Caixa econômica 2012 - taxa efetiva e taxa nominal

Olá pessoal!

Hoje resolvo a questão a seguir, enviada pelo Adriano Ramos. Ele informa que é uma questão retirada do concurso da Caixa Econômica.

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(Caixa 2012) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de


(A) 10,51% (B) 10,25% (C) 5% (D) 10% (E) 5,51%

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Primeiro notem a taxa de 10,25% ao ano já é efetiva. Assim, para calcular a taxa efetiva semestral ($i_s$), basta fazermos:

$(1+i_s)^2=1,1025$

Fazemos desse jeito porque em um ano temos duas capitalizações semestrais. Em outras palavras, duas capitalizações da taxa $i_s$ resultam em uma capitalização anual de 10,25%.

Agora extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$1+i_s = 1,05$

$i_s=0,05$

A taxa efetiva semestral é igual a 5%. 

Tendo a taxa efetiva semestral, podemos calcular a taxa nominal anual. Para converter uma taxa efetiva em nominal, basta aplicarmos a regra de três.

5% .... 1 semestre

x ..... 2 semestres (=1 ano)

$x = 2 \times 0,05 = 0,1$

A taxa procurada é de 10%. 

Resposta: D

Petrobras 2014 - questão 29

Hoje matamos a última das questões solicitadas pelo Cesar, vamos lá. 

Para ingressar em um curso de pós-graduação, os candidatos são avaliados por uma prova tradicional, com conteúdo técnico e específico, e os 25% melhores são classificados. Esse processo está sendo reavaliado e pensa-se em substituí-lo por uma prova de raciocínio lógico. Para testar esse processo, sessenta candidatos foram submetidos à prova de raciocínio lógico e à avaliação tradicional. A probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de  raciocínio  lógico,  dado  que  ele  foi  classificado  como um dos 25% melhores, foi 80%, e a probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de raciocínio lógico e não ter sido classificado foi de 50%. A probabilidade de um candidato não ter ficado entre os  25% melhores, dado que foi aprovado na prova de raciocínio lógico é de

a) 2/7

b) 3/10

c) 1/2

d) 7/10

e) 5/7

Resolução:

Dos 60 candidatos, só 25% são classificados no exame tradicional. 

$60 \times 0,25 = 15$

15 candidatos são classificados e o restante é desclassificado.

A chance de um aluno ter sido aprovado em lógica e ter sido desclassificado no exame tradicional é de 50%. Assim, metade dos 60 candidatos se encontra nesta situação:

A chance de um candidato ter sido aprovado em lógica, dado que foi classificado no exame tradicional, é de 80%. Em outras palavras, dos 15 que foram classificados no exame tradicional, 80% também foram aprovados em lógica.

$0,8 \times 15 = 12$

As demais células podem ser preenchidas por somas ou diferenças:

Foi pedida a chance de um candidato ter sido desclassificado no exame tradicional, dado que ele é um dos 42 que foram a provados em lógica. 

Temos então 30 casos favoráveis em 42 possíveis. A probabilidade fica:

$P = {30 \over 42} = {5 \over 7}$

Resposta: E

Petrobras 2014 - questão 36

Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos,
a segunda opção é considerada melhor
(A) dependendo somente da taxa j.
(B) dependendo somente do valor do serviço.
(C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j.
(D) em qualquer situação.
(E) em nenhuma situação.

Resolução

Questão mal elaborada, em que para resolver precisamos de uma certa dose de boa vontade com o examinador.

A questão não disse (mas deveria ter dito) que o valor total pago é o mesmo nas duas situações. Exemplo: ou o empreiteiro recebe uma vez de 12.000,00, um mês após o final da obra, ou recebe três prestações de 4.000,00 cada, sendo a primeira no final da obra.

Deste modo, temos o seguinte.

	Opção 1	Opção 2
Data 0 (fim da obra)		4.000
data 1 (um mês depois)	12.000	4.000
Data 2 (dois meses depois)		4.000

Vamos usar a data 1 como data focal. O valor do fluxo de caixa 2 na data focal tem que ser maior que o fluxo de caixa 1 na mesma data, para que a segunda opção seja melhor:

$ {4.000 \times (1+j)} + 4.000+ {4.000 \over 1+j}  > 12.000 $

Dividindo todos os termos por 4.000:

$ {1 \times (1+j)} + 1+ {1 \over 1+j}  > 3 $

$  {1 \over 1+j}  > 2 - (1+j) $

$  {1 \over 1+j}  >1-j $

Supondo taxas positivas, podemos multiplicar todos os termos por $1+j$:

$1 > (1-j) \times (1+j) $

$ 1 > 1 - j^2 $

Como $j^2$ é positivo, então o lado direito da igualdade será menor que 1, sempre. Portanto, essa desigualdade vale para qualquer taxa "j" positiva.

Portanto, a segunda opção é sempre melhor, em qualquer situação.

Gabarito: D

Petrobras 2014 - questão 35

Mais uma questão da prova da Petrobras 2014.

Seja Y uma variável qualitativa binária.
Selecionou-se  uma  amostra  aleatória  simples,  de  tamanho  16,

$Y_1 , \, Y_2, \, \cdots , \, Y_{16}$

para  se  estudar  uma  característica  tal que:
1; se ocorreu sucesso e
0; caso contrário.

Sabe-se que ocorreram 10 sucessos. A variância dessa amostra é
(A) 0,22
(B) 0,25
(C) 0,32
(D) 0,35
(E) 0,42

Resolução

A distribuição de frequências fica:

Valor (Y)	Frequência (f)	$Yf$	$Y^2 f$
1	10	10	10
0	6	0	0
Total	16	10	10

Agora podemos calcular as médias:

$\overline Y = {\sum Yf \over \sum f} = {10 \over 16} ={5 \over 8}$

$\overline {Y^2} = {\sum Y^2f \over \sum f} = {10 \over 16} = {5 \over 8}$

A variância populacional é dada por:

$ \sigma^2 = \overline{Y^2} - (\overline Y)^2 $

$ = {5 \over 8} - {25 \over 64} = {40-25 \over 64} = {15 \over 64}$


Finalmente fazemos o ajuste para a variância amostral:

$s^2 = {n \over n-1} \times \sigma^2 $

$ s^2 = {16 \over 15} \times {15 \over 64} = 0,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 34

Retomando as questões da Petrobrás, solicitadas pelo Cesar Goes

Uma operadora de cartão de crédito entra em contato com o cliente toda vez que o valor de uma compra for superior ao terceiro quartil mais uma vez e meia a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis dos gastos do cliente nos últimos doze meses. A seguir, mostram-se os gastos de um cliente nos últimos doze meses.

 Mês // Gasto
01 // 1.200,00
02 // 1.400,00
03 // 1.700,00
04 // 2.000,00
05 // 2.100,00
06 // 2.300,00
07 // 3.000,00
08 // 3.200,00
09 // 4.000,00
10 // 4.300,00
11 // 4.300,00
12 // 4.800,00

O menor valor de compra a partir do qual o cliente será contatado pela operadora do cartão nas compras do próximo mês é, em reais,
(A) 4.800,00
(B) 5.800,00
(C) 7.300,00
(D) 7.450,00
(E) 8.300,00

Resolução

Antes de mais nada vamos calcular os quartis. Quando temos dados em ROL, a determinação dos quartis é feita conforme os seguintes passos:

1) Determinamos a mediana (Q2)

Como temos uma quantidade par de observações (12), a mediana é a média entre os termos centrais:

$Q_2 = {2.300 + 3.000 \over 2} = 2.650$

2) Determinamos o primeiro quartil (Q1)

A mediana separa o conjunto de dados em duas partes. O primeiro quartil é a mediana da primeira parte:

1.200, 1.400, 1.700, 2.000, 2.100, 2.300

A mediana dessa primeira parte é a média dos termos centrais:

$Q_1 = {1.700 + 2.000 \over 2} = 1.850$

3) Determinamos o terceiro quartil (Q3)

O terceiro quartil é a mediana da segunda parte:

3.000, 3.200, 4.000, 4.300, 4.300, 4.800

$Q_3 = {4.000+4.300 \over 2} = 4.150$

Limite para a operadora entrar em contato

A operadora entra em contato se a compra for superior ao terceiro quartil somado a 1,5 vezes a diferença entre terceiro e primeiro quartil:

$Q_3 + 1,5 \times (Q_3 - Q_1) $

$4.150 + 1,5 \times (4.150 - 1.850)$

$= 7.600$

Na minha opinião não há resposta. O gabarito da banca foi letra C.

Petrobras 2014 - questão 30

Hoje vamos dar sequência à série de questões do concurso da Petrobras/2014, elaborado pela Cesgranrio..

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Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.

A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

(A) $0,45 \times 0,9^8$ 0

(B) $1 - 1,9 . 0,9^9$

(C) $1 - 1,35 . 0,9^8$

(D) $1,9 . 0,9^9$

(E) $1 - 0,45 . 0,9^8$

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No meu entendimento o enunciado da questão é completamente falho e a questão merecia ser anulada.

Primeiramente, vamos à solução pretendida pela banca.

Ao dizer que 90% das reclamações de seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto, a banca quis que a gente considerasse que 10% dos clientes sabem usar o produto. Ou seja, chamando de "p" a probabilidade de um cliente saber usar o produto, temos:

$p=0,1$

Seja "X" a variável que designa o número de clientes que sabem usar o produto na amostra. X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 (pois são 10 clientes) e p = 0,1.

Resultado:

$P(X=0) = C_{10,0} \times p^0 \times (1-p)^{10} = 0,9^{10}$

$P(X=1) = C_{10,1} \times p^1 \times (1-p)^{9} = 0,9^{9}$

Acima calculamos a chance de nenhum cliente saber usar o produto e a chance de 1 cliente saber usar o produto.

Somando as duas probabilidades, temos a chance de no máximo 1 cliente saber usar o produto:

$P(X=0 \cup X =1 ) = 0,9^9 +0,9^{10} = 0,9^9 \times (1+0,9) = 1,9 \times 0,9^9$

Se no máximo 1 cliente souber usar o produto, a alegação do fabricante é aceita. Como a questão pediu a chance de a alegação ser rejeitada, basta tomarmos o evento complementar:

$P(X \ge 2) = 1 - 1,9\times 0,9^9$

Resposta: B

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Críticas à questão

Primeira crítica: A informação de que 90% das reclamações são decorrentes de clientes que não sabem usar o aparelho não ajuda em absolutamente nada a determinar o percentual de clientes que não sabe usar o aparelho.

Ou seja, o candidato precisaria de muita boa vontade para interpretar o enunciado do jeito que a banca queria e, assim, resolver a questão.

Para tornar a crítica mais concreta, suponha que a empresa tenha 1.000 clientes, assim distribuídos:

• 900 não reclamam, assim distribuídos:
  
  
  
  • 800 sabem usar o produto e não reclamam
  • 100 não sabem usar o produto, e mesmo assim não reclamam (não têm paciência para acionar o fabricante)


• Os outros 100 reclamam, sendo que:
  
  
  
  • 90 deles não sabem usar o produto
  • 10 sabem usar, mas reclamam por outros motivos

Notem que respeitamos absolutamente todas as condições do enunciado, pois 90% das reclamações são de clientes que não sabem usar o produto (90 em 100 = 90%).

No entanto, se observarmos o percentual de clientes que não sabe usar o produto, teremos 90 + 100 = 190. Num total de 1.000 clientes, isso representa 19%, o que compromete todos os cálculos que realizamos acima.

Para corrigir tal falha, uma primeira tentativa de alterar o enunciado seria:

Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes que apresentaram reclamação e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Contudo, esta forma acima não sobrevive à nossa segunda crítica: seria perfeitamente possível que um cliente apresentasse mais de uma reclamação, o que mais uma vez atrapalharia todo o cálculo.

Por este motivo, o enunciado deveria ter sido redigido da seguinte forma:

Um fabricante alega que 90% dos seus clientes têm dificuldade em operar o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Pronto, a forma acima foge das duas críticas acima listadas e deixaria a questão mais clara.

Petrobras 2014–questão 21

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.

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Seja $ \theta$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$\tan \theta = 3$

Sabendo-se que

$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$

Desde que $ \cos \theta \ne 0$ , quanto vale $ \sec (2 \theta)$?

(A) - 0,8
(B) -1,25
(C) 0,8
(D) 1,25
(E) 10^0,5

Resolução:

$\tan \theta = 3 $

${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $

$\sin \theta = 3 \cos \theta $

$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\cos ^2 \theta = 0,1$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$

Finalmente:

$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 27

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás 2014, hoje vamos para a questão 27:

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Em um determinado período, a probabilidade de a inflação aumentar é 0,9, a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que a inflação aumenta, é 0,6 e a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que não ocorreu aumento na taxa de inflação, é 0,2.

A probabilidade de que ocorra aumento da taxa de inflação ou aumento da taxa referencial de juros é

(A) 0,10
(B) 0,50
(C) 0,54
(D) 0,92
(E) 0,96

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Vou chamar de "A" o evento que ocorre quando a inflação aumenta. Vou chamar de "B" o evento que ocorre quando a taxa referencial de juros aumenta.

O exercício nos deu as seguintes informações:

$ P(A)=0,9 $

$ P(B|A)=0,6$

$ P(B | \bar A)=0,2$

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1ª solução: abordagem frequentista da probabilidade.

Considere que estejamos diante de 1.000 cenários. Em 90% deles a inflação aumenta, respeitando P(A)=0,9. Ou seja,

• em 900 cenários a inflação aumenta
• em 100 cenários a inflação não aumenta

Nos casos em que a inflação não aumenta, a chance de aumento na taxa de juros é 20%. Assim, em

$ 0,2 \times 100=20$

em 20 cenários temos aumento na taxa de juros, sem aumento de inflação.

A questão pede os casos em que temos ao menos uma das duas coisas ocorrendo: aumento da inflação, ou aumento na taxa de juros.

Em negrito temos os casos que atendem a este quesito: 900 casos de inflação aumentando + 20 casos de taxa de juros aumentando, ainda que sem aumento da inflação = total de 920 casos.

Se temos 920 casos favoráveis em 1.000 possíveis, então a probabilidade procurada é de:

$920 \div 1.000=0,92$

Gabarito: D

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2ª solução: usando as fórmulas da probabilidade.

Primeiro começamos calculando P(B), por meio da fórmula da probabilidade total:

$ P(B)=P(B|A) \times P(A) + P(B|\bar A) \times P(\bar A)$

$ P(B) = 0,6 \times 0,9+0,2 \times 0,1=0,56$

Agora calculamos a probabilidade da intersecção entre A e B:

$ P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0,6 \times 0,9=0,54$

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade da união:

$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0,9+0,56-0,54=0,92$

Gabarito: D

Petrobras 2014 - parte 4

A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.

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Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é

a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728

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Casos possíveis

Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:

$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$

Este é o número de casos possíveis.

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Casos favoráveis

São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.

Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:

1. escolhemos exatamente dois dos signos
2. atribuímos estes signos às 4 pessoas

Para a escolha desses dois signos, temos um caso de combinação de 12 signos, tomados 2 a 2:

$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$

Há 66 modos de escolhermos os dois signos.

Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.

Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.

Podemos colocar:

• uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
• ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
• ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso

Observem que tais possibilidades estão conectadas pelo "ou". Estamos diante do princípio aditivo:

$ 4+6+4=14 $

Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:

$ 66 \times 14$

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Probabilidade

Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:

$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$

Dividindo numerador e denominador por 12:

$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$

$ P= {77 \over 1728}$

Gabarito:A

Petrobras 2014 - parte 3

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás, hoje veremos a questão 24:

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No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?

(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572

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Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.

O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).

Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.

Número total de possibilidades:

$ 7 \times 8 \times 8 = 448$

Vamos agora calcular o número de possibilidades em que não há algarismos repetidos.:

• para a escolha de X temos 7 opções
• para a escolha de Y temos 8 opções. Mas um dos algarismos já foi usado para X e não queremos repeti-lo. Então sobram 7 opções.
• para a escolha de Z temos inicialmente 8 algarismos. Mas dois deles já foram usados para X e Y e não queremos repeti-los. Sobram 6 opções.

Aplicando novamente o PFC:

$7 \times 7 \times 6 =294$

Assim, dos 448 números existentes, 294 não nos interessam, pois não apresentam ao menos um algarismo repetido.

$ 448-294=154$

Fazendo a diferença, descobrimos que 154 números atendem ao enunciado.

Gabarito: A

Petrbrás 2014–parte 1

Olá pessoal!

Hoje inicio a resolução de uma série de questões da prova da Petrobrás, solicitada pelo César Goes. O concurso foi organizado pela Cesgranrio.

A série inicia com a questão 22 da prova:

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Seja f: [a,b]→R, onde a e b são números reais positivos com a < b, e g: [A,B]→R, tal que g(x) = a + b . f(x – a). Se A é o menor número real para o qual a função g pode ser definida, e B é o maior número real para que g esteja definida, então o intervalo [A,B] será igual a

(A) [0, b -a]

(B) [a, b]

(C) [a, a + b]

(D) [2a, b -a]

(E) [2a, a + b]

Resolução:

A função g é dada por:

Assim, fazendo x = k:

Na verdade a gente não precisaria usar “k”, daria para usar “x” mesmo. Só estou usando “k” porque acho que confunde menos.

O valor da função “g” neste ponto “k” depende de:

• · “a”, que é uma constante real positiva
• · “b”, que é outra constante real positiva
• ·

Deste modo, g(k) só vai existir se também existir f(k-a).

Já sabemos que a função “f” está definida no intervalo de “a” até “b”.

Assim, f(k-a) só existe se k-a estiver no intervalo de “a” até “b”:

Ou seja, os valores extremos para os quais a função “g” está definida são 2a e b+a. Isso está expresso na alternativa E, gabarito da questão.

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Agora vamos para a questão 23 da mesma prova:

Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões

Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era dada por

Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor?

(A) log 8

(B) log 5

(C) log 3

(D) log 2

(E) log 0,125

 

Resolução:

Agora vamos calcular a seguinte quantia:

Portanto, a resposta da questão será:

Multiplicando numerador e denominador pelo log de 2:

Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1.

Gabarito: B

Caixa Econômica 2012 - parte 1

Olá pessoal! Hoje resolvemos a primeira parte da prova da Caixa Econômica 2012.

[youtube=http://youtu.be/AKt3bbctNs8]

Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 prestações  mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização  Francês  (Tabela  Price),  gerando  uma prestação de R$ 1.028,61.

Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, aproximadamente,

(A) 1.099,00

(B) 1.371,00

(C) 1.428,00

(D) 1.714,00

(E) 2.127,00

Dado: 1,01^(-120) = 0,3

Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após um período, retorno de R$ 35.000,00.

A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é

(A)   34%

(B)   43%

(C)   75%

(D) 175%

(E) 275%

Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa

efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de

10,25% ao ano.

Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitaliza-

ção semestral de

(A) 5%

(B) 5,51%

(C) 10%

(D) 10,25%

(E) 10,51%

Petrobras 2012

Hoje resolvo um exercício a pedido da Renata Pessoa, aluna do meu curso regular de Estatística. Segue:

(Petrobras 2012 – Cesgranrio) O desenho esquemático (Box-Plot) abaixo representa a distribuição do tempo em anos de contribuição à previdência de aposentados de uma empresa até uma certa data.

Se forem selecionados dois aposentados aleatoriamente, a probabilidade de que pelo menos um deles se tenha  aposentado entre 28 e 32 anos é
(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 1/16
(D) 7/16
(E) 9/16

Resolução:

Veja que as idades de 28 e 32 anos estão delimitadas por dois quartis seguidos. 28 é o primeiro quartil e 32 é a mediana. Assim, 25% das observações estão nesse intervalo. Consequentemente, 75% das observações estão fora desse intervalo.

Vamos então calcular a chance de nenhum dos funcionários ter entre 28 e 32 anos. Vamos chamar esse evento de "A"

A chance de o primeiro funcionário não ter essa faixa etária é 0,75. A chance de o segundo funcionário também não ter é 0,75. A chance de os dois não terem de 28 a 32 é:

O evento complementar de A, indicado por ocorre quando pelo menos um dos funcionários tem entre 28 e 32 anos:



Com isso, eu marcaria a letra D.

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Transpetro 2012

Hoje respondo a uma dúvida da Pâmela, aluna do meu curso regular de Estatística. Ela pediu para eu resolver a questão abaixo, da Transpetro:

(Transpetro 2012 - Cesgranrio) Uma empresa tem 38 funcionários, sendo a média de idade 32 anos e o desvio padrão de 4 anos. Foram contratados mais dois funcionários, ambos com 32 anos. Em relação à variância original, a variância da nova distribuição de salários ficará

Dado: A variável idade é expressa em termos de anos completos.
(A) 5% menor
(B) 23,75% menor
(C) 76,25% menor
(D) 95% menor
(E) não se alterará

Resolução:

Em primeiro lugar, ressalto que não conferi o enunciado original na prova da banca, nem o gabarito definitivo, ok? Pâmela, estou confiando nas suas informações, tá bem?

Ok, vamos lá.

A média inicial era de 32.

Em seguida, acrescentamos mais dois funcionários com idade 32. Logo, a média não se altera. A média permanece em 32 anos.

O desvio padrão inicial era 4. Para calcular a variância, basta elevar o desvio padrão ao quadrado:

Como calculamos a variância?

Lembrando, a variância é a média dos quadrados dos desvios. Desvios esses calculados em relação à média aritmética. Logo, na situação inicial, temos:

Logo:

Em seguida, passamos a ter 40 funcionários, pois adicionamos mais dois valores iguais a 32. A nova variância fica:

No numerador temos um somatório. Podemos separá-lo em duas partes: a soma dos 38 desvios originais, mais a soma dos últimos dois desvios, correspondentes aos dois novos funcionários:

Os últimos dois desvios são nulos, porque os valores são exatamente iguais à média.

A nova variância é 95% da variância anterior. Logo, houve uma redução de 5% na variância. Deste modo, eu marcaria a letra “a”. Segundo a Pâmela, a questão foi anulada. Realmente não sei o motivo da anulação.