Questão de raciocínio lógico FGV

Recebi por e-mail essa questão do Lendel, aluno do Eu Vou Passar.

Segue enunciado:

(ISAE FGV SECAM) O sistema decimal é composto pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para formar números. Por exemplo, o número 538 é formado pelos algarismos 3, 5, 8. O 5 representa as centenas, o 3 as dezenas e o 8 as unidades. Logo, quando se escreve 538, estamos escrevendo, de maneira implícita, 5 x 100 + 3x 10 + 8.

Sejam x e y algarismos quaisquer da numeração decimal. A soma de todos os números formados pelos algarismos x, y e 4 é sempre múltipla de:

a)9

b)7

c)6

d)5

e)4

A resolução está no vídeo abaixo:

Proposições lógicas - vídeo 1

Pessoal, estou começando a passar meu curso de RLQ para vídeo.

Esse é o primeiro da série. Bons estudos!



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Anac parte 3

Vejamos o último bloco das questões da ANAC 2009.

Segue enunciado:

(ANAC 2009 – CESPE) - Em uma pequena pesquisa encomendada por uma empresa aérea, foi realizado o seguinte teste de hipóteses. H 0 : µ = 20 kg versus H 1 : µ > 20 kg, em que µ representa a quantidade média de bagagens (em kg) que cada passageiro gostaria de transportar em voos domésticos; H 0 é a hipótese nula e H 1 é a hipótese alternativa.

De um grupo de 324 passageiros escolhidos ao acaso, a pesquisa mostrou que, em média, cada passageiro gostaria de transportar 21 kg. O desvio padrão amostral das quantidades observadas nesse levantamento foi igual a 9 kg. Com base nessas informações e considerando que as quantidades sigam uma distribuição normal, e que φ (1,7) = 0,955, φ (2,0) = 0,977 e φ (2,5) = 0,994, em que φ (z) representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue os itens seguintes.

46. A probabilidade de significância do teste é superior a 0,03.

47. Se o nível de significância for igual a 3,5%, então há evidências estatísticas contra a hipótese nula.

48. Se a média verdadeira for µ = 19,6, então, para uma probabilidade do erro do tipo I fixada em 4,5%, o valor da função característica de operação do teste será superior a 0,98.

49. Considerando-se que o nível de significância do teste igual a 0,6%, o valor da função poder (ou potência) do teste será igual a 0,5 se a média verdadeira µ for igual a 21kg.

50. Pode-se afirmar, com 95,5% de confiança, que a estimativa da quantidade média de bagagens : é de 21 kg ± 0,85 kg.

51. O desvio padrão amostral corresponde a uma estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional.

52. O erro padrão da média amostral é inferior a 0,8 kg.

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Em post anterior resolvemos até o item 48. Hoje retomamos a partir do 49:

Item 49.

Se o nível de significância é 0,6%, então o valor crítico, até o qual aceitamos a hipótese nula, é 2,5. Isso porque a probabilidade de valores mais extremos que 2,5 é justamente 0,6%:

A normal reduzida é assim calculada:

O desvio padrão da média amostral foi calculado em post anterior, e vale 0,5. O valor da normal reduzida que estamos analisando é 2,5. A média populacional sob a hipótese nula é 20. Logo:

Esse é o valor crítico a partir do qual rejeitamos a hipótese nula.

O poder do teste, na situação descrita no item 49, corresponde à chance de a média amostral ser menor que 21,5, dado que a média populacional é 21.

Vejam que a média amostral tem distribuição simétrica em torno de 21, de modo que a chance de ser menor que 21 é de 50%. Logo, a chance de ser menor que 21,5 necessariamente é diferente de 50%. Portanto, o item está errado.

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Item 50.

O intervalo de confiança tem o seguinte formato:

Onde Z0 é o valor da normal reduzida associado a 95,5% de confiança. O enunciado nos disse que tal valor é igual a 1,7. O intervalo de confiança fica:

Certo?

Errado!

O erro acima está no cálculo de Z0.

O valor procurado é tal que:

Logo:

O que resulta em:

O enunciado não nos deu tal valor, mas sabemos que é próximo de 2 (pois a função acumulada para Z = 2 vale 97,7%). Aproximando:

Item errado.

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Item 51.

Aqui é um detalhe bem bobo,que passa batido mesmo. Falamos que o estimador é tendencioso ou não tendencioso. Isso vale para o estimador, não para a estimativa. A estimativa é uma realização numérica, um valor, um número. Já o estimador é um método de cálculo.

Assim, o estimador:

É um estimador não tendencioso do desvio padrão populacional. Vejam que temos apenas uma fórmula, algora que vai assumir um valor diferente a cada amostra diferente. Para tal variável, podemos calcular a esperança e ver que ela coincide com o parâmetro estimado.

Já a realização numérica (9), é apenas uma estimativa, não cabendo falar em tendenciosidade ou não.

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Item 52.

Certo, vimos que tal erro vale 0,5.

Leis de Morgan

Pessoal, hoje trago algumas dicas sobre equivalências lógicas

Antes de passarmos ao vídeo, informo que estou com um curso regular, completo, de raciocínio lógico para concursos. O curso está disponível no Tec Concursos.

ANAC 2009–parte 2

Pessoal, hoje resolvo outras questões da prova da ANAC 2009, pedidas pela Angélica, aluna do meu curso de estatística.

(ANAC 2009 – CESPE) - Em uma pequena pesquisa encomendada por uma empresa aérea, foi realizado o seguinte teste de hipóteses. H 0 : µ = 20 kg versus H 1 : µ > 20 kg, em que µ representa a quantidade média de bagagens (em kg) que cada passageiro gostaria de transportar em voos domésticos; H 0 é a hipótese nula e H 1 é a hipótese alternativa.

De um grupo de 324 passageiros escolhidos ao acaso, a pesquisa mostrou que, em média, cada passageiro gostaria de transportar 21 kg. O desvio padrão amostral das quantidades observadas nesse levantamento foi igual a 9 kg. Com base nessas informações e considerando que as quantidades sigam uma distribuição normal, e que φ (1,7) = 0,955, φ (2,0) = 0,977 e φ (2,5) = 0,994, em que φ (z) representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue os itens seguintes.

46. A probabilidade de significância do teste é superior a 0,03.

47. Se o nível de significância for igual a 3,5%, então há evidências estatísticas contra a hipótese nula.

48. Se a média verdadeira for µ = 19,6, então, para uma probabilidade do erro do tipo I fixada em 4,5%, o valor da função característica de operação do teste será superior a 0,98.

49. Considerando-se que o nível de significância do teste igual a 0,6%, o valor da função poder (ou potência) do teste será igual a 0,5 se a média verdadeira : for igual a 21kg.

50. Pode-se afirmar, com 95,5% de confiança, que a estimativa da quantidade média de bagagens : é de 21 kg ± 0,85 kg.

51. O desvio padrão amostral corresponde a uma estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional.

52. O erro padrão da média amostral é inferior a 0,8 kg.

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Resolução:

Vejam que, sob a hipótese nula, a média amostral é uma variável aleatória com esperança 20 e desvio padrão igual a:

A probabilidade de significância (ou p-valor) é a probabilidade de obtermos valores mais extremos que a estatística teste. A estatística teste foi 21. O valor correspondente da normal reduzida é:

O enunciado nos disse que:

Logo:

Tal valor não é superior a 3%. O item 46 está errado.

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Item 47:

Se o nível de significância for 3,5%, então temos o seguinte:

• Nível de significância: 3,5%
• P-valor: 2,3%

Quando o nível de significância é maior que o p-valor, rejeitamos a hipótese nula. O item 47 está certo.

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Item 48:

Vejamos agora o item 48. Ao meu ver, ou ele deveria ter sido dado como “errado”, ou deveria ter sido anulado. No entanto, a banca o considerou “certo”.

Só faz sentido falar em função característica se a média verdadeira está contemplada na hipótese alternativa. No presente caso, isso ocorreria se a média verdadeira fosse maior que 20 kg. Não faz sentido fazer tal cálculo se a média verdadeira é 19,6, pois tal valor não é abrangido pela hipótese alternativa.

Nesse sentido, cito o livro “Estatística para Economistas”, do Rodolfo Hoffman, que explica que o domínio da função é dado pela hipótese alternativa. Não dá para calcular uma função em um ponto fora de seu domínio.

Em todo caso, ignorando esse problema, vamos aos cálculos pretendidos pela banca.

O nível descritivo é de 4,5%. O enunciado nos diz que:

Logo:

Logo, o valor crítico procurado é 1,7.

A hipótese nula será aceita, então, se o valor da média amostral for tal que:

A probabilidade de isso ocorrer, dado que a média é 19,6, segundo a banca, corresponde ao valor da função característica:

Primeiro, calculamos o valor correspondente da normal reduzida:

Ficamos com:

Esse valor realmente é maior que 98%. A banca deu o item como verdadeiro.

No próximo artigo continuamos com os demais itens da prova (49, 50, 51 e 52)

ANAC 2009

Pessoal, hoje resolvo algumas questões da prova da ANAC 2009, pedidas pela Angélica, aluna do meu curso de estatística.

(ANAC 2009 – CESPE) - Considere que, em uma população, 80% dos indivíduos estejam satisfeitos com os serviços prestados por uma companhia aérea e que uma amostra aleatória simples de 10 pessoas seja retirada dessa população. Considere, ainda, que X represente o número de pessoas na amostra satisfeitas com os serviços prestados por essa companhia aérea, seguindo uma distribuição binomial. Com relação a essa situação hipotética e tomando 0,17 como valor aproximado de 0,8 ⁸ , julgue os itens subsequentes.

34. A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5.

35. A variância de X é inferior a 1.

36. A moda e a mediana de X são inferiores a 7.

Resolução:

Temos uma distribuição binomial de parâmetros p = 0,8 e n = 10.

A probabilidade de 8 pessoas satisfeitas é dada por:

Tal valor não é maior que 0,5. Logo, o item 34 está errado.

A variância da variável binomial é dada por:

Tal valor não é inferior a 1. O item 35 está errado.

Agora vamos ao item 36, que certamente é o mais complicado.

Se a distribuição binomial tivesse parâmetros n = 10 e p = 0,5, ela seria simétrica. A média seria igual à mediana, que seria igual à moda. Todas valeriam . Para não confundir, vou chamar de Y a distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,5.

Nesse caso, para ficar claro como a distribuição é simétrica, vejam que as probabilidades associadas a valores igualmente afastados de 5 são iguais entre si:

Contudo, se p > 0,5, então tudo muda. Os valores mais elevados de X terão probabilidades maiores. Vejam:

Na linha de baixo aumentamos o expoente do fator grande (0,8 está elevado ao expoente grande), fazendo com que a probabilidade de X = 9 seja maior que a de X = 1.

Em síntese: para X, os valores maiores têm probabilidade maior que os valores menores.

Logo, já concluímos que a moda necessariamente tem que ser maior que 5.

Para que o item 36 seja verdadeiro, a moda deve ainda ser menor que 7. Para que ela seja simultaneamente maior que 5 e menor que 7, ela deve ser igual a 6. Vamos calcular a probabilidade correspondente:

Vejam que a probabilidade para X = 6 é bem menor que a de X = 8. Logo, 6 não pode ser a moda. Logo, a moda não pode ser menor que 7. Item errado.

Função de segundo grau

Hoje respondo a uma dúvida do Mateus, que me enviou esta questão por e-mail:

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Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x²– 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5).

Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue os próximos itens.

O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

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Resolução.

O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo:

Temos uma função de segundo grau (parábola), com concavidade para baixo (pois o sinal de x² é negativo). Quando isso ocorre, a função apresenta ponto de máximo.

Numa função do tipo , o ponto extremo ocorre para:

Utilizando este resultado acima:

O ponto de lucro máximo ocorre para milhares de unidades.

Item certo.

Média - FCC

Hoje resolveremos uma interessante questão sobre média aritmética, da Fundação Carlos Chagas. Segue o enunciado:

(FCC - MPU/2007) Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a:

a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5.

b) média dos elementos de P mais a constante 220.

c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária.

d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5.

e) média dos elementos de P mais a constante 200

Resolução:

Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma:

I – multiplicamos por 5

II – somamos 220.

Vamos pegar os primeiros valores.

Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q:

Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q:

E assim por diante.

Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q:

Existe uma propriedade da média aritmética que nos diz o seguinte. Sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma constante de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração.

Então a média de Q fica:

A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220.

Esse procedimento está descrito na letra A.

Gabarito: A.