Resolução prova MPOG 2012 - parte 2

Hoje continuamos com a resolução da prova do MPOG.

Seguem enunciados:

A variável aleatória (x, y) possui distribuição conjunta de probabilidade dada por:



Sabendo-se que a expectância de (x, y) é igual a zero, E(x, y) = 0, E(y) = 0,6, e que E(y2) = 9,6, então o desvio padrão de x, a variância de y e a covariância entre x e y são, respectivamente, iguais a:

a) 1; 3; 1,2
b) 2; 9; -1,2
c) 5; 9,24; 1,2
d) 2; 0,36; -1,2
e) 1; 9,24; -1,2

Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância igual a 2. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y = 2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes, então a média e a variância de y são, respectivamente, iguais a:
a) 12; 12
b) 4; 8
c) 12; 8
d) 8; 8
e) 4; 12

Seguem comentários:

Resolução da prova de Técnico do DNIT 2012

Hoje resolvo a prova de Técnico do DNIT 2012.

Seguem enunciados:

1) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente equivalente a:

a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.

b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.

c) Paulo é médico ou Ana trabalha.

d) Ana trabalha e Paulo não é médico.

e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha

 

2) Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do DNIT serão selecionados ao acaso de um grupo com 4 homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecionados 2 homens e 1 mulher é igual a:

a) 55%

b) 40%

c) 60%

d) 45%

e) 50%

 

3) Uma escola oferece reforço escolar em todas as disciplinas. No mês passado, dos 100 alunos que fizeram reforço escolar nessa escola, 50 fizeram reforço em Matemática, 25 fizeram reforço em Português e 10 fizeram reforço em Matemática e Português. Então, é correto afirmar que, no mês passado, desses 100 alunos, os que não fizeram reforço em Matemática e nem em Português é igual a:

a) 15

b) 35

c) 20

d) 30

e) 25

 

4) Os elementos de uma matriz A_3X2, isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por:





Em que a_ij representa o elemento da matriz A_3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A_3X2 é igual a:

a) 17

b) 15

c) 12

d) 19

e) 13

 

5) O valor numérico da expressão



a)3

b)√3

c)5

d)√5

e)4

 

A solução está no vídeo abaixo:

RLQ DNIT 2012

No post de hoje trago a resolução da prova de Raciocínio lógico do DNIT/2012 (cargo de analista), feito pela Esaf. Seguem os enunciados:

1) A proposição composta p→p∧q é equivalente à proposição:

a)p∨q

b)p∧q

c)p

d)∼p∨q

e)q

2) Suponha que um avião levanta voo sob um ângulo de 30o. Depois de percorrer 2.800 metros em linha reta sob o mesmo ângulo da decolagem, a altura em que o avião  está do solo em relação ao ponto em que decolou é igual a:

a) 1.400 metros

b) 1.500 metros

c) 1.650 metros

d) 1.480 metros

e) 1.340 metros

3) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações

x+2y=7

2x+y=5

É igual a:

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 5

4) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a:

a) 35%

b) 20%

c) 30%

d) 15%

e) 25%

5) Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a:

a) 5

b) 12

c) 24

d) 6

e) 15

A resolução está no vídeo abaixo:

Lógica de argumentação–Auditor fiscal do trabalho 2010

No meu curso de lógica trabalhamos diversas técnicas de análise de argumentos. A 4ª técnica, que chamo de “análise de baixo para cima”, é uma bem interessante, que parte da conclusão, em seguida analisa as premissas, e com isso consegue determinar se o argumento é ou não válido.

Não vou reproduzir a explicação detalhada hoje, vou dar apenas o resultado final, que é apresentado no quadro abaixo:

Bom, uma questão bem complicada abordando este assunto foi cobrada pela Esaf no concurso do AFT 2010. Segue enunciado:

(ESAF 2010 – AFT) Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:

a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

 

No meu curso eu apresentei uma solução. Mas alguns alunos me pediram para apresentar uma segunda.

Vamos lá. Vou iniciar pela solução já apresentada durante o curso:

Bom, antes de tudo é bom frisar que a questão é difícil mesmo. Ela assusta por conta da quantidade de nomes “esquisitos”

Lembro que, durante o concurso do AFT 2010, na época dos recursos, a questão gerou muita polêmica. Minha caixa postal ficou cheia, teve muito concurseiro querendo a anulação da questão que, ao meu ver, está perfeita.

Teve muito aluno que saiu julgando as alternativas em verdadeiro ou falso, querendo argumentar que havia mais de uma alternativa correta.

O grande detalhe é: em análise de argumentos, não importa se as premissas são verdadeiras ou falsas, nem se a conclusão é verdadeira ou falsa. Isso não importa. Só analisamos a forma do argumento. Queremos saber se, assumindo que as premissas são verdadeiras, elas suportam a conclusão. Apenas isso.

Então vamos lá, vamos resolver a questão.

Premissa: Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

E cada alternativa traz uma conclusão diferente. Temos que identificar qual delas é logicamente suportada pela premissa.

Antes de fazermos isso, um comentário.

Se fôssemos tomar como base o “mundo real”, ou seja, se fôssemos tomar como base os ensinamentos de geometria, a premissa seria falsa. Isso mesmo. Ela é falsa porque existem tetraedros que são irregulares.

Pergunta: isso é relevante? Isso é importante?

Não, não é. Pouco importa o que diz a geometria. Só vamos analisar a forma do argumento. Portanto, vamos supor que a premissa é verdadeira mesmo.

Ok, vamos ler com calma a premissa. Olha o tanto de informações que ela nos traz:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Vamos dar nomes às proposições simples:

x: o poliedro é convexo

r: o poliedro é regular

t: o poliedro é um tetraedro

c: o poliedro é um cubo

o: o poliedro é um octaedro

d: o poliedro é um dodecaedro

i: o poliedro é um icosaedro.

Em símbolos, a premissa ficaria assim:

Olha o tanto de proposições simples que nós temos. São 7 proposições simples. Fazer a tabela verdade seria algo impensável...

Vamos agora analisar as alternativas.

a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

Premissa:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Conclusão:

Se um poliedro é convexo e regular, então o poliedro é um cubo.

E aí? A premissa suporta a conclusão?

Vamos escrever o argumento com símbolos:

Premissa:

Conclusão:

Na técnica 4, iniciamos fazendo a conclusão falsa. Para que a conclusão seja falsa, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Com isso, temos:

x: verdadeiro

r: verdadeiro

c: falso

Agora vamos tentar fazer a premissa verdadeira.

A primeira parcela do bicondicional é verdadeira, pois x e r são verdadeiros.

(V e V) = V

Se tivermos “t” verdadeiro, a segunda parcela do bicondicional também será verdadeira.

(V e V) = V		(V ou F ou ? ou ? ou ?) = V

Se as duas parcelas do bicondicional são verdadeiras, então essa premissa é verdadeira.

Pronto. Achamos um caso de premissa verdadeira e conclusão falsa. É o caso em que “x”, “r” e “t” são verdadeiros e “c” é falso. O argumento é inválido.

b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

Agora, em vez de usar símbolos, vamos usar palavras.

Vamos imaginar que temos um octaedro convexo e regular. Neste caso, a premissa seria verdadeira e a conclusão seria falsa.

Achamos um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. O argumento é inválido.

c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

Vamos agora analisar usando símbolos.

Premissa:

Conclusão:

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Isso ocorrerá se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Para que o antecedente seja verdadeiro, devemos ter:

c, t, o, d, i: falsos

Para que o consequente seja falso, devemos ter:

r: verdadeiro

Vamos agora tentar fazer a premissa ser verdadeira.

A segunda parcela do bicondicional é falsa (pois c, t, o, d, i são falsos).

Para que o bicondicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

A primeira parcela é:

Sabemos que r é verdadeiro. Assim, para que a primeira parcela seja falsa, devemos ter x falso.

Pronto. Quando x, c, t, o, d, i forem falsos e r for verdadeiro, a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa.

Mas professor, isso é um absurdo. Se o senhor afirma que r é verdadeiro e x é falso, está dizendo que existe poliedro regular que não é convexo. Mas isso é falso. Lá na geometria a gente aprende que todos os poliedros regulares são convexos.

Aí vem o detalhe: não interessa o que diz a geometria. Em argumentos, só vemos a forma. Não interessa o conteúdo, a correspondência com o mundo real.

A conclusão até pode ser verdadeira no mundo real. Mas não é suportada pela premissa fornecida. Logo, o argumento é inválido.

d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Vamos analisar com palavras.

Vamos imaginar um poliedro que seja regular, mas não seja convexo (o nome seria: côncavo)

Neste caso, a premissa seria verdadeira (pois as duas parcelas do bicondicional seriam falsas). E a conclusão seria falsa, pois a primeira parcela do bicondicional é falsa e a segunda é verdadeira.

e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

Vamos analisar com símbolos.

Premissa:

 

Conclusão:

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Temos um condicional. Para que ele seja falso, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Isso ocorrerá quando:

~r é verdadeiro, logo r é falso

~c é falso, logo, c é verdadeiro

Agora vamos tentar fazer com que a premissa seja verdadeira.

A premissa é:

.

Temos um bicondicional. Sua primeira parcela é falsa (pois r é falso). Sua segunda parcela é verdadeira, pois c é verdadeiro. Assim, o bicondicional é falso.

Ou seja, não conseguimos achar um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. Não conseguimos achar a linha que torna o argumento inválido.

Isso é porque esta linha não existe. O argumento é válido.

Gabarito: E

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Muito bem, como disse no início do artigo, houve alunos pedindo uma segunda solução. Vamos a ela.

Podemos utilizar a representação por meio de conjuntos. Eu particularmente procuro evitar isso em análise de argumentos que não envolvam proposições categóricas. É que, salvo no caso das proposições categóricas, a representação por conjuntos deixa a desejar e, se o aluno for desorganizado, acaba errando.

Em todo caso, vejamos como fazer.

Vamos representar os conjuntos:

O conjunto da esquerda representa os elementos que são convexos.

O conjunto do meio representa os elementos que são regulares

O conjunto da direita representa os elementos que são côncavos.

Os únicos elementos da intersecção em branco (regular e convexo) são os ali indicados: dodecaedro, cubo, tetraedro, icosaedro, octaedro. Com isso obedecemos à premissa que que nos diz que:

1) se o poliedro é convexo e regular, então é dodecaedro, tetraedro, cubo, icosaedro ou octoedro

2) se o poliedro é dodecaedro, tetraedro, cubo, icosaedro ou octoedro, então é convexo regular

Muito bem. vamos às alternativas.

 

Letra A: Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

Isso está errado. Se o poliedro é convexo e regular (região branca), não é necessariamente um cubo. Poderia ser um tetraedro, ou octaedro, entre outros.

 

Letra B: Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

Também está errado. Poderia ser um tetraedro e, com isso, estar na região branca. Logo, seria sim regular.

 

Letra C: Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

Também está errado. Sabemos que o poliedro não está na região branca (pois não é cubo, nem octaedro, em dodecaedro, nem icosaedro). Mas poderia muito bem estar na região amarela, onde temos os regulares que não são convexos.

Aqui é importante lembrar que estamos ignorando os ensinamentos da geometria. A geometria nos diz que não há elementos na região amarela. Contudo, em lógica, só podemos usar o que foi dado no argumento. Como tal informação não foi dada, a princípio, é sim possível que a região amarela tenha elementos.

 

Letra D; Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Mesma coisa da alternativa anterior. Por conta da região amarela, que pode sim ter elementos, não podemos afirmar que quem está fora da região branca não é regular.

 

Letra E: Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

Perfeito. Se o elemento está fora do conjunto do meio (regular), então realmente não tem como ser um cubo (pois o cubo está dentro do conjunto do meio).

É isso

Bons estudos!

 

Vítor

Resolução da prova de Estatística do MPOG 2012 - Parte 1

Para quem vai prestar concurso do STN, uma excelente forma de revisar a matéria de estatística é por meio da prova do MPOG 2012. A banca é a mesma (Esaf), as questões são "tiradas do forno", e o conteúdo é similar.

Hoje separei as primeiras dez questões para resolução. Segue vídeo:



 

Arce 2012 - FCC

Olá pessoal, hoje resolvo uma questão de variância do concurso do ARCE 2012 - FCC.

Segue enunciado:

ARCE 2012 – FCC) O desvio padrão e a média de uma população de tamanho N são dados, respectivamente, por 2 e 3. A soma dos quadrados dos elementos dessa população é igual a 390. Nessas condições, o valor de N é

(A)  90.

(B)  80.

(C)  60.

(D)  40.

(E)  30.

Coloquei a resolução no vídeo abaixo:

Mediana para dados em classe

Pessoal, recebi essa questão por e-mail da Rafaela Calmon. Trata-se de uma questão adaptada da FCC, extraída do ICMS SP 2009.

Pede-se o cálculo da mediana para dados em classe.

Segue vídeo:

Lógica de argumentação CGU 2006

Olá pessoal, trago hoje uma questão pedida pelo Jetro, aluno do meu curso de Raciocínio Lógico.

Segue enunciado:

(CGU 2006 – Esaf) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim,

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.

d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.

e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

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Resolução:

Sabemos que as seguintes informações são verdadeiras:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

Montamos uma tabela com todas as possibilidades e vamos riscando as situações que contradizem o enunciado.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

1 - Márcia não é magra ou Renata é ruiva.

Posso excluir os casos em que Márcia é magra e Renata não é ruiva (pois esta combinação tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

2 - Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva.

Excluo casos em que Beatriz não é bailarina e Renata é ruiva (novamente, é a hipótese que tornaria falsa a proposição acima).

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

3 - Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina.

Temos um conectivo “ou”. Ele só é falso quando as duas parcelas são falsas. No caso, a proposição é falsa quando Renata é ruiva e Beatriz é bailarina.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Repare que, olhando na tabela as informações que ainda não foram riscadas, já sabemos sobre Márcia (não é magra) e Renata (não é ruiva), só nos falta saber de Beatriz.

4 - Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra.

Agora temos um condicional. Qual a única situação em que um condicional é falso? Quando o primeiro termo é verdadeiro e o segundo é falso.

Podemos separar a frase em duas “parcelas”. A primeira se refere a Beatriz; a segunda é sobre Márcia. Quando Beatriz não é bailarina, a primeira parte é verdadeira. Quando Márcia é magra, a segunda parte é falsa. Primeiro termo verdadeiro e segundo termo falso faz com que a frase acima seja falsa.

Devemos, portanto, descartar esta opção.

Márcia	Renata	Beatriz
Magra	ruiva	bailarina
Magra	ruiva	Não bailarina
Magra	Não ruiva	bailarina
Magra	Não ruiva	Não bailarina
Não magra	ruiva	bailarina
Não magra	ruiva	Não bailarina
Não magra	Não ruiva	bailarina
Não magra	Não ruiva	Não bailarina

Portanto, Márcia não é magra, Renata não é ruiva e Beatriz é bailarina.

Gabarito: A

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Uma resolução mais rápida é a seguinte:

vamos combinar premissas para chegar em proposições mais simples (que é a ideia das regras de inferência).

As premissas são:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

Vamos focar nas premissas 2 e 3:

2) Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva

3) Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina

As duas premissas devem ser verdadeiras (ao mesmo tempo!!!).

Uma delas afirma que Beatriz é bailarina. A outra afirma que Beatriz não é bailarina.

Quanto à Beatriz, portanto, uma das duas premissas está errada.

Não nos interessa qual das duas premissas erra sobre Beatriz.

O que interessa é isso: uma das premissas apresenta uma parcela falsa (a parcela que fala sobre Beatriz).

Assim, a outra parcela deve ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira.

E qual é a outra parcela?

A outra parcela é: “Renata não é ruiva”.

Assim, a única forma de as duas premissas serem simultaneamente verdadeiras é se Renata não for ruiva.

Renata não é ruiva.

Vamos para a primeira premissa:

1) Márcia não é magra ou Renata é ruiva

A segunda parcela do “ou” é falsa. Logo, a primeira parcela deve ser verdadeira.

Márcia não é magra.

Vamos para a última premissa:

4) Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra

A segunda parcela do condicional é falsa. Para que o condicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

Beatriz é bailarina.

Pronto. Descobrimos que Renata não é ruiva, Márcia não é magra e Beatriz é bailarina. Isso sem precisar de chute para ser testado. Sem precisar de tabela. É bem mais rápido.