Média harmônica

Fechando o dia, mais outra questão que gerou dúvida no meu curso, desta vez, no curso de Estatística para AFRFB:

CGU 2002 [ESAF]

Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Resolução:

Iniciando com a solução apresentada em aula.

Para simplificar, vamos supor que o trajeto tem 150 km, pois 150 é um múltiplo comum de 50 e de 75.

Na ida, o carro anda a 50 km por hora. Assim, ele demora 3 horas para percorrer 150 km.

Na volta, o carro percorre 75 km em 1 hora. Logo, demora 2 horas para voltar.

Ao todo, ele gasta 5 horas para percorrer os 300 km de ida e volta. A velocidade média fica:

Gabarito: A

Interessante observar que, nesse tipo de situação, a velocidade média é justamente a média harmônica das velocidades individuais.

Vejam:

Agora vamos às dúvidas:

1) Como saber que é para usar a média harmônica? Como descubro isso a partir do enunciado?

Resposta: isso é simplesmente “decorado”, “gravado”. Esse é o caso típico de utilização da média harmônica. Se você pegar vários livros diferentes, muito provavelmente o exemplo de média harmônica que eles vão dar é esse – um carro indo e voltando num trecho, com velocidades diferentes.

Usando o linguajar de propaganda de pasta dental: “9 entre 10 autores usam esse exemplo”. É o caso típico de média harmônica.

Se você não soubesse disso, sem stress, vejam que na primeira solução apresentada nós não usamos a média harmônica para fazer contas. Não fez a menor falta.

2) Por que não posso fazer a média aritmética entre as velocidades?

Para ilustrar porque isso é errado, vamos tomar um exemplo bem exagerado. Vamos supor que eu vou viajar de São Paulo (onde moro) até Goiânia (onde moram meus pais). Decido ir de avião. A distância é 1.000 km. Para simplificar as contas, vamos supor que o avião vá a 1.000 km/h. Logo, eu gasto 1 hora para chegar.

Na volta, decido pagar promessa, e venho a pé, a 5 km/h. Consequentemente, gasto 200 horas para voltar.

Ao todo, percorri 2.000 km, e gastei 201 horas para isso. A velocidade média é:

Se fizéssemos a média aritmética, o resultado seria:

Mas isso é totalmente fora da realidade. Se minha velocidade média fosse de mais de 500 km/h, então eu gastaria algo em torno de:

Eu gastaria algo em torno de 4 horas para fazer o trajeto inteiro (ida e volta). Isso é irreal, meu tempo total foi bem maior que isso – gastei 201 horas.

O grande detalhe é que eu fiquei pouquíssimo tempo a uma velocidade alta (apenas 1 hora a 1.000 km/h). E fiquei um tempão a uma velocidade baixa (200 horas a 5km/h).

O efeito disso é que a velocidade pequena tem um “peso maior”. Ficamos mais tempo com ela. Logo, a velocidade média para o trecho total (9,95 km/h) ficará mais perto de 5km/h do que de 1.000 km/h.

A média aritmética só valeria se ficássemos a mesma quantidade de tempo a 1.000 km/h e a 5km/h. Se os tempos em cada velocidade fossem os mesmos, a média aritmética valeria.