Recursos para STN

Obs: corrigi um erro na questão 15

Pessoal, vou postar agora os recursos para a prova do STN. Vou postar só no meu blog, porque estou com muita pressa (tenho que viajar daqui a pouco) e a plataforma aqui do blog me permite uma edição mais rápida (pois faço tudo em word).

Vamos lá (prova de gabarito 1):

14) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade:

Desse modo, a probabilidade de x estar no intervalo (0<x<1) é igual aa:

a) 1/3

b) 1/12

c) 2/5

d) 1/6

e) 1/4

Recurso:

A banca apontou como gabarito a letra “E”. Contudo, como se demonstra abaixo, a resposta deveria ser letra “D”.

A probabilidade da variável aleatória assumir valores entre 0 e 3 é de 100%. Logo:

A probabilidade de a variável aleatória assumir valores entre 0 e 1 fica:

Portanto, solicita-se troca de gabarito, da letra E para a letra D.

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15) Para um trabalho de avaliação de políticas econômicas, foram coletados dados de algumas empresas industriais. A seguir, a tabela de contingência apresenta os dados coletados na amostra e classificados segundo o grupo industrial ─ Ga, Gb, Gc e Gd ─, e segundo a posição dos respectivos retornos sobre o capital próprio (RCP) ─ se maior ou menor do que o retorno médio de capital próprio (RCP) obtido na amostra.

Com base nestas informações, e selecionando-se, ao acaso, uma empresa, então:

a) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Gc ou apresentar é igual a 5 %.

b) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Ga é igual a 45%.

c) sabendo-se que a empresa selecionada é do grupo Gb, então a probabilidade de a empresa apresentar é igual a 10 %.

d) a probabilidade de a empresa selecionada apresentar é igual a 15%.

e) a probabilidade de a empresa selecionada ser do grupo Gc e apresentar é igual a 33,33 %.

Recurso:

A banca deu como gabarito a letra “E”.

Contudo, essa alternativa também está incorreta. A alternativa aborda a probabilidade de a empresa ser do grupo Gc e ter retorno menor que a média. Estão nessa situação 10 empresas, conforme indicado na tabela.

Nosso espaço amostral é composto por todas as 100 empresas que constam da tabela. Logo, a probabilidade, dada pelo número de elementos do evento (=10) dividido pelo número de elementos do espaço amostral (100), fica:

A probabilidade é de 10%, e não de 33,33%, como afirmado.

Para se chegar aos 33,33%, deveríamos assumir que o enunciado se refere à probabilidade condicional de ter retorno menor que a média, dado que a empresa é do grupo Gc. Mas tal condição em momento algum foi dada no enunciado. Não há nenhuma informação que nos remeta a tal probabilidade condicional.

Deste modo, solicita-se anulação da questão, por ausência de alternativa correta.

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3) As variáveis X, Y, Z, P e Q podem assumir os valores x1, y2, z3, p4, q5.

Sabe-se que X = x1 ou Y = y2. Se Z = z3 , então P = p4. Se P ≠ p4, então Y ≠ y2. X ≠ x1 e Q ≠ q5.

A partir disso, e sabendo que todas as afi rmações são verdadeiras, pode-se, com certeza, concluir que:

a) Y = y2 e P = p4

b) X = x1 e Y = y2

c) P = p4 e X = x1

d) X ≠ x1 e Y = y2

e) Z ≠ z3 e P = p4

Recurso: Solicita-se a anulação da questão por conter duas respostas corretas. A banca deu como gabarito a letra “A”, que de fato é correta.

No entanto, a alternativa “D” também está correta, como se demonstra a seguir.

Vamos dar nomes às proposições simples

x: X = x1

y: Y= y2

z: Z=z3

p: P=p4

q: Q = q5

As premissas nos dizem que:

A quinta premissa é composta pela conjunção. Para que seja verdadeira, as duas proposições simples devem ser verdadeiras. Portanto:

Se tais proposições são verdadeiras, suas negações são falsas:

A primeira premissa é:

Uma proposição composta pela disjunção só é verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Já sabemos que a primeira proposição (x) é falsa Logo, a segunda proposição tem que ser verdadeira, para garantir que tal premissa seja também verdadeira. Assim:

A terceira premissa nos diz que:

Podemos aplicar a equivalência lógica:

Obtivemos um segundo condicional, em que o antecedente (y) é V. Isso é condição suficiente para que “p” também seja verdadeiro. Logo:

A premissa faltante é:

Trata-se de um condicional em que o consequente é verdadeiro. Isso já garante condicional verdadeiro, independente do valor lógico do antecedente. Logo, nada podemos afirmar sobre “z”.

Resumindo, concluímos que:

• 
  
  x: Falso


• 
  
  y: Verdadeiro


• 
  
  z: nada concluimos


• 
  
  q: Falso


• 
  
  p: Verdadeiro

A alternativa D afirma que

• 
  
  X ≠ x1: proposição “x” é falsa. Está correto, conforme vimos acima


• 
  
  Y = y2: proposição “y” verdadeira. Também está correto.

Assim, como a alternativa D também está correta, solicita-se anulação da questão.

Inequações–Susep 2010

Hoje resolvo uma questão a pedido do José Marcos e do Antônio Carlos, alunos do meu curso de RLQ:

SUSEP 2010 – ESAF

A inequação dada por

é definida no conjunto dos números reais, R, tem como solução o conjunto S representado por:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução.

Vou iniciar com a solução apresentada em aula.

Observem que todas as alternativas são muito semelhantes. Só o que muda é a inclusão ou não dos valores 0, 3/4 e 3.

Então só o que temos que saber é se estes valores satisfazem ou não a inequação.

Primeiro: testando o zero.

Basta substituir x por 0:

Temos uma divisão por zero, que é impossível. Logo, o zero não faz parte do conjunto solução.

Segundo caso: testando o 3/4.

Chegamos a uma expressão correta, pois, de fato, 2 é menor ou igual a 2. Logo, o número 3/4 faz parte do conjunto solução.

Terceiro caso: testando o número 3.

Chegamos em outra expressão correta (pois é verdade que zero é menor ou igual a 2). Portanto, o número 3 também faz parte do conjunto solução.

Com isso, concluímos que a alternativa correta é aquela que exclui o 0, inclui o 3/4 e inclui o 3.

Gabarito: D

Agora vejamos a solução que não parte direto para as alternativas. Essa foi a solução pedida pelo Antônio e pelo José.

Para que a solução exista, o denominador deve ser diferente de 0. Logo:

Além disso, para que o numerador exista, dentro da raiz quadrada devemos ter um número não negativo. Logo:

Ok, agora começamos a resolver a inequação.

1º caso: x > 0.

Multiplicando os dois lados da igualdade por “x”:

Elevando os dois lados ao quadrado:

Se estivéssemos diante de uma equação, teríamos:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Esses dois valores tornam nulo o valor de

Trata-se de uma parábola, com concavidade para cima. Ela assume valor negativo entre as raízes e positivo fora do intervalo entre as raízes. Nós estamos interessados justamente nos valores positivos e nulos (f(x) maior ou igual a zero))

Portanto:

• f(x) é igual a zero para x = -1 e para x = 3/4


• f(x) é maior que zero para x< -1 e para x>3/4

Lembrem-se de que nesse primeiro caso estamos trabalhando só com valores positivos de “x” . Além disso, “x” deve ser diferente de 0 (condição I), e menor ou igual a 3 (condição II). Então concluímos que f(x) será maior ou igual a zero para:

2º caso: x<0

Multiplicando os dois lados da igualdade por “x”:

A desigualdade se inverte, pois agora multiplicamos os dois lados por um número negativo.

Nem precisamos continuar analisando. Vejam que do lado esquerdo da igualdade temos 3 subtraído de um número negativo. Esse resultado é sempre positivo.

Exemplos:

E assim por diante.

Do lado direito da igualdade temos um número negativo (2 vezes “x”, que é negativo, dá negativo).

Qualquer número positivo é sempre maior que qualquer número negativo.

Então a desigualdade acima valerá sempre, para qualquer valor de “x” que obedeça a esse segundo caso (“x” negativo).

Logo, outra possibilidade de solução é:

Juntando (III) e (IV) temos o conjunto solução:

Ao meu ver não compensa esquentar muito a cabeça com essa segunda solução. Primeiro, esse tipo de questão é raro em prova de concursos. É mais comum só em vestibulares. Segundo, não precisamos ignorar as alternativas, pois elas sempre vão existir na hora da prova. A menos que seja prova do Cespe.