Sefaz PE

Hoje resolvo as questões da prova da Sefaz/PE. A banca ainda não disponibilizou o gabarito preliminar, então abaixo trago apenas as minhas respostas.

Como estou com pouco tempo disponível, vou direto para as resoluções, sem colocar os enunciados. Assim que a banca soltar as provas, altero esse post colocando os enunciados na íntegra, reanaliso se errei algo, e se cabe algum recurso.

Atualização: Agora que a banca disponibilizou os arquivos originais, dá para dizer que não há recursos cabíveis. Atualizei o post inserindo os enunciados. E pude resolver a questão 17, que estava parcialmente ilegível em meu arquivo escaneado.

11) No quadro abaixo tem-se o plano de amortização de uma dívida de R$ 4.800,00, pelo Sistema Francês, com taxa de 4% ao mês. Ela vai ser paga em 7 parcelas mensais consecutivas, vencendo a primeira delas ao completar um mês da data do empréstimo.



Na tabela, o saldo devedor não ficou zerado porque os cálculos foram feitos com valores aproximados, usando-se somente duas
casas decimais. Nestas condições, é verdade que W + X + Z é igual a
(A) R$ 4.042,25
(B) R$ 4.324,95
(C) R$ 4.294,85
(D) R$ 4.102,75
(E) R$ 4.435,85

Resolução:

X é obtido pegando o saldo devedor do mês anterior e subtraindo a amortização do mês atual:



Como as amortizações crescem em PG de razão 1,04, podemos calcular Z assim:



W é a diferença entre a prestação e a amortização do primeiro mês:



De modo que:



Resposta: E

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12) Um título de valor nominal R$ 1.196,00 vai ser descontado 20 dias antes do vencimento, à taxa mensal de desconto simples de 6%. O módulo da diferença entre os dois descontos possíveis, o racional e o comercial, é de
(A) R$ 0,96
(B) R$ 1,28
(C) R$ 1,84
(D) R$ 12,08
(E) R$ 18,40

Resolução

O período é de 2/3 de mês, a taxa mensal é de 6% e o valor nominal é 1.196.

Primeiro calculamos o desconto comercial:





Agora calculamos o desconto racional:



A diferença entre os dois descontos é:



Resposta: C

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13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 5.000,00, combinando devolvê-la ao fim de 4 meses, acrescida de seus juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Ao completar 3 meses da data do empréstimo, propõe ao credor liquidar a dívida por meio de dois pagamentos iguais, de P reais cada, um a vencer imediatamente e outro daí a 3 meses. Se, na nova transação, vão utilizar o critério do desconto composto racional, mantendo a taxa de 3% ao mês, o valor de P será igual ao produto de 5000 por:

(...)

Resolução

Novo fluxo de caixa:



O valor atual desse fluxo é 5.000:



Multiplicando todos os termos por 1,03^6:

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14) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial, tendo parâmetros n = 9 (n representando o número de ensaios) e p desconhecido (p representando a probabilidade de sucesso em cada ensaio). Desejando-se testar a hipótese nula H0: p = 0,5 versus a hipótese alternativa H1: p > 0,5, considerou-se rejeitar H0 se X for superior a 6. Nessas condições, o nível de significância do teste é igual a
(A) 25/256.
(B) 37/256.
(C) 5/256.
(D) 23/256.
(E) 45/256

Resolução:

Rejeitamos H0 caso obtenhamos 7, 8 ou 9 sucessos em 9 ensaios. A chance de isso ocorrer sob H0 é:







Total:







Resposta: D

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15) Suponha que o número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia seja uma variável com distribuição de Poisson com média de λ pedidos por dia. Sabe-se que o parâmetro λ satisfaz à equação P(X < λ) = 0,008, onde X é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média 15 e variância 25. Nessas condições, a probabilidade de o banco receber, em um dia qualquer, exatamente 4 pedidos de empréstimo
(A) é menor do que 16%.
(B) está compreendida entre 16% (inclusive) e 18% (exclusive).
(C) está compreendida entre 18% (inclusive) e 20% (exclusive).
(D) está compreendida entre 20% (inclusive) e 22% (exclusive).
(E) é maior do que 25%.

 

Resolução:

Sabemos que:



Logo:



Dada a simetria da normal reduzida:



Sabemos que:



Quando Z vale -2,40, X vale lambd



Chance de a distribuição de Poisson assumir o valor 4:



Resposta: C

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16) Com o objetivo de se estimar a renda média mensal, μ, em número de salários mínimos (SM) dos servidores públicos com nível de formação superior (bacharéis) de determinada população, selecionou-se uma amostra aleatória de 100 servidores bacharéis. Os resultados obtidos encontram-se na tabela de distribuição de frequências apresentada a seguir:

 

Considere:
I. Que a população de onde a amostra foi retirada é infinita e tem distribuição normal com desvio padrão igual a 1,6 SM.
II. Para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 100 rendimentos apresentados, foi calculada considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo.
Nessas condições, o intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança igual a 96%, baseado nessa amostra, é dado
por
(A) (9,072; 9,728)
(B) (9,315; 9,725)
(C) (9,180; 9,720)
(D) (9,206; 9,834)
(E) (9,192; 9,848)

Resolução:

Primeiro calculamos a média da amostra:





O intervalo de confiança fica:



O escore da normal padrão vale 2,05, pois:





Logo, o intervalo de confiança fica:



O que nos leva a:

9,192; 9,848

Resposta: E

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17) Considere os quatro primeiros elementos de uma sequência de figuras formadas pela união de carinhas felizes e tristes, como mostrado a seguir:



Sabendo que o padrão observado nos quatro primeiros elementos mantém-se para os demais elementos da sequência, é correto concluir que a figura localizada na 999a posição apresentará um total de carinhas tristes igual a
(A) 499 500
(B) 500 750
(C) 501 000
(D) 500 250
(E) 500 000

Resolução:

O número de carinhas tristes é formado pela sequência: 1, 3, 6, ...

O primeiro termo desta sequência é 1, que corresponde à soma do primeiro número natural:



O segundo termo desta sequência é 3, que corresponde à soma dos dois primeiros naturais:



O terceiro termo é 6, que corresponde à soma dos três primeiros naturais:



O quarto termo é 10, que corresponde à soma dos quatro primeiros naturais:



E assim por diante.

O 999º termo será a soma dos 999 primeiros naturais:



Temos a soma dos termos de uma PA de razão 1. Para calcular a soma, fazemos a média entre o primeiro e o último termo, e multiplicamos pelo número de elementos:



Resposta: A

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18) Um concurso público disponibilizará sete vagas para o cargo de auditor, distribuídas entre quatro cidades conforme descrito na tabela, a seguir:

• Recife: 3 vagas


• Caruaru: 2 vagas


• Petrolina: 2 vaga


• Salgueiro: 1 vaga

Depois que os sete aprovados forem definidos, o número de diferentes maneiras que eles poderão ser distribuídos entre as quatro cidades é igual a
(A) 35
(B) 56
(C) 210
(D) 420
(E) 5040

Resolução:

Suponha que os candidatos serão distribuídos por sorteio. Os 3 primeiros sorteados vão para Recife. Os dois seguintes para Caruaru. E assim por diante.

Permutando a ordem entre os 7, temos um novo caso. Logo, trata-se de permutação de 7 elementos, com repetição de 3 vezes Recife, e 2 vezes Caruaru:



Resposta: D

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19) Um novo edifício será construído para abrigar a sede de uma secretaria estadual. Um dos responsáveis pela obra planejou que, na fase de terraplenagem do terreno, serão necessários 10 caminhões basculantes, de mesma capacidade, para transportar a terra retirada do local, cada um deles fazendo 22 viagens. Entretanto, durante a execução da obra, ele só conseguiu 4 desses caminhões, além de 3 caminhões pequenos, com metade da capacidade dos basculantes. De acordo com o planejamento inicial e considerando que os 7 caminhões disponíveis façam o mesmo número de viagens, cada caminhão deverá fazer, nas novas condições, um total de
(A) 44 viagens.
(B) 40 viagens.
(C) 36 viagens.
(D) 33 viagens.
(E) 31 viagens.

Resolução:

Suponha que cada basculante transporte, por viagem, X toneladas de terra.

Assim, a quantidade de terra é:



Durante a obra, cada caminhão fará “Y” viagens. A quantidade de terra removida será:



Igualando essa quantia a 220X:





Cada caminhão fará 40 viagens.

Resposta: B

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20) . Em determinado setor de um hospital, há apenas três médicos: Lígia, Marina e Roberto. Todos os dias, inclusive domingos e feriados, um único dentre os três deve estar de plantão. Para os meses de novembro, que tem 30 dias, e dezembro, que tem 31 dias, a escala foi feita de modo que o mesmo médico nunca estivesse de plantão em dois dias consecutivos. Os totais de dias em que Lígia, Marina e Roberto darão plantão nesse período são, respectivamente, 31, 18 e 12. Com apenas essas informações, é correto concluir que, necessariamente,
(A) se Lígia estiver de plantão no dia 1 de novembro, então Marina estará no dia 31 de dezembro.
(B) não haverá 3 dias consecutivos nesse período em que o plantão será dado por 3 médicos diferentes.
(C) haverá pelo menos 5 dias consecutivos nesse período nos quais Roberto ficará sem dar plantão.
(D) Marina não poderá ficar 7 dias consecutivos sem dar plantão nesse período.
(E) se Lígia der plantão no dia 31 de dezembro, então poderá estar de folga no dia 25 do mesmo mês.

Resolução:

Como Lígia dá plantão em 31 dos 61 dias, ela está presente em mais da metade dos plantões. Como ela não pode trabalhar dois dias seguidos, a única forma de ela fazer isso é se ela trabalhar dia sim, dia não, e, além disso, iniciar trabalhando dia 1/11 e finalizar trabalhando dia 31/12

Ou seja, Lígia vai trabalhar em todos os dias ímpares deste período (1/11, 3/11, 5/11, etc)

Sabendo disso, vamos às alternativas:

a) Errada. Lígia realmente estará de plantão dia 1/11, mas Marina não estará no dia 31/12, pois tal dia também é de Lígia.

b) Errada. Seria possível, por exemplo, termos:

2/11: Marina

3/11: Lígia

4/11: Roberto

c) Correta.

Roberto só pode ter seus plantões espaçados de uma quantidade par de dias, já que Lígia dá plantão dia sim, dia não.

Se ele der plantões de 2 em 2 dias, no dia 24/11 já terminam os plantões dele, e teremos o mês de dezembro inteiro sem plantão de Roberto.

Se ele der plantão de 4 em 4 dias, no dia 18/12 já terminam os plantões dele, e teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Se ele der plantão de 6 em 6 dias, então teremos vários períodos com 5 dias consecutivos sem plantão.

Se ele tentar misturar períodos com intervalos de 4 dias sem plantão com intervalos de 2 dias sem plantão, teremos uma mistura dos dois primeiros casos, e seus plantões se encerrarão em alguma data entre 24/11 e 18/12. Novamente teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Ou seja, de um jeito ou de outro, sempre haverá algum caso de 5 dias consecutivos sem plantão de Roberto.

d) Errada.

Poderíamos colocar Roberto dando plantão nos dias 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24 de novembro. E Marina daria plantões nos dias pares daí para frente. Veja que ela terá ficado 26 dias sem dar plantão.

e) Incorreta. Já sabemos que Lígia vai dar sim plantão dia 31. E também dará no dia 25/12. Logo, é errado dizer que poderá estar de folga dia 25.

Prova de estatística - Prefeitura de Recife

Hoje resolvo a prova de estatística do concurso de analista de controle interno da Prefeitura de Recife.

[youtube=http://youtu.be/Y09wYgUeQAw]

Recursos para ISS Recife

Neste artigo apresento recursos para a prova de matemática financeira do ISS Recife.

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Suponha que um crédito pessoal de R$ 500,00 seja tomado junto ao banco, à taxa de juros mensal de 50%, cujo prazo de pagamento seja de dois meses.

Considerando o modelo Price de pagamento, a parcela a ser paga no último mês e a amortização são, respectivamente, iguais a

(A) R$ 450,00 e R$ 440,00.

(B) R$ 500,00 e R$ 500,00.

(C) R$ 375,00 e R$ 250,00.

(D) R$ 1125,00 e R$ 500,00.

(E) R$ 750,00 e R$ 500,00.

Gabarito da banca: A

Solicitação: anulação da questão.

A alternativa dada como correta no gabarito preliminar, letra “A”, indica uma prestação de 450 reais. Este valor é obtido supondo-se um financiamento com primeiro pagamento depois de 30 dias da assinatura do contrato (série postecipada). Basta notar que, se X for o valor da prestação mensal, então:

Deste modo, se a prestação é de 450 reais e a série é postecipada, pode-se calcular mês a mês a evolução da dívida.

Ao final do primeiro mês tem-se juros de 50% incidindo sobre o valor do empréstimo:

Como a prestação é de 450 reais e como 250 reais são referentes a juros, o restante é utilizado para amortizar a dívida:

Resultado: no primeiro mês a dívida amortizada é de 200 reais. Se só resta mais uma prestação a ser paga, e se a dívida original era de R$ 500,00, então necessariamente a segunda amortização será de R$ 300,00, correspondente à diferença entre 500 e 200. O que demonstra que a questão não tem resposta correta.

Em todo caso, dando continuidade à resolução da questão: se a dívida era de R$ 500,00 e foi amortizada em R$ 200,00, o saldo devedor cai para R$ 300,00.

No segundo mês há juros de 50% incidentes sobre o saldo devedor (300 reais), produzindo juros de 150 reais. Como a prestação é de 450 reais, resulta que a segunda amortização será de:

A segunda amortização é de 300 reais, o que zera o saldo devedor.

A tabela abaixo mostra a evolução da dívida:

Deste modo, a amortização do último mês não é de 440 reais, conforme indicado na letra A. Dada a ausência de resposta correta, solicita-se a anulação da questão.

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18 Atualmente, a taxa de inflação se encontra em torno de 6,5% ao ano. Suponha que o Banco Central (BC) estime que, para se alcançar o centro da meta inflacionária de 4,5%, sejam necessários 12 meses e taxa de juros real de 15% ao ano. Sabe-se que, quanto maior o centro da meta e mais elevada a taxa real de juros, menor o prazo para alcançá-lo. Caso o centro da meta fosse reduzido para 2%, e a taxa real de juros para 10%, o BC precisaria, para atingi-lo, de

(A) 8 meses.

(B) 18 meses.

(C) 20 meses.

(D) 33,75 meses.

(E) 40,5 meses.

Gabarito da banca: C

Solicitação: anulação

O edital previa o seguinte conteúdo de matemática financeira:

Juros simples e compostos. Taxas de juros. Desconto. Equivalência de capitais. Anuidades. Perpetuidades. Sistemas de amortização. Números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem.

Considerando que a presente questão não trata de juros simples nem compostos, não trata de desconto, nem equivalência de capitais, nem de anuidades ou perpetuidades, nem de sistemas de amortização, só nos resta supor que se trata de uma questão sobre grandezas proporcionais e regra de três.

Partindo deste pressuposto, a frase do enunciado que pretendeu nos dar a informação sobre o comportamento das grandezas é esta:

Sabe-se que, quanto maior o centro da meta e mais elevada a taxa real de juros, menor o prazo para alcançá-lo.

A frase não é suficientemente clara, impossibilitando a interpretação do candidato. Saber que uma elevação no centro da meta, combinada com uma elevação na taxa real de juros, diminui o prazo, em nada contribui para a aplicação de uma regra de três.

A regra de três se baseia na influencia isolada de uma grandeza na outra. Se fosse afirmado que:

• mantida a taxa real de juros, o centro da meta varia de forma inversamente proporcional ao prazo, e;


• mantido o centro da meta, a taxa real de juros varia de forma inversamente proporcional ao prazo

nesta hipótese, sim, caberia a aplicação da regra de três.

No entanto, se apenas a ação combinada de elevação do centro da meta e da elevação da taxa real repercutir na redução do prazo, não é possível aplicar uma regra de três, pois não há garantia de proporcionalidade na análise de grandezas tomadas duas a duas, o que é a base da regra de três.

Ainda que se ignorem os problemas de redação acima listados, há um segundo problema na questão: a resposta dada no gabarito preliminar não pode ser obtida em qualquer dos cenários que o candidato considere.

Aparentemente, afirma-se que, quanto maior o centro da meta, menor o prazo, sugerindo grandezas inversamente proporcionais. No entanto, o candidato também poderia interpretar que o que importa não é propriamente o valor do centro da meta, mas a variação necessária para atingir o centro. Assim, se o centro da meta é 4,5% e hoje estamos com inflação de 6,5%, então a redução de 2% da inflação ocorrerá em 12 meses. É esta redução (os 2% de diferença) que teria relação com o prazo. Quanto maior a redução, maior o prazo requerido.

Neste caso específico, qualquer interpretação dada pelo candidato produz o mesmo resultado, pois, coincidentemente, os valores são os mesmos: 2% e 4,5% de centro da meta, ou 4,5% e 2% de variação.

Aparentemente, afirma-se ainda que, quanto maior a taxa real de juros, menor o prazo para alcançar o centro da meta. Grandezas inversamente proporcionais.

Montando o quadro da regra de 3:

Como o enunciado ficou com uma redação confusa, vamos testar todas as possibilidades.

1) Centro da meta varia de maneira proporcional ao prazo. Idem para a taxa real.

2) Centro da meta varia de maneira proporcional ao prazo. Taxa real varia de maneira inversamente proporcional ao prazo.

3) Centro da meta varia de maneira inversamente proporcional ao prazo. Taxa real varia de maneira diretamente proporcional

4) Centro da meta varia de maneira inversamente proporcional ao prazo. Taxa real varia de maneira inversamente proporcional

Nenhuma das possibilidades fornece o prazo de 20 meses.

Dada a redação confusa do enunciado, solicita-se a anulação da questão.