Conjuntos–ISS Natal 2008

Hoje resolvemos uma interessante questão da Esaf, a pedido do Ivanor, aluno do Eu Vou Passar. Segue:

(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Os conjuntos X, Y e Z são respectivamente iguais a {a, b, c, d, e}, {d, e, f} e {a, b, g}. Sabendo-se que A = λ ∩ Y = ∅ e B = λ ∪ Y = X ∪ Z , então, o total de subconjuntos do conjunto λ é igual a:

a) 20

b) 15

c) 14

d) 18

e) 16

Comentários:

Não sei se a questão foi anulada, mas acredito que tenha sido.

Vamos começar analisando a segunda igualdade:

A união entre X e Z corresponde aos elementos que pertencem a X ou a Z:

A união entre Y e λ corresponde aos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Veja que “Y” contém o elemento “f”. Logo, esse elemento aparecerá na união entre Y e λ. No entanto, “f” não aparece na união entre X e Z. Logo, é impossível que esta igualdade ocorra, devendo a questão ser anulada.

Para aproveitarmos a questão, suponha que, na verdade, Y = {d, e}

Assim, o conjunto λ deve, no mínimo, conter todos os demais elementos que faltam para obtermos o conjunto . Logo, λ contempla: a, b, c, g.

Além disso, a primeira igualdade (λ ∩ Y = ∅) nos diz que λ e Y não têm elementos em comum. Logo, o conjunto λ corresponde apenas aos elementos acima citados:

Genericamente, o número de subconjuntos de um conjunto com “n” elementos é igual a 2ⁿ.

λ tem 4 elementos. Assim, o número de subconjuntos fica:

O que coincide com o gabarito preliminar (letra E).

No entanto, tivemos que adaptar a questão para chegar ao resultado. Ao meu ver, deveria ter sido anulada. Não tenho o gabarito definitivo para saber se foi anulada ou não.

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Permutação circular–AFRFB 2009

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF - AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

Agora vejam outro caso:

Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

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ISS Natal 2008–Funções

Olá pessoal, hoje trago uma questão sobre funções, cobrada pela Esaf em 2008:

(ESAF – ISS Natal 2008) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade



para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo x real.

Vamos ver o caso em que x = 0. Substituindo x por 0, temos:

Agora vejamos outro caso. Façamos. Temos:

Vamos parar a conta por um instante, e relembrar a seguinte propriedade da radiciação:

Logo:

Ok, então o número pode ser escrito assim:

Agora aplicamos novamente a propriedade:

Agora podemos continuar o problema, de onde tínhamos parado:

Substituindo I em II:

Agora cancelamos f(0) com –f(0):

Para dividir duas potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes:

Gabarito: A

Aproveitando, informo que no TecConcursos já temos mais de 2.800 questões de exatas comentadas.

Bons estudos!

Vítor

Petrobras 2012

Hoje resolvo um exercício a pedido da Renata Pessoa, aluna do meu curso regular de Estatística. Segue:

(Petrobras 2012 – Cesgranrio) O desenho esquemático (Box-Plot) abaixo representa a distribuição do tempo em anos de contribuição à previdência de aposentados de uma empresa até uma certa data.

Se forem selecionados dois aposentados aleatoriamente, a probabilidade de que pelo menos um deles se tenha  aposentado entre 28 e 32 anos é
(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 1/16
(D) 7/16
(E) 9/16

Resolução:

Veja que as idades de 28 e 32 anos estão delimitadas por dois quartis seguidos. 28 é o primeiro quartil e 32 é a mediana. Assim, 25% das observações estão nesse intervalo. Consequentemente, 75% das observações estão fora desse intervalo.

Vamos então calcular a chance de nenhum dos funcionários ter entre 28 e 32 anos. Vamos chamar esse evento de "A"

A chance de o primeiro funcionário não ter essa faixa etária é 0,75. A chance de o segundo funcionário também não ter é 0,75. A chance de os dois não terem de 28 a 32 é:

O evento complementar de A, indicado por ocorre quando pelo menos um dos funcionários tem entre 28 e 32 anos:



Com isso, eu marcaria a letra D.

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