Transpetro 2012

Hoje respondo a uma dúvida da Pâmela, aluna do meu curso regular de Estatística. Ela pediu para eu resolver a questão abaixo, da Transpetro:

(Transpetro 2012 - Cesgranrio) Uma empresa tem 38 funcionários, sendo a média de idade 32 anos e o desvio padrão de 4 anos. Foram contratados mais dois funcionários, ambos com 32 anos. Em relação à variância original, a variância da nova distribuição de salários ficará

Dado: A variável idade é expressa em termos de anos completos.
(A) 5% menor
(B) 23,75% menor
(C) 76,25% menor
(D) 95% menor
(E) não se alterará

Resolução:

Em primeiro lugar, ressalto que não conferi o enunciado original na prova da banca, nem o gabarito definitivo, ok? Pâmela, estou confiando nas suas informações, tá bem?

Ok, vamos lá.

A média inicial era de 32.

Em seguida, acrescentamos mais dois funcionários com idade 32. Logo, a média não se altera. A média permanece em 32 anos.

O desvio padrão inicial era 4. Para calcular a variância, basta elevar o desvio padrão ao quadrado:

Como calculamos a variância?

Lembrando, a variância é a média dos quadrados dos desvios. Desvios esses calculados em relação à média aritmética. Logo, na situação inicial, temos:

Logo:

Em seguida, passamos a ter 40 funcionários, pois adicionamos mais dois valores iguais a 32. A nova variância fica:

No numerador temos um somatório. Podemos separá-lo em duas partes: a soma dos 38 desvios originais, mais a soma dos últimos dois desvios, correspondentes aos dois novos funcionários:

Os últimos dois desvios são nulos, porque os valores são exatamente iguais à média.

A nova variância é 95% da variância anterior. Logo, houve uma redução de 5% na variância. Deste modo, eu marcaria a letra “a”. Segundo a Pâmela, a questão foi anulada. Realmente não sei o motivo da anulação.