(Cespe)
Uma operadora de telefones pôs em certo local três funcionários para atender seus clientes. O número de clientes que chegam a esse local por minuto, X, segue uma distribuição dada por
em que
é uma constante e k = 0, 1, 2, 3, ....Se um cliente encontra os três atendentes ocupados, ele entra em uma fila única. Não há limites para o tamanho da fila. O tempo gasto por um atendente para cada cliente (isto é, o tempo de atendimento em minutos, T) segue uma distribuição contínua cuja função de densidade é dada por
Em que t>0 e exp{.}representa a função exponencial.
Considerando as informações acima, que descrevem uma fila baseada no processo de vida e morte com taxas de chegada e de serviço constantes com três servidores, julgue o item subsequente.
A mediana e a média de X são iguais.
Resolução:
Primeiro calculamos o valor de
. Somando os valores das probabilidades para todos os valores de X, obtemos 1:
O somatório acima corresponde ao número de Euler:
E é esse o resultado legal. O fato de gama ser igual ao inverso do núero de euler faz com que X, no fundo, seja uma distribuição de Poisson. Só que estava disfarçada. O disfarce era justamente a constante gama, desconhecida.
Neste momento, é bastante útil lembrarmos de como é a fórmula da probabilidade relativa à Poisson. Ela é do tipo:
Se fizermos
chegamos justamente à distribuição de X, vejam:
E agora tudo fica mais tranquilo. Determinar a média de X é fácil. Basta lembrar que, na distribuição de Poisson, a média corresponde a
que já sabemos valer 1.
Para determinar a mediana, precisamos calcular a função distribuição de probabilidade acumulada (FDP).
Logo:
Vejam que a função distribuição de probabilidade (FDP) valia aproximadamente 0,37 para X = 0, e salta para cerca de 0,74 em X =1. Logo, ela cruza a barreira dos 50% justamente em X = 1. Portanto, a mediana vale 1.
Concluindo, a média e a mediana valem 1.
Item certo
