Manipulação de somatório

No meu curso de estatística trabalhamos algumas igualdades envolvendo somatório. São elas:

Daí o Rodolfo, aluno do meu curso de estatística, pediu que eu apresentasse uma demonstração desses resultados.

Bem, uma demonstração formal, ficarei devendo. Mas dá para entender de onde vêm essas igualdades.

Vejamos, por exemplo, a segunda igualdade.

Vamos trabalhar com:

Primeiro fazemos o quadrado da diferença:

Agora separamos o somatório da soma em soma de somatórios:

Mas a média aritmética é uma constante. Podemos retirá-la do somatório:

No último termo, temos o somatório de uma constante. Estamos somando:

“n” vezes. Logo, o resultado será:

Lembrando a definição de média aritmética:

O que resulta em:

Podemos substituir isso na nossa expressão. Tínhamos parado no seguinte ponto:

Agora substituímos o valor de :

Que foi uma das igualdades envolvendo somatório que apresentamos em aula:

Fizemos bem devagar, para ficar claro cada passo. Mas dá para fazer bem mais rápido.

Vejamos agora com a variável Y, como fica:

Se vocês repararem bem, esta é exatamente a mesma igualdade utilizada na minha aula de medidas de dispersão, quando estudamos a forma alternativa de cálculo da variância. Lembrando. A fórmula de definição é:

Agora substituímos o numerador, usando a igualdade que aprendemos a calcular:

No primeiro termo, temos a média dos quadrados de X:

Que é a forma alternativa de cálculo da variância.

E para não passar batido, vamos para a última igualdade que está faltando:

Apesar de num primeiro momento parecer muito difícil fazer toda essa manipulação acima, se você tentar fazer sozinho algumas vezes, verá que é bem rápido. Então deixo ao critério de cada um. Se você preferir decorar as igualdades envolvendo somatório, decore. Se preferir deduzir rapidamente quando precisar, ok, também serve.

Só ressalto que elas são realmente importantes, pois são muito utilizadas nas aulas de regressão linear e de análise de variância.