Exatas para Concursos: ANAC 2009

Pessoal, hoje resolvo algumas questões da prova da ANAC 2009, pedidas pela Angélica, aluna do meu curso de estatística.

(ANAC 2009 – CESPE) - Considere que, em uma população, 80% dos indivíduos estejam satisfeitos com os serviços prestados por uma companhia aérea e que uma amostra aleatória simples de 10 pessoas seja retirada dessa população. Considere, ainda, que X represente o número de pessoas na amostra satisfeitas com os serviços prestados por essa companhia aérea, seguindo uma distribuição binomial. Com relação a essa situação hipotética e tomando 0,17 como valor aproximado de 0,8 ⁸ , julgue os itens subsequentes.

34. A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5.

35. A variância de X é inferior a 1.

36. A moda e a mediana de X são inferiores a 7.

Resolução:

Temos uma distribuição binomial de parâmetros p = 0,8 e n = 10.

A probabilidade de 8 pessoas satisfeitas é dada por:

Tal valor não é maior que 0,5. Logo, o item 34 está errado.

A variância da variável binomial é dada por:

Tal valor não é inferior a 1. O item 35 está errado.

Agora vamos ao item 36, que certamente é o mais complicado.

Se a distribuição binomial tivesse parâmetros n = 10 e p = 0,5, ela seria simétrica. A média seria igual à mediana, que seria igual à moda. Todas valeriam . Para não confundir, vou chamar de Y a distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,5.

Nesse caso, para ficar claro como a distribuição é simétrica, vejam que as probabilidades associadas a valores igualmente afastados de 5 são iguais entre si:

Contudo, se p > 0,5, então tudo muda. Os valores mais elevados de X terão probabilidades maiores. Vejam:

Na linha de baixo aumentamos o expoente do fator grande (0,8 está elevado ao expoente grande), fazendo com que a probabilidade de X = 9 seja maior que a de X = 1.

Em síntese: para X, os valores maiores têm probabilidade maior que os valores menores.

Logo, já concluímos que a moda necessariamente tem que ser maior que 5.

Para que o item 36 seja verdadeiro, a moda deve ainda ser menor que 7. Para que ela seja simultaneamente maior que 5 e menor que 7, ela deve ser igual a 6. Vamos calcular a probabilidade correspondente: