Petrobras 2014 - questão 30

Hoje vamos dar sequência à série de questões do concurso da Petrobras/2014, elaborado pela Cesgranrio..

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Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.

A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

(A) $0,45 \times 0,9^8$ 0

(B) $1 - 1,9 . 0,9^9$

(C) $1 - 1,35 . 0,9^8$

(D) $1,9 . 0,9^9$

(E) $1 - 0,45 . 0,9^8$

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No meu entendimento o enunciado da questão é completamente falho e a questão merecia ser anulada.

Primeiramente, vamos à solução pretendida pela banca.

Ao dizer que 90% das reclamações de seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto, a banca quis que a gente considerasse que 10% dos clientes sabem usar o produto. Ou seja, chamando de "p" a probabilidade de um cliente saber usar o produto, temos:

$p=0,1$

Seja "X" a variável que designa o número de clientes que sabem usar o produto na amostra. X segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 (pois são 10 clientes) e p = 0,1.

Resultado:

$P(X=0) = C_{10,0} \times p^0 \times (1-p)^{10} = 0,9^{10}$

$P(X=1) = C_{10,1} \times p^1 \times (1-p)^{9} = 0,9^{9}$

Acima calculamos a chance de nenhum cliente saber usar o produto e a chance de 1 cliente saber usar o produto.

Somando as duas probabilidades, temos a chance de no máximo 1 cliente saber usar o produto:

$P(X=0 \cup X =1 ) = 0,9^9 +0,9^{10} = 0,9^9 \times (1+0,9) = 1,9 \times 0,9^9$

Se no máximo 1 cliente souber usar o produto, a alegação do fabricante é aceita. Como a questão pediu a chance de a alegação ser rejeitada, basta tomarmos o evento complementar:

$P(X \ge 2) = 1 - 1,9\times 0,9^9$

Resposta: B

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Críticas à questão

Primeira crítica: A informação de que 90% das reclamações são decorrentes de clientes que não sabem usar o aparelho não ajuda em absolutamente nada a determinar o percentual de clientes que não sabe usar o aparelho.

Ou seja, o candidato precisaria de muita boa vontade para interpretar o enunciado do jeito que a banca queria e, assim, resolver a questão.

Para tornar a crítica mais concreta, suponha que a empresa tenha 1.000 clientes, assim distribuídos:

• 900 não reclamam, assim distribuídos:
  
  
  
  • 800 sabem usar o produto e não reclamam
  • 100 não sabem usar o produto, e mesmo assim não reclamam (não têm paciência para acionar o fabricante)


• Os outros 100 reclamam, sendo que:
  
  
  
  • 90 deles não sabem usar o produto
  • 10 sabem usar, mas reclamam por outros motivos

Notem que respeitamos absolutamente todas as condições do enunciado, pois 90% das reclamações são de clientes que não sabem usar o produto (90 em 100 = 90%).

No entanto, se observarmos o percentual de clientes que não sabe usar o produto, teremos 90 + 100 = 190. Num total de 1.000 clientes, isso representa 19%, o que compromete todos os cálculos que realizamos acima.

Para corrigir tal falha, uma primeira tentativa de alterar o enunciado seria:

Um fabricante alega que 90% das reclamações dos seus clientes são devidas à dificuldade em operar corretamente o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes que apresentaram reclamação e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Contudo, esta forma acima não sobrevive à nossa segunda crítica: seria perfeitamente possível que um cliente apresentasse mais de uma reclamação, o que mais uma vez atrapalharia todo o cálculo.

Por este motivo, o enunciado deveria ter sido redigido da seguinte forma:

Um fabricante alega que 90% dos seus clientes têm dificuldade em operar o produto. Para verificar essa afirmação, um órgão de defesa ao consumidor seleciona 10 clientes e usa, como regra de decisão, rejeitar a afirmação do fabricante se pelo menos 2 clientes souberem operar corretamente o produto.
A probabilidade de que o órgão de defesa ao consumidor rejeite a alegação do fabricante, quando ela é verdadeira, é

Pronto, a forma acima foge das duas críticas acima listadas e deixaria a questão mais clara.

Questão 21 do TCE/RS

Olá!

Um aluno do TEC Concursos pediu a resolução das questões 7,9, 17,18, 21, 22, 23, 24,25, 27, 29, 30 do concurso do TCE/RS, para possível ingresso de recursos.

Vamos lá, vamos às questões. Neste post vamos com a questão 21, na qual concordei com o gabarito da banca. Segue resolução

Questão 21: Em uma empresa, sabe-se que 20% das faturas de compra foram superestimadas. Um auditor selecionou aleatoriamente e com reposição 5 faturas de compra. A probabilidade de que exatamente 3 tenham sido superfaturadas é igual a

(A) 5,12%

(B) 10,24%

(C) 5,54%

(D) 6,20%

(E) 2,56%

Resolução:

O número de faturas superfaturadas superestimadas na amostra segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,2.

A fórmula da binomial é a seguinte:

Gabarito: A

Estatística MPOG parte 3

Trago hoje o terceiro post da série em que resolvemos a prova de estatística do MPOG 2012.

Enunciados:

(Esaf 2012) Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas.

Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

(Esaf 2012) A probabilidade de uma variável aleatória z com distribuição normal padrão estar no intervalo entre -1,96 e 1,96 desvios padrão é igual a 95%, isto é: P{-1,96 < z < 1,96} = 95%.

Sabe-se que uma variável aleatória contínua x tem distribuição normal com média 10 e variância 4. Assim, pode-se afirmar que P{x < 6,08} é igual a:

a) P(x < 13,92)

b) P(x > 13,92)

c) P(z < 1)

d) P(z = 1)

e) P(x = 13,92)

Segue resolução:

ANAC 2009

Pessoal, hoje resolvo algumas questões da prova da ANAC 2009, pedidas pela Angélica, aluna do meu curso de estatística.

(ANAC 2009 – CESPE) - Considere que, em uma população, 80% dos indivíduos estejam satisfeitos com os serviços prestados por uma companhia aérea e que uma amostra aleatória simples de 10 pessoas seja retirada dessa população. Considere, ainda, que X represente o número de pessoas na amostra satisfeitas com os serviços prestados por essa companhia aérea, seguindo uma distribuição binomial. Com relação a essa situação hipotética e tomando 0,17 como valor aproximado de 0,8 ⁸ , julgue os itens subsequentes.

34. A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5.

35. A variância de X é inferior a 1.

36. A moda e a mediana de X são inferiores a 7.

Resolução:

Temos uma distribuição binomial de parâmetros p = 0,8 e n = 10.

A probabilidade de 8 pessoas satisfeitas é dada por:

Tal valor não é maior que 0,5. Logo, o item 34 está errado.

A variância da variável binomial é dada por:

Tal valor não é inferior a 1. O item 35 está errado.

Agora vamos ao item 36, que certamente é o mais complicado.

Se a distribuição binomial tivesse parâmetros n = 10 e p = 0,5, ela seria simétrica. A média seria igual à mediana, que seria igual à moda. Todas valeriam . Para não confundir, vou chamar de Y a distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,5.

Nesse caso, para ficar claro como a distribuição é simétrica, vejam que as probabilidades associadas a valores igualmente afastados de 5 são iguais entre si:

Contudo, se p > 0,5, então tudo muda. Os valores mais elevados de X terão probabilidades maiores. Vejam:

Na linha de baixo aumentamos o expoente do fator grande (0,8 está elevado ao expoente grande), fazendo com que a probabilidade de X = 9 seja maior que a de X = 1.

Em síntese: para X, os valores maiores têm probabilidade maior que os valores menores.

Logo, já concluímos que a moda necessariamente tem que ser maior que 5.

Para que o item 36 seja verdadeiro, a moda deve ainda ser menor que 7. Para que ela seja simultaneamente maior que 5 e menor que 7, ela deve ser igual a 6. Vamos calcular a probabilidade correspondente:

Vejam que a probabilidade para X = 6 é bem menor que a de X = 8. Logo, 6 não pode ser a moda. Logo, a moda não pode ser menor que 7. Item errado.