Petrobras 2014 - questão 30

Hoje vamos dar sequência à série de questões do concurso da Petrobras/2014, elaborado pela Cesgranrio..

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Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.

A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

(A) $0,45 \times 0,9^8$ 0

(B) $1 - 1,9 . 0,9^9$

(C) $1 - 1,35 . 0,9^8$

(D) $1,9 . 0,9^9$

(E) $1 - 0,45 . 0,9^8$

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No meu entendimento o enunciado da questão é completamente falho e a questão merecia ser anulada.

Primeiramente, vamos à solução pretendida pela banca.

Ao dizer que 90% das reclamações de seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto, a banca quis que a gente considerasse que 10% dos clientes sabem usar o produto. Ou seja, chamando de "p" a probabilidade de um cliente saber usar o produto, temos:

$p=0,1$

Seja "X" a variável que designa o número de clientes que sabem usar o produto na amostra. X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 (pois são 10 clientes) e p = 0,1.

Resultado:

$P(X=0) = C_{10,0} \times p^0 \times (1-p)^{10} = 0,9^{10}$

$P(X=1) = C_{10,1} \times p^1 \times (1-p)^{9} = 0,9^{9}$

Acima calculamos a chance de nenhum cliente saber usar o produto e a chance de 1 cliente saber usar o produto.

Somando as duas probabilidades, temos a chance de no máximo 1 cliente saber usar o produto:

$P(X=0 \cup X =1 ) = 0,9^9 +0,9^{10} = 0,9^9 \times (1+0,9) = 1,9 \times 0,9^9$

Se no máximo 1 cliente souber usar o produto, a alegação do fabricante é aceita. Como a questão pediu a chance de a alegação ser rejeitada, basta tomarmos o evento complementar:

$P(X \ge 2) = 1 - 1,9\times 0,9^9$

Resposta: B

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Críticas à questão

Primeira crítica: A informação de que 90% das reclamações são decorrentes de clientes que não sabem usar o aparelho não ajuda em absolutamente nada a determinar o percentual de clientes que não sabe usar o aparelho.

Ou seja, o candidato precisaria de muita boa vontade para interpretar o enunciado do jeito que a banca queria e, assim, resolver a questão.

Para tornar a crítica mais concreta, suponha que a empresa tenha 1.000 clientes, assim distribuídos:

• 900 não reclamam, assim distribuídos:
  
  
  
  • 800 sabem usar o produto e não reclamam
  • 100 não sabem usar o produto, e mesmo assim não reclamam (não têm paciência para acionar o fabricante)


• Os outros 100 reclamam, sendo que:
  
  
  
  • 90 deles não sabem usar o produto
  • 10 sabem usar, mas reclamam por outros motivos

Notem que respeitamos absolutamente todas as condições do enunciado, pois 90% das reclamações são de clientes que não sabem usar o produto (90 em 100 = 90%).

No entanto, se observarmos o percentual de clientes que não sabe usar o produto, teremos 90 + 100 = 190. Num total de 1.000 clientes, isso representa 19%, o que compromete todos os cálculos que realizamos acima.

Para corrigir tal falha, uma primeira tentativa de alterar o enunciado seria:

Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes que apresentaram reclamação e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Contudo, esta forma acima não sobrevive à nossa segunda crítica: seria perfeitamente possível que um cliente apresentasse mais de uma reclamação, o que mais uma vez atrapalharia todo o cálculo.

Por este motivo, o enunciado deveria ter sido redigido da seguinte forma:

Um fabricante alega que 90% dos seus clientes têm dificuldade em operar o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Pronto, a forma acima foge das duas críticas acima listadas e deixaria a questão mais clara.

Petrobras 2014–questão 21

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.

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Seja $ \theta$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$\tan \theta = 3$

Sabendo-se que

$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$

Desde que $ \cos \theta \ne 0$ , quanto vale $ \sec (2 \theta)$?

(A) - 0,8
(B) -1,25
(C) 0,8
(D) 1,25
(E) 10^0,5

Resolução:

$\tan \theta = 3 $

${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $

$\sin \theta = 3 \cos \theta $

$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\cos ^2 \theta = 0,1$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$

Finalmente:

$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$

Resposta: B

Petrobras 2014 - questão 27

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás 2014, hoje vamos para a questão 27:

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Em um determinado período, a probabilidade de a inflação aumentar é 0,9, a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que a inflação aumenta, é 0,6 e a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que não ocorreu aumento na taxa de inflação, é 0,2.

A probabilidade de que ocorra aumento da taxa de inflação ou aumento da taxa referencial de juros é

(A) 0,10
(B) 0,50
(C) 0,54
(D) 0,92
(E) 0,96

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Vou chamar de "A" o evento que ocorre quando a inflação aumenta. Vou chamar de "B" o evento que ocorre quando a taxa referencial de juros aumenta.

O exercício nos deu as seguintes informações:

$ P(A)=0,9 $

$ P(B|A)=0,6$

$ P(B | \bar A)=0,2$

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1ª solução: abordagem frequentista da probabilidade.

Considere que estejamos diante de 1.000 cenários. Em 90% deles a inflação aumenta, respeitando P(A)=0,9. Ou seja,

• em 900 cenários a inflação aumenta
• em 100 cenários a inflação não aumenta

Nos casos em que a inflação não aumenta, a chance de aumento na taxa de juros é 20%. Assim, em

$ 0,2 \times 100=20$

em 20 cenários temos aumento na taxa de juros, sem aumento de inflação.

A questão pede os casos em que temos ao menos uma das duas coisas ocorrendo: aumento da inflação, ou aumento na taxa de juros.

Em negrito temos os casos que atendem a este quesito: 900 casos de inflação aumentando + 20 casos de taxa de juros aumentando, ainda que sem aumento da inflação = total de 920 casos.

Se temos 920 casos favoráveis em 1.000 possíveis, então a probabilidade procurada é de:

$920 \div 1.000=0,92$

Gabarito: D

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2ª solução: usando as fórmulas da probabilidade.

Primeiro começamos calculando P(B), por meio da fórmula da probabilidade total:

$ P(B)=P(B|A) \times P(A) + P(B|\bar A) \times P(\bar A)$

$ P(B) = 0,6 \times 0,9+0,2 \times 0,1=0,56$

Agora calculamos a probabilidade da intersecção entre A e B:

$ P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0,6 \times 0,9=0,54$

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade da união:

$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0,9+0,56-0,54=0,92$

Gabarito: D

Tipos de variáveis

Sefaz PE

Hoje resolvo as questões da prova da Sefaz/PE. A banca ainda não disponibilizou o gabarito preliminar, então abaixo trago apenas as minhas respostas.

Como estou com pouco tempo disponível, vou direto para as resoluções, sem colocar os enunciados. Assim que a banca soltar as provas, altero esse post colocando os enunciados na íntegra, reanaliso se errei algo, e se cabe algum recurso.

Atualização: Agora que a banca disponibilizou os arquivos originais, dá para dizer que não há recursos cabíveis. Atualizei o post inserindo os enunciados. E pude resolver a questão 17, que estava parcialmente ilegível em meu arquivo escaneado.

11) No quadro abaixo tem-se o plano de amortização de uma dívida de R$ 4.800,00, pelo Sistema Francês, com taxa de 4% ao mês. Ela vai ser paga em 7 parcelas mensais consecutivas, vencendo a primeira delas ao completar um mês da data do empréstimo.



Na tabela, o saldo devedor não ficou zerado porque os cálculos foram feitos com valores aproximados, usando-se somente duas
casas decimais. Nestas condições, é verdade que W + X + Z é igual a
(A) R$ 4.042,25
(B) R$ 4.324,95
(C) R$ 4.294,85
(D) R$ 4.102,75
(E) R$ 4.435,85

Resolução:

X é obtido pegando o saldo devedor do mês anterior e subtraindo a amortização do mês atual:



Como as amortizações crescem em PG de razão 1,04, podemos calcular Z assim:



W é a diferença entre a prestação e a amortização do primeiro mês:



De modo que:



Resposta: E

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12) Um título de valor nominal R$ 1.196,00 vai ser descontado 20 dias antes do vencimento, à taxa mensal de desconto simples de 6%. O módulo da diferença entre os dois descontos possíveis, o racional e o comercial, é de
(A) R$ 0,96
(B) R$ 1,28
(C) R$ 1,84
(D) R$ 12,08
(E) R$ 18,40

Resolução

O período é de 2/3 de mês, a taxa mensal é de 6% e o valor nominal é 1.196.

Primeiro calculamos o desconto comercial:





Agora calculamos o desconto racional:



A diferença entre os dois descontos é:



Resposta: C

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13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 5.000,00, combinando devolvê-la ao fim de 4 meses, acrescida de seus juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Ao completar 3 meses da data do empréstimo, propõe ao credor liquidar a dívida por meio de dois pagamentos iguais, de P reais cada, um a vencer imediatamente e outro daí a 3 meses. Se, na nova transação, vão utilizar o critério do desconto composto racional, mantendo a taxa de 3% ao mês, o valor de P será igual ao produto de 5000 por:

(...)

Resolução

Novo fluxo de caixa:



O valor atual desse fluxo é 5.000:



Multiplicando todos os termos por 1,03^6:

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14) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial, tendo parâmetros n = 9 (n representando o número de ensaios) e p desconhecido (p representando a probabilidade de sucesso em cada ensaio). Desejando-se testar a hipótese nula H0: p = 0,5 versus a hipótese alternativa H1: p > 0,5, considerou-se rejeitar H0 se X for superior a 6. Nessas condições, o nível de significância do teste é igual a
(A) 25/256.
(B) 37/256.
(C) 5/256.
(D) 23/256.
(E) 45/256

Resolução:

Rejeitamos H0 caso obtenhamos 7, 8 ou 9 sucessos em 9 ensaios. A chance de isso ocorrer sob H0 é:







Total:







Resposta: D

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15) Suponha que o número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia seja uma variável com distribuição de Poisson com média de λ pedidos por dia. Sabe-se que o parâmetro λ satisfaz à equação P(X < λ) = 0,008, onde X é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média 15 e variância 25. Nessas condições, a probabilidade de o banco receber, em um dia qualquer, exatamente 4 pedidos de empréstimo
(A) é menor do que 16%.
(B) está compreendida entre 16% (inclusive) e 18% (exclusive).
(C) está compreendida entre 18% (inclusive) e 20% (exclusive).
(D) está compreendida entre 20% (inclusive) e 22% (exclusive).
(E) é maior do que 25%.

 

Resolução:

Sabemos que:



Logo:



Dada a simetria da normal reduzida:



Sabemos que:



Quando Z vale -2,40, X vale lambd



Chance de a distribuição de Poisson assumir o valor 4:



Resposta: C

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16) Com o objetivo de se estimar a renda média mensal, μ, em número de salários mínimos (SM) dos servidores públicos com nível de formação superior (bacharéis) de determinada população, selecionou-se uma amostra aleatória de 100 servidores bacharéis. Os resultados obtidos encontram-se na tabela de distribuição de frequências apresentada a seguir:

 

Considere:
I. Que a população de onde a amostra foi retirada é infinita e tem distribuição normal com desvio padrão igual a 1,6 SM.
II. Para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 100 rendimentos apresentados, foi calculada considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo.
Nessas condições, o intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança igual a 96%, baseado nessa amostra, é dado
por
(A) (9,072; 9,728)
(B) (9,315; 9,725)
(C) (9,180; 9,720)
(D) (9,206; 9,834)
(E) (9,192; 9,848)

Resolução:

Primeiro calculamos a média da amostra:





O intervalo de confiança fica:



O escore da normal padrão vale 2,05, pois:





Logo, o intervalo de confiança fica:



O que nos leva a:

9,192; 9,848

Resposta: E

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17) Considere os quatro primeiros elementos de uma sequência de figuras formadas pela união de carinhas felizes e tristes, como mostrado a seguir:



Sabendo que o padrão observado nos quatro primeiros elementos mantém-se para os demais elementos da sequência, é correto concluir que a figura localizada na 999a posição apresentará um total de carinhas tristes igual a
(A) 499 500
(B) 500 750
(C) 501 000
(D) 500 250
(E) 500 000

Resolução:

O número de carinhas tristes é formado pela sequência: 1, 3, 6, ...

O primeiro termo desta sequência é 1, que corresponde à soma do primeiro número natural:



O segundo termo desta sequência é 3, que corresponde à soma dos dois primeiros naturais:



O terceiro termo é 6, que corresponde à soma dos três primeiros naturais:



O quarto termo é 10, que corresponde à soma dos quatro primeiros naturais:



E assim por diante.

O 999º termo será a soma dos 999 primeiros naturais:



Temos a soma dos termos de uma PA de razão 1. Para calcular a soma, fazemos a média entre o primeiro e o último termo, e multiplicamos pelo número de elementos:



Resposta: A

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18) Um concurso público disponibilizará sete vagas para o cargo de auditor, distribuídas entre quatro cidades conforme descrito na tabela, a seguir:

• Recife: 3 vagas


• Caruaru: 2 vagas


• Petrolina: 2 vaga


• Salgueiro: 1 vaga

Depois que os sete aprovados forem definidos, o número de diferentes maneiras que eles poderão ser distribuídos entre as quatro cidades é igual a
(A) 35
(B) 56
(C) 210
(D) 420
(E) 5040

Resolução:

Suponha que os candidatos serão distribuídos por sorteio. Os 3 primeiros sorteados vão para Recife. Os dois seguintes para Caruaru. E assim por diante.

Permutando a ordem entre os 7, temos um novo caso. Logo, trata-se de permutação de 7 elementos, com repetição de 3 vezes Recife, e 2 vezes Caruaru:



Resposta: D

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19) Um novo edifício será construído para abrigar a sede de uma secretaria estadual. Um dos responsáveis pela obra planejou que, na fase de terraplenagem do terreno, serão necessários 10 caminhões basculantes, de mesma capacidade, para transportar a terra retirada do local, cada um deles fazendo 22 viagens. Entretanto, durante a execução da obra, ele só conseguiu 4 desses caminhões, além de 3 caminhões pequenos, com metade da capacidade dos basculantes. De acordo com o planejamento inicial e considerando que os 7 caminhões disponíveis façam o mesmo número de viagens, cada caminhão deverá fazer, nas novas condições, um total de
(A) 44 viagens.
(B) 40 viagens.
(C) 36 viagens.
(D) 33 viagens.
(E) 31 viagens.

Resolução:

Suponha que cada basculante transporte, por viagem, X toneladas de terra.

Assim, a quantidade de terra é:



Durante a obra, cada caminhão fará “Y” viagens. A quantidade de terra removida será:



Igualando essa quantia a 220X:





Cada caminhão fará 40 viagens.

Resposta: B

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20) . Em determinado setor de um hospital, há apenas três médicos: Lígia, Marina e Roberto. Todos os dias, inclusive domingos e feriados, um único dentre os três deve estar de plantão. Para os meses de novembro, que tem 30 dias, e dezembro, que tem 31 dias, a escala foi feita de modo que o mesmo médico nunca estivesse de plantão em dois dias consecutivos. Os totais de dias em que Lígia, Marina e Roberto darão plantão nesse período são, respectivamente, 31, 18 e 12. Com apenas essas informações, é correto concluir que, necessariamente,
(A) se Lígia estiver de plantão no dia 1 de novembro, então Marina estará no dia 31 de dezembro.
(B) não haverá 3 dias consecutivos nesse período em que o plantão será dado por 3 médicos diferentes.
(C) haverá pelo menos 5 dias consecutivos nesse período nos quais Roberto ficará sem dar plantão.
(D) Marina não poderá ficar 7 dias consecutivos sem dar plantão nesse período.
(E) se Lígia der plantão no dia 31 de dezembro, então poderá estar de folga no dia 25 do mesmo mês.

Resolução:

Como Lígia dá plantão em 31 dos 61 dias, ela está presente em mais da metade dos plantões. Como ela não pode trabalhar dois dias seguidos, a única forma de ela fazer isso é se ela trabalhar dia sim, dia não, e, além disso, iniciar trabalhando dia 1/11 e finalizar trabalhando dia 31/12

Ou seja, Lígia vai trabalhar em todos os dias ímpares deste período (1/11, 3/11, 5/11, etc)

Sabendo disso, vamos às alternativas:

a) Errada. Lígia realmente estará de plantão dia 1/11, mas Marina não estará no dia 31/12, pois tal dia também é de Lígia.

b) Errada. Seria possível, por exemplo, termos:

2/11: Marina

3/11: Lígia

4/11: Roberto

c) Correta.

Roberto só pode ter seus plantões espaçados de uma quantidade par de dias, já que Lígia dá plantão dia sim, dia não.

Se ele der plantões de 2 em 2 dias, no dia 24/11 já terminam os plantões dele, e teremos o mês de dezembro inteiro sem plantão de Roberto.

Se ele der plantão de 4 em 4 dias, no dia 18/12 já terminam os plantões dele, e teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Se ele der plantão de 6 em 6 dias, então teremos vários períodos com 5 dias consecutivos sem plantão.

Se ele tentar misturar períodos com intervalos de 4 dias sem plantão com intervalos de 2 dias sem plantão, teremos uma mistura dos dois primeiros casos, e seus plantões se encerrarão em alguma data entre 24/11 e 18/12. Novamente teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Ou seja, de um jeito ou de outro, sempre haverá algum caso de 5 dias consecutivos sem plantão de Roberto.

d) Errada.

Poderíamos colocar Roberto dando plantão nos dias 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24 de novembro. E Marina daria plantões nos dias pares daí para frente. Veja que ela terá ficado 26 dias sem dar plantão.

e) Incorreta. Já sabemos que Lígia vai dar sim plantão dia 31. E também dará no dia 25/12. Logo, é errado dizer que poderá estar de folga dia 25.

Prova de estatística - Prefeitura de Recife

Hoje resolvo a prova de estatística do concurso de analista de controle interno da Prefeitura de Recife.

[youtube=http://youtu.be/Y09wYgUeQAw]

Distribuição de Poisson - Anatel 2009

Hoje resolvo uma interessante questão do Cespe, concurso da Anatel 2009. Me deparei com ela enquanto estava comentando questões no TECConcursos, e achei bem interessante por explorar a distribuição de Poisson de um jeito diferente.

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(Cespe)

Uma operadora de telefones pôs em certo local três funcionários para atender seus clientes. O número de clientes que chegam a esse local por minuto, X, segue uma distribuição dada por



em que é uma constante e k = 0, 1, 2, 3, ....

Se um cliente encontra os três atendentes ocupados, ele entra em uma fila única. Não há limites para o tamanho da fila. O tempo gasto por um atendente para cada cliente (isto é, o tempo de atendimento em minutos, T) segue uma distribuição contínua cuja função de densidade é dada por



Em que t>0 e exp{.}representa a função exponencial.
Considerando as informações acima, que descrevem uma fila baseada no processo de vida e morte com taxas de chegada e de serviço constantes com três servidores, julgue o item subsequente.
A mediana e a média de X são iguais.

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Resolução:

Primeiro calculamos o valor de. Somando os valores das probabilidades para todos os valores de X, obtemos 1:





O somatório acima corresponde ao número de Euler:





E é esse o resultado legal. O fato de gama ser igual ao inverso do núero de euler faz com que X, no fundo, seja uma distribuição de Poisson. Só que estava disfarçada. O disfarce era justamente a constante gama, desconhecida.

Neste momento, é bastante útil lembrarmos de como é a fórmula da probabilidade relativa à Poisson. Ela é do tipo:



Se fizermos chegamos justamente à distribuição de X, vejam:



E agora tudo fica mais tranquilo. Determinar a média de X é fácil. Basta lembrar que, na distribuição de Poisson, a média corresponde a  que já sabemos valer 1.



Para determinar a mediana, precisamos calcular a função distribuição de probabilidade acumulada (FDP).

Logo:





Vejam que a função distribuição de probabilidade (FDP) valia aproximadamente 0,37 para X = 0, e salta para cerca de 0,74 em X =1. Logo, ela cruza a barreira dos 50% justamente em X = 1. Portanto, a mediana vale 1.
Concluindo, a média e a mediana valem 1.
Item certo