Lógica de argumentação - Vunesp 2013 - Investigador de Polícia

O aluno Take Fiscal me pediu a resolução desta questão via facebook.

Vunesp - 2013 - PC SP - Investigador de Polícia
Quando um argumento dedutivo é válido, isso significa que
a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.
b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.
c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.
d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.
e) as premissas são sempre verdadeiras.

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Antes de resolver a questão, vejamos um exemplo de argumento válido.

$ p \to q$

$\underline p$

$q$

Este argumento é válido, pois, em todas as linhas da tabela em que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. Em outras palavras, premissas V garantem conclusão V. Vejam a tabela:

p (Premissa)	q (Conclusão)	Se p, então q (Premissa)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na primeira linha da tabela verdade, todas as premissas são verdadeiras. Nessa mesma linha, a conclusão também é V. É isso que faz um argumento válido.

Argumento válido: sempre que premissas forem V, conclusão será V também

Vejam que "p" e "q" podem representar qualquer coisa, pouco importa o significado, o argumento continuará válido. Isso ocorre porque o que interessa na validade de um argumento é a sua forma, e não o seu conteúdo.

Deste modo, se eu fizer:

• p = O sol é amarelo
• q = O dia é claro

Terei um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Ou seja, estou na linha 1 da tabela.

Já seu eu fizer:

• p = O gato late
• q = O cachorro mia

Terei um argumento válido, já que seu formato não mudou. Mas seria um argumento válido com premissas F e conclusão F. Ou seja, estou na linha 4 da tabela.

O argumento ficaria assim:

Se o gato late, então o cachorro mia

O gato late

Conclusão: o cachorro mia

Este argumento é válido.

Por quê?

Porque, se as premissas fossem verdadeiras, então eu estaria na linha 1 da tabela, e isso garantiria conclusão V também. 

O fato de, no mundo real, as premissas serem na verdade falsas e eu estar na linha 4 da tabela, isso é um mero detalhe, irrelevante para a análise da validade do argumento. 

Pouco importa se, num caso concreto, a gente foi parar na linha 2, ou na 3, ou na 4 da tabela. Isso não importa. O que importa é: se as premissas fossem verdadeiras, cairíamos na linha 1, e a conclusão seria V também. 

Resumindo, podemos ter argumento válido com:

• premissas V e conclusão V
• premissas F e conclusão V
• premissa F e conclusão F

A única coisa que não pode ocorrer é termos premissas V com conclusão F, já que, nesse caso, resta configurado argumento inválido. 

Visto isso, vamos analisar nossas alternativas:

a) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas falsas e conclusão verdadeira.

Exemplo:

Premissa: O gato late

Conclusão: O gato late ou o pinto pia

b) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.

Errado. Podemos muito bem ter argumento válido com premissas F e conclusão V. Vide exemplo dado na letra "a"

c) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.

Perfeito!

Oras, se não houvesse premissa falsa, então teríamos premissas V + conclusão F e o argumento seria inválido.

Como foi garantido que o argumento é válido, tal situação não pode ocorrer. Logo, se a conclusão é falsa, realmente há alguma premissa falsa também.

d) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.

Perfeito! Se existisse tal situação o argumento seria inválido.

e) as premissas são sempre verdadeiras.

Errado, vide exemplo dado na letra "a".

Deste modo, a questão apresenta duas alternativas corretas e deveria ter sido anulada. 

Contador TJ SP - Vunesp - Questão 92

Na vila de Trulie, alguns habitantes sempre mentem e os demais sempre falam a verdade. Alberto é um turista nessa vila e não conhece a natureza dos habitantes, ou seja, ele não sabe, a princípio, se um dado habitante sempre fala a verdade ou se sempre mente.

92. Passeando na vila, Alberto encontrou três habitantes e sabia que apenas um deles era médico, mas não sabia qual. Esses três habitantes, identificados por A, B e C, fizeram as seguintes afirmações:
A: “Olá, eu sou o médico da vila.”
B: “Olá, eu não sou o médico da vila.”
C: “Olá, no máximo um de nós sempre fala a verdade.”
A partir dessas afirmações, Alberto concluiu corretamente que o médico pode ser
(A) apenas A.
(B) apenas B.
(C) A ou C, mas não B.
(D) B ou C, mas não A.
(E) A ou B, mas não C.

Resolução:

Hipótese: A é médico. Logo:

• A diz a verdade
• B diz a verdade
• Até aqui temos 2 verdadeiros. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. Logo, C é mentiroso 

Não chegamos a qualquer contradição. Esta hipótese ainda é possível.


Hipótese: B é médico.

Logo:

• A mente
• B mente
• Até aqui temos 2 mentirosos. Disto resulta que a frase "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. Logo, C é verdadeiro

Não chegamos a contradições. A hipótese acima é possível.

Hipótese: C é médico. Logo:

• A mente
• B diz a verdade
• Até aqui temos 1 verdadeiro e 1 mentiroso. Assim:

• caso C seja verdadeiro, teremos 2 verdadeiros. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é falsa. O que por sua vez torna C um mentiroso. Assim chegamos a uma contradição. Então descartamos esta hipótese.
• caso C seja falso, teremos um único verdadeiro. Disto resulta que a afirmação "no máximo um de nós sempre fala a verdade" é verdadeira. O que por sua vez torna C um verdadeiro. Chegamos novamente a uma contradição. Então descartamos esta hipótese. 

Então eliminamos esta hipótese, pois ela sempre nos leva a contradições.

Resultado: apenas A e B podem ser o médico. C não pode ser médico, pois tal hipótese nos leva a contradições.

Resposta: E

Contador TJ SP - questão 91

Hoje resolvo uma questão da Vunesp, questão do concurso do TJ SP, realizado agora em 2015.

 Três meninas têm um irmão cada uma. No total, esses seis jovens já ganharam 43 medalhas em competições de natação, sendo que Renato ganhou 2 medalhas, Márcio 3 e Rogério 5. Renata ganhou 7 medalhas a mais que seu irmão, Márcia ganhou 4 vezes mais medalhas que seu irmão e Rogéria ganhou 3 vezes mais medalhas que seu irmão. A diferença entre as medalhas recebidas por Renata e
Márcia é igual a
(A)  5.
(B)  1.
(C)  3.
(D)  2.
(E)  4.

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Montando uma tabela para fazermos as associações:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	20
Rogéria	6	9	15

Na tabela acima, elencamos todas as possibilidades. Exemplos:

• Se Renata for irmã de Renato, então ela tem 9 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• Se Renata for irmã de Márcio, então ela tem 10 medalhas (7 a mais que seu irmão)
• ...
• Se Rogéria for irmã de Rogério, então ela tem 15 medalhas (3 vezes mais que seu irmão)

O total de medalhas é 43. Somando só os homens, já temos $2+3+5=10$. Para completar 43 faltam 33

Deste modo, somando as medalhas das mulheres devemos ter 33.

Vamos começar analisando a maior quantidade possível, que seriam 20 medalhas para Márcia, caso ela seja irmã de Rogério.

Hipótese: Márcia tem 20 medalhas.

Se Márcia tiver 20 medalhas, então as outras duas (Renata e Rogéria) devem ter, juntas, $ 33 - 20 = 13$ medalhas. Mas não é possível termos uma combinação de Renata e Rogéria que resulte em 13 medalhas. 

Conclusão: Márcia não tem 20 medalhas

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	10
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Já vimos que Márcia não é irmã de Rogério. Então a irmã de Rogério só pode ser Renata ou Rogéria.

Hipótese: Renata é irmã de Rogério

Nesse caso, Renata tem 10 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $ 33 - 10 = 23$. A única combinação que dá 23 é se Márcia tiver 8 e Rogéria tiver 15. Mas isso seria absurdo, pois exigira que Rogéria também fosse irmã de Rogério, quando nossa hipótese é a de que a irmã de Rogério é Renata.

Conclusão: Renata não é irmã de Rogério.

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	9	10	FALSO
Márcia	8	12	FALSO
Rogéria	6	9	15

Por eliminação, Rogéria é irmã de Rogério. Logo, ela tem 15 medalhas. As outras duas devem ter, juntas, $33 - 15 = 18$. Isso ocorrerá se Renata tiver 10 e Márcia tiver 8, assim:

	Renato (2)	Marcio (3)	Rogério (5)
Renata	FALSO	10	FALSO
Márcia	8	FALSO	FALSO
Rogéria	FALSO	FALSO	15

Renata recebeu 10 medalhas e Márcia recebeu 8. A diferença é de 2 medalhas. Resposta: D

Questões 17 e 18 - ISS São José dos Campos

Hoje fechamos as questões do concurso do ISS São José dos Campos, elaboradas pela Vunesp, e que foram solicitadas por um de meus alunos.

Vamos lá!

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17. Gabriel é pai de Lucas, e a soma das idades dos dois é 106 anos. Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio. Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje. Hoje, a soma das idades de Caio e Lucas, em anos, vale
(A) 47.
(B) 49.
(C) 51.
(D) 53.
(E) 55.

Resolução:

O enunciado se refere ao presente e ao futuro. Vamos analisá-los separadamente.

Antes disso, é interessante quebrar o enunciado em partes:

1. a soma das idades de Gabriel e Lucas é 106 anos
2. Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio.
3. Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje.

Presente

Sabemos que Gabriel é pai de Lucas. E Lucas é pai de Caio.

Gabriel > Lucas > Caio

Hoje Gabriel tem x anos. Foi dito que a soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos (informação 1). Então a idade de Lucas é dada por:

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Futuro

No futuro, Caio terá 7 anos a menos que a idade que seu pai tem hoje (informação 3). Logo, sua idade será igual a:

Nessa mesma data, a idade de Lucas será o dobro da idade de Caio (informação 2) . Idade de Lucas no futuro:

Nessa mesma data, a informação 2 nos diz que a idade de Lucas, acima calculada, será igual à idade de Gabriel tem hoje (x):

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Presente

Voltando ao presente. Sabemos que Gabriel tem 66 anos. A soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos. Assim calculamos a idade de Lucas:

Lucas tem 40 anos hoje.

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Futuro

Analisando novamente o futuro, temos o seguinte. Quando Lucas tiver a idade de seu pai, ou seja, quando ele tiver 66 anos, já terão se passado 66 - 40 = 26 anos.

Nesta data, Caio terá 7 anos a menos do que seu pai tem hoje, ou seja, 40 - 7 = 33 anos.

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Presente

Se em 26 anos Caio terá 33 anos, então hoje ele tem:

Somando as idades de Caio (7 anos) e Lucas (40) anos, chegamos aos 47 anos.

Gabarito: A

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18. Um número é classificado como quadrado perfeito se sua raiz quadrada for um número inteiro. Beatriz e Juliana estão fazendo um jogo em que, a partir de um número inteiro e positivo que elas sorteiam, a primeira a jogar subtrai um quadrado perfeito do número sorteado. Se o resultado dessa subtração for diferente de zero, a segunda a jogar subtrai um quadrado perfeito do resultado anterior e, a partir daí, elas se alternam subtraindo quadrados perfeitos dos resultados anteriores. Vence o jogo aquela que conseguir obter resultado zero na sua vez de subtrair. No jogo, é proibido subtrair o número zero. Uma rodada é perfeita se a jogadora vencedora sempre subtrai um número que não possibilite à adversária chance de vitória. Se o número inicial de uma rodada é 50, e Juliana é a primeira a jogar, o primeiro número que ela deverá subtrair, de modo a fazer uma rodada perfeita, é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 25.
(D) 36.
(E) 49.

Resolução

Vamos por eliminação, começando das alternativas mais fáceis.

Se Juliana subtrair 49 (letra E), deixará resultado 50 - 49 = 1. Beatriz então faz 1 - 1 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra E está descartada, pois Juliana está permitindo a vitória de Beatriz.

Se Juliana subtrair 25 (letra C), deixará resultado 50 - 25 = 25. Beatriz então faz 25 - 25 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra C também está descartada.

As letras C e E foram as mais fáceis, pois Beatriz ganharia em um único passo.

Vamos agora para a letra D, que é um pouco mais complicadinha.

Se Juliana subtrair 36 (letra D), deixará resultado 50 - 36 = 14. Aqui Beatriz ganha, a partir da seguinte estratégia:

• Beatriz subtrai 9, deixando 14 - 9 = 5
• Juliana só poderá subtrair 1 ou 4.
  • se subtrair 1, deixa resultado 4 para Beatriz e Beatriz vence. Basta que subtraia 4 - 4 = 0
  • se subtrair 4, deixa resultado 1 para Beatriz e Beatriz vence também. Basta fazer 1 - 1 = 0.

Assim, a letra D está descartada.

A letra "D" nos mostrou um resultado bastante interessante: quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vencerá o jogo.

Aproveitando esse conhecimento, analisamos a letra A. Se Juliana subtrai 9, deixa resultado 50 - 9 = 41. Beatriz então subtrai 36, deixando 41 - 36 = 5. Opa!!! Resultado 5. Beatriz já garante a vitória, pois acabamos de ver que quem deixa o resultado 5 ganha. A letra "A" também está descartada.

Assim, já descartamos as letras A, C, D e E, pois em todas elas Beatriz consegue vencer. Por exclusão, marcamos letra B.

Gabarito: B

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Na hora da prova o ideal é marcar a letra B por exclusão. Pois ela é mais demorada de ser analisada.

Em todo caso, como não estamos na prova, dá para gastar um tempinho analisando a tal da letra B.

Primeira coisa: a letra B pode ser analisada de forma similar à letra D, mas vai dar mais trabalho, pois teremos que ir abrindo num número maior de casos.

Vamos então ver outra estratégia possível para analisar a letra B, ok? Daí você fica com a que melhor se identificar.

Antes de efetivamente entrar na letra B, vamos relembrar um pouco do que aprendemos na letra D.

Na letra D vimos que quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vence.

Portanto, quem deixar resultado 5 + 1 = 6, necessariamente perde. Oras, se eu deixo 6, você vai e faz 6 - 1 = 5. Você deixou resultado 5 e com isso venceu.

Pelo mesmo raciocínio concluímos que necessariamente perde quem deixar:

• 5+1=6
• 5+4=9
• 5+9=14
• 5+16=21
• 5+25=30
• 5+36=41

Vamos anotar esses resultados:

• Números que farão vencer: 5
• Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41

Bom, veja também que, se eu deixar o resultado 2, eu necessariamente venço. Pois você terá que deixar 2 - 1 = 1. E eu vou e termino: 1 - 1 = 0. Atualizando:

• Números que farão vencer: 2, 5
• Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41

Repetindo o raciocínio feito acima, somando 2 com todos os demais números quadrados perfeitos, chegamos a mais números que fazem perder: 3, 6, 11, 18, 27, 38.

Atualizando a listagem:

• Números que farão vencer: 2, 5
• Números que farão perder: 3, 6, 9, 11, 14, 18, 21, 27, 30, 38, 41

Todos os quadrados perfeitos também nos fazem perder. Oras, se eu deixo o resultado 16, você vai e faz 16 - 16 = 0.

Atualizando:

• Números que farão vencer: 2, 5
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 25, 27, 30, 36, 38, 41

Entre os primeiros naturais, todos já aparecem na lista, a exceção do 7. Vamos analisá-lo.
Se eu deixo o 7, você pode fazer:

• 7-1 = 6. Você perde (pois o 6 está na lista dos que fazem perder)
• 7 - 4 = 3. Você perde (pois o 3 está na lista dos que fazem perder)

Logo, o 7 sempre me faz vencer. Assim, o 7 entra na lista dos que fazem vencer. E, consequentemente, os números 8, 11, 16, 23, 32 e 43 entram na lista dos que fazem perder.

• Números que farão vencer: 2, 5, 7
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 36, 38, 41, 43

Entre os primeiros naturais, o 10 ainda não apareceu na listagem. Se eu deixo resultado 10, você pode fazer:

• 10 - 1 = 9 (você perde)
• 10 - 4 = 6 (você perde)
• 10 - 9 = 1 (você perde)

Logo, o 10 me faz vencer. Consequentemente, os números 11, 14, 19, 26, 35 e 46 fazem perder.

• Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 35, 36, 38, 41, 43, 46

Com o mesmo raciocínio, concluímos que o 12 faz vencer. Logo, fazem perder 13, 16, 21, 28, 37, 48

• Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 48

Com o mesmo raciocínio, concluímos que o 15 faz vencer. Logo, fazem perder 16, 19, 24, 31, 40

• Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 46, 48

Vejam que faltam poucos números. Já podemos desconfiar que os poucos que faltam são os que fazem vencer. O primeiro que está faltando é o 17. Se você testar, verá que ele faz vencer. Oras, se eu deixo 17, você pode fazer 17 - 1 = 16 (perde), ou 17 - 4 = 13 (perde), ou 17 - 9 = 8 (perde) ou 17 - 16 = 3 (perde).

Se o 17 faz vencer, então fazem perder: 18, 21, 26, 33, 42

• Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15, 17
• Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 46, 48.

Bom, vamos parar com essa análise e vamos agora direto para o que interessa.

Na letra B, Juliana faz 50 - 16 = 34.

O 34 não está na lista dos que fazem perder. Já podemos suspeitar que ele faz vencer, ou seja, que ele garante a vitória de Juliana.

Vamos confirmar?

Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 - 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:

• Subtrai 25, deixando resultado 9. Esse resultado a faz perder (veja que o 9 está na lista dos que fazem perder)
• Subtrai 16, deixando resultado 18. Este resultado também a faz perder.
• Subtrai 9, deixando resultado 25. Este resultado também a faz perder.
• Subtrai 4, deixando resultado 30. Este resultado também a faz perder
• Subtrai 1, deixando resultado 33. Este resultado também a faz perder

Logo, qualquer que seja a ação de Beatriz, ela perde. Ou seja, a estratégia de Juliana, de deixar o número 34, certamente a faz vencer.

Gabarito: B

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Só por curiosidade, a análise da letra B de forma similar ao que fizemos para as demais alternativas seria assim.
Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 - 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:

• Subtrai 25, deixando resultado 9. Juliana então faz 9 - 9 = 0  e ganha.
• Subtrai 16, deixando resultado 18. Juliana faz 18 - 16 = 2. Beatriz terá que fazer 2 - 1 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
• Subtrai 9, deixando resultado 25. Juliana faz 25 - 25 = 0 e ganha.
• Subtrai 4, deixando resultado 30. Juliana faz 30 - 25 = 5. E já vimos na letra D que quem deixa resultado 5 ganha o jogo.
• Subtrai 1, deixando resultado 33. Juliana faz 33 - 16= 17. Beatriz tem as seguintes opções:
  
  
  
  • fazer 17 - 16 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
  • fazer 17 - 9 = 8. Juliana faz 8 - 1 = 7. Beatriz então pode:
    
    
    
    • fazer 7 - 4 = 3. Juliana faz 3 - 1 = 2. Beatriz faz 2 - 1 =1. Juliana faz 1 -1 = 0 e vence
    • fazer 7 - 1 = 6. Juliana faz 6 - 1 = 5 e vence.
  • fazer 17 - 4 = 13. Juliana faz 13 - 1 = 12. Beatriz então pode fazer:
    
    • 12 - 1 = 11. Juliana faz 11 - 4 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
    • 12 - 4 = 8. Juliana faz 8 - 1 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
    • 12 - 9 = 3. Juliana faz 3 - 1 = 2. Beatriz faz 2 - 1 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
  • fazer 17 - 1 = 16. Juliana faz 16 - 16 = 0 e vence

Novamente, gabarito letra B.

Questão 15 - ISS São José dos Campos

(Vunesp) Uma sequência é formada por 50 figuras conforme o padrão que exibe as 4 primeiras figuras. Cada figura da sequência é formada por quadradinhos claros e escuros.



A diferença entre o número de quadradinhos escuros da última e da penúltima figuras vale
(A) 99.
(B) 100.
(C) 101.
(D) 102.
(E) 103.

Resolução:

A primeira figura apresenta um quadrado formado por 3 x 3 quadradinhos.

A segunda figura apresenta um quadrado formado por 4 x 4 quadradinhos.

A terceira figura apresenta um quadrado formado por 5 x 5 quadradinhos.

A quarta figura apresenta um quadrado formado por 6 x 6 quadradinhos.

E assim por diante.

Em negrito temos números que formam uma PA de razão 1:

3, 4, 5, 6, ...

Além disso, é importante notar que as figuras alternam formatos de T's e de O's.

Quando temos número ímpar de quadradinhos (3x3, 5x5, 7x7, 9x9), a figura forma um T. Ou seja, os quadradinhos cinzas ocupam a primeira linha e mais a coluna central.

Quando temos um número par de quadradinhos (4x4, 6x6, 8x8...), a figura forma um "O", ou seja, os quadrados cinzas ocupam as bordas da figura.

49ª figura

O 49º termo da PA é dado por:

Ou seja, na 49ª figura teremos um quadrado de dimensões 51 x 51.

A primeira linha dele será inteira pintada de cinza, o que corresponde a 51 quadradinhos.

Além disso, a coluna central dele será inteira pintada de cinza, o que corresponde a mais 50 quadradinhos. Na verdade, a coluna central tem 51 quadradinhos, mas um deles já pertence também à primeira linha e já terá sido pintado.

Total de quadradinhos cinzas: 51 + 50 = 101

50ª figura

O 50º termo da PA será um quadrado formado por 52 x 52 quadradinhos. Nós vamos pintar todas as suas bordas de cinza. São 4 bordas, cada uma delas com 52 quadradinhos, total de 208 quadradinhos.

Contudo, os quatro quadradinhos das quinas terão sido computados duas vezes cada um. Isso porque esses quadradinhos das quinas pertencem a duas bordas ao mesmo tempo. Para eliminar a contagem repetida, fazemos:

 

Assim, a 49ª figura apresentará 101 quadradinhos escuros. A 50ª figura apresentará 204. De modo que a diferença entre ambas é:

Gabarito: E

Questão 12 - ISS São José dos Campos

Mais uma questão da Vunesp:

O esquema a seguir mostra uma rua principal e três ruas transversais. O número indicado em cada rua transversal é o tempo, em segundos, em que os seus respectivos semáforos ficam verdes, ou seja, permitindo a passagem de automóveis. O tempo, em segundos, em que o semáforo fica verde para os  motoristas que vêm pela rua principal é de 90 segundos nos  três cruzamentos.



 

Quando um semáforo está verde na rua principal, o semáforo da rua transversal correspondente estará vermelho, ou seja,  proibindo a passagem de automóveis, e quando está vermelho na rua principal, o semáforo da rua transversal correspondente  estará verde. Cada semáforo só acende nas cores verde e vermelha, e ao fim do tempo de uma fase verde ocorre a inversão de cores entre os semáforos de um mesmo cruzamento.
Todos os dias, à meia noite, esses 6 semáforos são programados de forma que os 3 da rua principal iniciam uma fase verde. A primeira vez, a partir da meia noite, que os 3 semáforos da rua principal iniciarão uma fase verde ao mesmo tempo será às
(A) 0h 18min.
(B) 3h.
(C) 6h 18min.
(D) 9h.
(E) 12h 18min.

Resolução:

À 0h00 o primeiro semáforo fica verde e fica assim durante 54 segundos.

Depois ele fica por 90 segundos no vermelho, tempo no qual o semáforo da avenida principal estará verde. Em seguida, torna a ficar verde.

Observem que o intervalo entre um "verde" e o próximo "verde" é de 54 + 90 = 144 segundos.

Analogamente, para o segundo semáforo, o tempo entre dois "verdes" é 72 + 90 = 162 segundos.

Analogamente, para o terceiro semáforo, o tempo entre dois "verdes" é de 60 + 90 = 150 segundos.

Assim, o primeiro semáforo fica verde a cada 144 segundos. O segundo fica verde a cada 162 segundos. E o terceiro fica verde a cada 150 segundos.

Todos eles ficaram verdes à meia noite.

Para calcular o próximo instante em que todos ficarão verdes basta determinar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 144, 162 e 150.

Fatorando cada número:

O mmc é formado pelos fatores com seus maiores expoentes.

Eles voltarão a ficar verdes ao mesmo tempo depois de 32.400 segundos. Para converter isso em horas, minutos e segundos, basta ir dividindo por 60:

Eles voltarão a ficar verdes após 9 horas. Ou seja, às 9 horas da manhã.

Gabarito: D