lançamentos, estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC =

Sendo β a probabilidade do erro do tipo II , e admitindo-se a aproximação à normal para a distribuição de , o valor de β é

(A) 0,150

(B) 0,250

(C) 0,106

(D) 0,053

(E) 0,125

 

Resolução.

O exercício pediu a probabilidade de cometermos o erro de tipo II. Ou seja, de aceitarmos H0 dado que ela é falsa.

Isso significa obter proporção amostral menor que 0,75 quando a proporção populacional é 0,8.

Se a proporção populacional é 0,8 (p = 0,8), podemos calcular a esperança e a variância da proporção amostral, assim:

Agora calculamos a estatística teste (Zt):

A chance de aceitarmos H0 corresponde à

O exercício nos disse que:

Logo:

Como a normal reduzida é simétrica em torno de 0, temos:

Gabarito: C

47. O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma repartição pública tem distribuição normal com média μ = 140 segundos e desvio padrão σ = 50 segundos. A probabilidade de que um indivíduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é

(A) 0,765

(B) 0,632

(C) 0,235

(D) 0,189

(E) 0,678

 

O primeiro passo é calcular os escores da normal padrão correspondentes aos valores dados no enunciado. A transformação é feita assim:

Os tempos desejados são 180 segundos (3 minutos) e 240 segundos (4 minutos)

Vamos agora para o gráfico da função densidade da normal reduzida, para indicarmos as áreas desejadas:

O exercício nos disse que a área à esquerda de 2 vale 0,977. Portanto, a área amarela, à direita de 2, vale:

O exercício nos disse ainda que a área à esquerda de 0,8 vale 0,788. Portanto, a soma das áreas amarela e verde é igual a:

Portanto:

Tal área corresponde à chance de termos observações entre 3 minutos e 4 minutos.

Gabarito: D

48. Uma população infinita tem desvio padrão igual a 10 e média μ desconhecida. Uma amostra aleatória com reposição de tamanho n foi selecionada dessa população. Sabe-se que:

I . O valor de n deve ser tal que, com probabilidade 16%, o erro em se estimar μ seja superior a 1.

II . Se x é o valor da média amostral da amostra selecionada, então 7, 40 x = .

Baseado na amostra de tamanho n e nas condições I e II acima, um intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança de 95% é dado por

(A) [39,3 ; 42,1]

(B) [39,5 ; 41,9]

(C) [39,7 ; 41,7]

(D) [39,9 ; 41,5]

(E) [38,7 ; 42,7]

Resolução:

Primeiro vamos determinar o escore da normal padrão que delimita uma área de 16%:

Queremos que a chance de a normal reduzida Z se afastar de sua média (0) de uma distância maior que Zc seja igual a 16%.

Portanto, a soma das áreas verde e amarela vale 16%. Logo, cada uma delas é igual a 8%.

Se a área amarela é 8%, então:

Assim, a chance de Z se distanciar de sua média por uma distância superior a 1,4 é de 16%.

E o exercício pediu para que a chance de se distanciar de sua média por uma distância superior a 1 também seja de 16%.

O erro máximo de estimação é dado por:

Onde Zc é o escore da normal padrão associado à probabilidade desejada. Acabamos de descobrir que vale 1,4.

Queremos que o erro associado a tal probabilidade seja igual a 1:

Finalmente, vamos ao cálculo do intervalo de 95% de confiança. Ele tem o seguinte formato:

O que resulta em:

Gabarito: A