Contador TJ SP - questão 91

Hoje resolvo uma questão da Vunesp, questão do concurso do TJ SP, realizado agora em 2015.

 Três meninas têm um irmão cada uma. No total, esses seis jovens já ganharam 43 medalhas em competições de natação, sendo que Renato ganhou 2 medalhas, Márcio 3 e Rogério 5. Renata ganhou 7 medalhas a mais que seu irmão, Márcia ganhou 4 vezes mais medalhas que seu irmão e Rogéria ganhou 3 vezes mais medalhas que seu irmão. A diferença entre as medalhas recebidas por Renata e
Márcia é igual a
(A)  5.
(B)  1.
(C)  3.
(D)  2.
(E)  4.

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Montando uma tabela para fazermos as associações:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	20
Rogéria	6	9	15

Na tabela acima, elencamos todas as possibilidades. Exemplos:

• Se Renata for irmã de Renato, então ela tem 9 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• Se Renata for irmã de Márcio, então ela tem 10 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• ...
• Se Rogéria for irmã de Rogério, então ela tem 15 medalhas (3 vezes mais que seu irmão)

O total de medalhas é 43. Somando só os homens, já temos $2+3+5=10$. Para completar 43 faltam 33

Deste modo, somando as medalhas das mulheres devemos ter 33.

Vamos começar analisando a maior quantidade possível, que seriam 20 medalhas para Márcia, caso ela seja irmã de Rogério.

Hipótese: Márcia tem 20 medalhas.

Se Márcia tiver 20 medalhas, então as outras duas (Renata e Rogéria) devem ter, juntas, $ 33 - 20 = 13$ medalhas. Mas não é possível termos uma combinação de Renata e Rogéria que resulte em 13 medalhas. 

Conclusão: Márcia não tem 20 medalhas

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Já vimos que Márcia não é irmã de Rogério. Então a irmã de Rogério só pode ser Renata ou Rogéria.

Hipótese: Renata é irmã de Rogério

Nesse caso, Renata tem 10 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $ 33 - 10 = 23$. A única combinação que dá 23 é se Márcia tiver 8 e Rogéria tiver 15. Mas isso seria absurdo, pois exigira que Rogéria também fosse irmã de Rogério, quando nossa hipótese é a de que a irmã de Rogério é Renata.

Conclusão: Renata não é irmã de Rogério.

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	FALSO
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Por eliminação, Rogéria é irmã de Rogério. Logo, ela tem 15 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $33 - 15 = 18$. Isso ocorrerá se Renata tiver 10 e Márcia tiver 8, assim:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	FALSO	10	FALSO
Márcia	8	FALSO	FALSO
Rogéria	FALSO	FALSO	15

Renata recebeu 10 medalhas e Márcia recebeu 8. A diferença é de 2 medalhas. Resposta: D