Petrobras 2014 - questão 29

Hoje matamos a última das questões solicitadas pelo Cesar, vamos lá. 

Para ingressar em um curso de pós-graduação, os candidatos são avaliados por uma prova tradicional, com conteúdo técnico e específico, e os 25% melhores são classificados. Esse processo está sendo reavaliado e pensa-se em substituí-lo por uma prova de raciocínio lógico. Para testar esse processo, sessenta candidatos foram submetidos à prova de raciocínio lógico e à avaliação tradicional. A probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de  raciocínio  lógico,  dado  que  ele  foi  classificado  como um dos 25% melhores, foi 80%, e a probabilidade de um aluno ter sido aprovado na prova de raciocínio lógico e não ter sido classificado foi de 50%. A probabilidade de um candidato não ter ficado entre os  25% melhores, dado que foi aprovado na prova de raciocínio lógico é de

a) 2/7

b) 3/10

c) 1/2

d) 7/10

e) 5/7

Resolução:

Dos 60 candidatos, só 25% são classificados no exame tradicional. 

$60 \times 0,25 = 15$

15 candidatos são classificados e o restante é desclassificado.

A chance de um aluno ter sido aprovado em lógica e ter sido desclassificado no exame tradicional é de 50%. Assim, metade dos 60 candidatos se encontra nesta situação:

A chance de um candidato ter sido aprovado em lógica, dado que foi classificado no exame tradicional, é de 80%. Em outras palavras, dos 15 que foram classificados no exame tradicional, 80% também foram aprovados em lógica.

$0,8 \times 15 = 12$

As demais células podem ser preenchidas por somas ou diferenças:

Foi pedida a chance de um candidato ter sido desclassificado no exame tradicional, dado que ele é um dos 42 que foram a provados em lógica. 

Temos então 30 casos favoráveis em 42 possíveis. A probabilidade fica:

$P = {30 \over 42} = {5 \over 7}$

Resposta: E

Petrobras 2014 - questão 27

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás 2014, hoje vamos para a questão 27:

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Em um determinado período, a probabilidade de a inflação aumentar é 0,9, a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que a inflação aumenta, é 0,6 e a probabilidade de a taxa referencial de juros aumentar, dado que não ocorreu aumento na taxa de inflação, é 0,2.

A probabilidade de que ocorra aumento da taxa de inflação ou aumento da taxa referencial de juros é

(A) 0,10
(B) 0,50
(C) 0,54
(D) 0,92
(E) 0,96

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Vou chamar de "A" o evento que ocorre quando a inflação aumenta. Vou chamar de "B" o evento que ocorre quando a taxa referencial de juros aumenta.

O exercício nos deu as seguintes informações:

$ P(A)=0,9 $

$ P(B|A)=0,6$

$ P(B | \bar A)=0,2$

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1ª solução: abordagem frequentista da probabilidade.

Considere que estejamos diante de 1.000 cenários. Em 90% deles a inflação aumenta, respeitando P(A)=0,9. Ou seja,

• em 900 cenários a inflação aumenta
• em 100 cenários a inflação não aumenta

Nos casos em que a inflação não aumenta, a chance de aumento na taxa de juros é 20%. Assim, em

$ 0,2 \times 100=20$

em 20 cenários temos aumento na taxa de juros, sem aumento de inflação.

A questão pede os casos em que temos ao menos uma das duas coisas ocorrendo: aumento da inflação, ou aumento na taxa de juros.

Em negrito temos os casos que atendem a este quesito: 900 casos de inflação aumentando + 20 casos de taxa de juros aumentando, ainda que sem aumento da inflação = total de 920 casos.

Se temos 920 casos favoráveis em 1.000 possíveis, então a probabilidade procurada é de:

$920 \div 1.000=0,92$

Gabarito: D

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2ª solução: usando as fórmulas da probabilidade.

Primeiro começamos calculando P(B), por meio da fórmula da probabilidade total:

$ P(B)=P(B|A) \times P(A) + P(B|\bar A) \times P(\bar A)$

$ P(B) = 0,6 \times 0,9+0,2 \times 0,1=0,56$

Agora calculamos a probabilidade da intersecção entre A e B:

$ P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0,6 \times 0,9=0,54$

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade da união:

$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0,9+0,56-0,54=0,92$

Gabarito: D

Petrobras 2014 - parte 4

A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.

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Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é

a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728

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Casos possíveis

Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:

$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$

Este é o número de casos possíveis.

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Casos favoráveis

São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.

Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:

1. escolhemos exatamente dois dos signos
2. atribuímos estes signos às 4 pessoas

Para a escolha desses dois signos, temos um caso de combinação de 12 signos, tomados 2 a 2:

$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$

Há 66 modos de escolhermos os dois signos.

Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.

Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.

Podemos colocar:

• uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
• ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
• ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso

Observem que tais possibilidades estão conectadas pelo "ou". Estamos diante do princípio aditivo:

$ 4+6+4=14 $

Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:

$ 66 \times 14$

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Probabilidade

Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:

$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$

Dividindo numerador e denominador por 12:

$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$

$ P= {77 \over 1728}$

Gabarito:A

Questão 17 do TCE/RS

Olá!

Um aluno do TEC Concursos pediu a resolução das questões 7,9, 17,18, 21, 22, 23, 24,25, 27, 29, 30 do concurso do TCE/RS, para possível ingresso de recursos.

Vamos lá, vamos às questões. Neste post vamos com a questão 17, na qual concordei com o gabarito da banca. Segue resolução

Questão 17: Um estudo, realizado em determinado órgão público, teve como objetivo estudar a correlação entre duas variáveis: X representando os salários dos funcionários do órgão e Y representando a categoria funcional dos funcionários do órgão. Para X foram consideradas 3 faixas salariais a saber: A, B e C, respectivamente, dos funcionários que ganham mais do que 10 salários mínimos (SM), entre 10 SM (inclusive) e 5 SM (inclusive) e menos do que 5 SM. Para Y foram consideradas duas categorias: TNM e TNS, respectivamente, técnicos de nível médio e técnicos de nível superior. Os resultados do estudo foram:

I. 20%, 50% e 30%, respectivamente, dos funcionários pertenciam às faixas salariais A, B e C.

II. 40% e 60%, respectivamente, pertenciam às categorias TNM e TNS.

III. 80% dos funcionários da faixa salarial A eram TNS e 60% dos funcionários da faixa salarial C eram TNM.

Um funcionário é selecionado ao acaso dentre todos os funcionários do órgão. A probabilidade de ele ser TNM ou pertencer à faixa salarial B é igual a

(A) 72%

(B) 45%

(C) 64%

(D) 68%

(E) 90%

Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que sejam 1.000 funcionários, sendo 200 na faixa A, 500 na faixa B e 300 na faixa C, respeitando os percentuais de 20%, 50% e 30% fornecidos no item I.

 

400 pertencem à categoria TNM e 600 pertencem à categoria TNS, respeitando os percentuais dados no item II:

80% dos 200 funcionários da faixa A são TNS:

60% dos funcionários da faixa C são TNM:

As demais células são calculadas por diferença:

Foi pedida a chance de selecionarmos uma pessoa ao acaso e ela ser TNM ou da faixa B. Os casos favoráveis são os destacados em vermelho acima:

São 720 casos favoráveis em 1.000 possíveis. A probabilidade fica:

Gabarito: A

Bacen 2013–questão 68–área 3

Olá pessoal!

Como já falei em artigo anterior (http://www.tecconcursos.com.br/artigos/gabarito-definitivo-do-bacen), no meu entendimento, o gabarito definitivo do Bacen veio com alguns erros. Já fiz críticas à questão que achei mais grave, que foi uma de RLQ. E farei as demais assim que o concurso for cadastrado no TecConcursos e eu for comentar as provas.

Enquanto isso, o Rodolfo, participante do meu blog (exatasparaconcursos.wordpress.com), pediu que eu comentasse a questão 68 da área 3.

Segue enunciado:

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(Cespe) Considerando que um investidor obtenha retornos diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes

68. Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é maior que 73%

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Comentários:

Primeiro vamos resolver a questão da maneira correta, considerando estritamente as informações dadas no item, ou seja, considerando que P(X=10) e P(X=100) são eventos independentes, exatamente como dito pela questão.

Dois eventos são independentes se, e somente se, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades individuais:

A probabilidade da união é dada por:

A probabilidade da união não é maior que 73%. ITEM ERRADO.

Esta é a solução correta. O problema é que, no gabarito definitivo, a banca inverteu o gabarito, dizendo que o item estaria “CORRETO”.

O grande detalhe é o seguinte. Não faz o menor sentido afirmar que X = 10 e X = 100 são eventos independentes. Isto porque não dá para um título ter retorno diário de 10 e, ao mesmo tempo, ter retorno diário de 100. É impossível que ambos ocorram simultaneamente. Oras, se a probabilidade da intersecção é nula, então ela é diferente do produto das probabilidades. Portanto, na realidade, os eventos não são independentes.

Assim, para chegar ao gabarito definitivo, devemos desconsiderar parte do enunciado. Devemos supor que, na realidade, os eventos são dependentes.

Devemos considerar ainda que, na verdade, estamos diante de eventos mutuamente exclusivos (em vez de independentes entre si). Com esta consideração adicional, aí sim, chegamos ao gabarito oficial.

Dois eventos são mutuamente excludentes quando a probabilidade da intersecção é nula. Disto resulta que a probabilidade da união corresponde à soma das probabilidades:

Aí sim, obtemos um valor maior que 0,73, e marcaríamos “item correto”.

Teorema de Bayes–FCC 2007

Hoje respondo a uma dúvida da Ianna, aluna do meu curso de Estatística para o Bacen.

A dúvida é sobre a questão abaixo, que trata do Teorema de Byes.

Apesar de a questão poder ser resolvida com a aplicação direta deste teorema, vou optar por usar a abordagem frequentista da probabilidade.

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(FCC - TRF 2ª Região 2007)

Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é:

a) 0,9

b) 0,8

c) 0,4

d) 0,35

e) 0,32

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Resolução:

Vamos supor que a população tem 100.000 habitantes. Para obedecer às condições do enunciado, temos o seguinte quadro:

0,5% da população tem a doença.

São 500 doentes.

O teste detecta a doença em 95% dos casos (ele é 95% efetivo na detecção)

Logo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• Os outros 25 pacientes que têm a doença terão exame negativo

O restante da população é saudável:

São 99.500 saudáveis.

Em 1% destes casos o teste dá falso positivo

São 995 saudáveis com teste positivo

Os demais são saudáveis com teste negativo:

Resumindo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Estamos interessados nos casos em que a pessoa tem a doença. Os casos favoráveis são:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

E foi dada uma condição. A condição é o exame ter dado positivo. Vamos rever nossos casos possíveis e favoráveis.

Casos possíveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Casos favoráveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

A probabilidade fica:

Gabarito: E.

Resolução da prova de RLQ EPPGG 2013–questão 36

36- Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6.

Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo

Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo

em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se correu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a:

a) 6/31

b) 1/2

c) 1/12

d) 1/7

e) 5/6

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Resolução:

Problema de aplicação da fórmula do teorema de Bayes. Você pode optar por usar a fórmula, ou então ir para a abordagem frequentista da probabilidade.

1ª solução: abordagem frequentista

Suponha que a gente lance a moeda 60 vezes.

Em 1/6 das vezes dá coroa. Logo, são 10 coroas. Nestas 10 vezes, selecionamos um número entre aqueles do conjunto P: {1, 2, 3, 4}. Metade deles é par e metade é ímpar. Logo, nos dez resultados coroa, temos:

• 5 números pares
• 5 números ímpares

Nas outras 50 vezes, o resultado deu cara. Neste caso, escolhemos um número do conjunto Z: {7, 8, 9, 10, 11}. Neste conjunto, são 3 ímpares e 2 pares. Ou seja, em 40% dos casos teremos resultado par, e em 60% teremos resultado ímpar:

• 0,6 x 50 = 30 resultados ímpares
• 0,4 x 50 = 20 resultados pares

É dado que o número sorteado é ímpar. Logo, estamos diante de um dos 35 casos abaixo:

5 números ímpares obtidos nos lançamentos “coroa”

30 números ímpares obtidos nos lançamentos “cara”

Queremos a probabilidade de coroa. São 5 casos favoráveis em 35. A probabilidade é 5/35

Gabarito: D

2ª solução: aplicando a fórmula

Seja “I” o evento que ocorre quando o número sorteado é ímpar. Seja “K” o evento que ocorre quando o lançamento da moeda resulta em coroa. Seja “C” o evento correspondente a resultado cara.

O exercício nos disse que:

Dando coroa, o conjunto numérico é {1, 2, 3, 4}, que tem metade dos casos sendo números ímpares. Logo:

Dando cara, o conjunto numérico é {7, 8, 9, 10, 11}, que tem 60% dos casos sendo números ímpares. Logo:

Agora aplicamos o teorema:

Multiplicando todos os termos por 6 não alteramos a fração:

Estatística MPOG parte 3

Trago hoje o terceiro post da série em que resolvemos a prova de estatística do MPOG 2012.

Enunciados:

(Esaf 2012) Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas.

Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

(Esaf 2012) A probabilidade de uma variável aleatória z com distribuição normal padrão estar no intervalo entre -1,96 e 1,96 desvios padrão é igual a 95%, isto é: P{-1,96 < z < 1,96} = 95%.

Sabe-se que uma variável aleatória contínua x tem distribuição normal com média 10 e variância 4. Assim, pode-se afirmar que P{x < 6,08} é igual a:

a) P(x < 13,92)

b) P(x > 13,92)

c) P(z < 1)

d) P(z = 1)

e) P(x = 13,92)

Segue resolução:

Probabilidade condicional

Hoje respondo a uma dúvida da Cristiane Ferreira. Não sei se é de algum concurso ou não.

 

Enunciado:

Dados A e B eventos com

calcular:

 

Resolução.

Antes de tudo, temos que relembrar a fórmula da probabilidade condicional. É a que segue:

Agora aplicamos este resultado à questão.

No numerador temos a intersecção entre dois conjuntos:

- o conjunto “A união com B”

- o conjunto B

Vejam que o segundo conjunto está contido no primeiro. Logo, a intersecção corresponderá ao conjunto menor:

Esse resultado não é tão difícil de entender. Se é dado que o evento B ocorreu, então temos certeza absoluta de que ocorreu o evento A ou o evento B (união). Por isso a probabilidade é 1.

Antes de atacarmos a letra “b”, vamos calcular a probabilidade da união:

Na letra “b”, a primeira probabilidade a ser calculada é:

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:

No numerador, queremos a probabilidade de que o evento “A” não ocorra e o evento “B” também não ocorra.

Isso é exatamente o contrário da união entre A e B. Para ficar mais claro, vejamos o diagrama:

Em amarelo temos a união entra A e B.

Em azul temos a parte do diagrama que corresponde à intersecção entre (A não ocorre) e (B não ocorre). Os eventos em amarelo e em azul são complementares.

Assim:

Agora podemos voltar no cálculo da probabilidade condicional:

Analogamente:

Por fim, outra forma de resolver a questão é trabalhar com um exemplo numérico.

Considere que tenhamos em uma urna 12 bolas numeradas de 1 a 12.

O evento A ocorre quando extraímos um bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B ocorre quando extraímos uma bola do conjunto {4, 5, 6, 7}

Com isso, vocês podem verificar que:

Se é dado que B ocorreu, então extraímos uma das seguintes bolas: 4, 5, 6, 7.

Logo, temos certeza de que o evento A união com B ocorreu. Temos certeza que alguma bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} foi extraída. Por isso a probabilidade da letra “a” é 1.

Se é dado que B não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “A” é de 5 em 8. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 8 possíveis. Por isso:

Se é dado que A não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {7, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “B” é de 5 em 6. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 6 possíveis. Por isso:

Cris, espero ter ajudado.

Para mais questões comentadas, acesse www.tecconcursos.com.br.

Bons estudos!

Vítor

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vitor@tecconcursos.com.br