Taxa, capital e prazo médios

Hoje temos o sexto vídeo da série de matemática financeira.



Seguem enunciados trabalhados no vídeo de hoje:

Questão 28 - AFRF 2003 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

Questão 29 - AFRF 2002-1 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias

c) três meses e vinte e dois dias

d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

Questão 30 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Os valores de R$ 50.000 e R$ 100.000 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente.

O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12

b) 8

c) 10

d) 9,2

e) 7,5

Observação: todos os links para os vídeos da série de matemática financeira, e todos os arquivos com enunciados e gabaritos podem ser encontrados no seguinte endereço: http://exatasparaconcursos.wordpress.com/cursos-em-andamento/

Dados em classe

Hoje trago a questão abaixo, pedida pelo Leandro, aluno do meu curso de estatística.

GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

A tabela a seguir evidencia uma entrevista feita com 50 clientes, dividida por faixa etária

Com base nos dados dessa entrevista, é correto afirmar que

(A) há, na primeira faixa etária, ao menos 1 entrevistado com 25 anos.

(B) 12% dos entrevistados têm mais de 40 anos de idade.

(C) pelo menos 1 entrevistado, na terceira faixa etária, tem 32 anos.

(D) 48% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos.

(E) 88% dos entrevistados têm menos de 40 anos de idade.

Resolução:

Alternativa A – INCORRETA. O símbolo indica que o intervalo é:

• fechado à esquerda (ou seja, o limite inferior, de 18, faz parte do intervalo)
• aberto à direita (o limite superior, de 25, não faz parte do intervalo)
Logo, a idade 25 não faz parte da primeira faixa etária.

Alternativa B – INCORRETA. Só os 6 clientes da última classe têm 40 anos ou. Esses 6 clientes realmente representam 12% dos entrevistados. Veja que 12% de 50 clientes é realmente igual a 6:

O detalhe é que não temos como garantir que todos esses 6 clientes têm mais de 40 anos. Eles podem ter exatamente 40 anos.

Alternativa C – INCORRETA. Na terceira faixa temos entrevistados com idade de 32 (inclusive) a 40 (exclusive). Mas isso não nos garante que algum deles tenha exatamente 32 anos. Poderia ocorrer, por exemplo, de as idades serem: 33; 33,5; 34; 34,5; 35; 35,5; 36; 38. Encontramos um contra-exemplo em que nenhum dos clientes dessa classe têm 32 anos.

Alternativa D – INCORRETA. No intervalo de 18 a 32, temos as pessoas das duas primeiras classes. São 12 + 24 = 36 pessoas nesta situação.

Tais pessoas correspondem a 72% do total (e não 48%)

Alternativa E – CORRETA. Na letra B vimos que 12% têm de 40 anos para cima. Portanto,

88% têm menos de 40 anos. Alternativa correta.

Gabarito: E

Taxas equivalentes no regime simples

Continuação da série de vídeos de matemática financeira. Este é o quinto da série:



 

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 24 - SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Questão 25 - BANCOP 2007 [CESPE]

Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é

A inferior a 37%.

B superior ou igual a 37% e inferior a 40%.

C superior ou igual a 40% e inferior a 43%.

D superior ou igual a 43% e inferior a 46%.

E superior ou igual a 46%.

Questão 26 - GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA]

Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ 50.000,00, resgatando R$ 54.000,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação.

(A) 6% ao trimestre.

(B) 4% ao quadrimestre.

(C) 22 % ao ano.

(D) 10% ao semestre.

(E) 1,5% ao mês.

Questão 27 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:

a) 15,00%

b) 1,50%

c) 18,00%

d) 9,00%

e) 12,00%

 

Distribuição exponencial

Hoje respondo a uma dúvida do Rodolfo, aluno do meu curso de Estatística para o STN. Ele pediu para eu detalhar melhor uma resolução apresentada para a questão abaixo:

PARANA PREVIDÊNCIA [CESPE]

Em estudos previdenciários, é importante avaliar o tempo de sobrevida dos beneficiários, o qual, em geral, depende do perfil do beneficiário. Esse perfil é composto por um conjunto de características como idade, espécie de benefício (aposentadoria por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural), entre outras. Suponha que o tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil seja uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro 0,1, cuja função densidade é dada por

para t > 0 e f(t) = 0, para t < 0. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, utilizando, quando necessário, os valores da tabela acima.

1. O tempo médio de sobrevida dos beneficiários é inferior a 5 anos.

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Resolução:

Rodolfo, uma coisa que não falei em aula é o seguinte. Usei essa questão apenas para treinarmos os conceitos trabalhados em aula (que foi sobre introdução às variáveis aleatórias). Por isso na resolução dada em aula eu apresentei a origem dos resultados (esperança e variância) da variável aleatória, isso usando as fórmulas de definição.

Contudo, existem distribuições “famosas”, em que a média e a variância já são bastante conhecidas, sem necessidade de se fazer todo o cálculo. Certamente a pretensão desta questão era que o candidato já soubesse tais resultados de cabeça. Isso porque a variável definida é a famosa “distribuição exponencial”, que tem justamente a função densidade dada por:

Ela tem momentos bem conhecidos, dados por:

No caso da questão,

Então temos, de imediato, esperança igual a 10 e variância igual a 100. Isso sem precisar fazer qualquer integral.

Contudo, em aula eu nem mencionei os resultados acima, afinal, nesta aula não trabalhamos as distribuições de probabilidade mais conhecidas. A distribuição exponencial chegou a ser trabalhada em aula posterior (aula sobre distribuições). Mas, com a retificação do edital, modifiquei a aula de distribuições, e exclui o tópico.

Em todo caso, mesmo com a distribuição exponencial tendo sido eliminada do edital, a questão ainda é perfeitamente útil, afinal, o cálculo da esperança e da variância, para qualquer que seja a variável, pode ser feito a partir das fórmulas de definição. E foi exatamente isso que trabalhamos na aula de introdução às variáveis aleatórias.

Bom, chega de papo e vamos lá. Vamos fazer a partir das fórmulas de definição.

Queremos calcular o tempo médio (ou a esperança da variável T).

Da definição de esperança, temos:

Da definição de esperança, temos:

Como a função vale zero para t < 0, temos:

A dúvida do Rodolfo foi: como fazer essa integral?

Primeiro vamos modificar um pouco:

Bom, fazendo mais passo a passo, é o seguinte. A derivada do produto de duas funções é:

Logo:

Portanto:

Na integral que queremos calcular, fazendo

Ficamos com:

Que é a esperança da variável aleatória.

Rodolfo, é isso, qualquer coisa, só falar.

Juros exatos, juros bancários e juros comerciais

Continuação da abordagem do tópico "juros simples":



 

Questões abordadas no vídeo:

Questão 19 - SEFAZ CE 2006 [ESAF]

Uma pessoa aplicou um capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplicação do capital?

a) 144 dias

b) 146 dias

c) 150 dias

d) 153 dias

e) 155 dias

Questão 20 - SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias?

a) R$ 20.000,00.

b) R$ 20.100,00.

c) R$ 20.420,00.

d) R$ 22.000,00.

e) R$ 21.400,00.

Questão 21 - SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00.

Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é:

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

Questão 22 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial.

Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é:

a) R$ 7,50

b) R$ 15,00

c) R$ 22,50

d) R$ 30,00

e) R$ 37,50

Questão 23 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 de janeiro até 10 de abril daquele ano à taxa de juros diários deve render o mesmo valor total de juros, não importando se o cálculo for feito por meio do método de juros comerciais ou de juros exatos.

Manipulação de somatório

No meu curso de estatística trabalhamos algumas igualdades envolvendo somatório. São elas:

Daí o Rodolfo, aluno do meu curso de estatística, pediu que eu apresentasse uma demonstração desses resultados.

Bem, uma demonstração formal, ficarei devendo. Mas dá para entender de onde vêm essas igualdades.

Vejamos, por exemplo, a segunda igualdade.

Vamos trabalhar com:

Primeiro fazemos o quadrado da diferença:

Agora separamos o somatório da soma em soma de somatórios:

Mas a média aritmética é uma constante. Podemos retirá-la do somatório:

No último termo, temos o somatório de uma constante. Estamos somando:

“n” vezes. Logo, o resultado será:

Lembrando a definição de média aritmética:

O que resulta em:

Podemos substituir isso na nossa expressão. Tínhamos parado no seguinte ponto:

Agora substituímos o valor de :

Que foi uma das igualdades envolvendo somatório que apresentamos em aula:

Fizemos bem devagar, para ficar claro cada passo. Mas dá para fazer bem mais rápido.

Vejamos agora com a variável Y, como fica:

Se vocês repararem bem, esta é exatamente a mesma igualdade utilizada na minha aula de medidas de dispersão, quando estudamos a forma alternativa de cálculo da variância. Lembrando. A fórmula de definição é:

Agora substituímos o numerador, usando a igualdade que aprendemos a calcular:

No primeiro termo, temos a média dos quadrados de X:

Que é a forma alternativa de cálculo da variância.

E para não passar batido, vamos para a última igualdade que está faltando:

Apesar de num primeiro momento parecer muito difícil fazer toda essa manipulação acima, se você tentar fazer sozinho algumas vezes, verá que é bem rápido. Então deixo ao critério de cada um. Se você preferir decorar as igualdades envolvendo somatório, decore. Se preferir deduzir rapidamente quando precisar, ok, também serve.

Só ressalto que elas são realmente importantes, pois são muito utilizadas nas aulas de regressão linear e de análise de variância.