Distribuição exponencial

Hoje respondo a uma dúvida do Rodolfo, aluno do meu curso de Estatística para o STN. Ele pediu para eu detalhar melhor uma resolução apresentada para a questão abaixo:

PARANA PREVIDÊNCIA [CESPE]

Em estudos previdenciários, é importante avaliar o tempo de sobrevida dos beneficiários, o qual, em geral, depende do perfil do beneficiário. Esse perfil é composto por um conjunto de características como idade, espécie de benefício (aposentadoria por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural), entre outras. Suponha que o tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil seja uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro 0,1, cuja função densidade é dada por

para t > 0 e f(t) = 0, para t < 0. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, utilizando, quando necessário, os valores da tabela acima.

1. O tempo médio de sobrevida dos beneficiários é inferior a 5 anos.

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Resolução:

Rodolfo, uma coisa que não falei em aula é o seguinte. Usei essa questão apenas para treinarmos os conceitos trabalhados em aula (que foi sobre introdução às variáveis aleatórias). Por isso na resolução dada em aula eu apresentei a origem dos resultados (esperança e variância) da variável aleatória, isso usando as fórmulas de definição.

Contudo, existem distribuições “famosas”, em que a média e a variância já são bastante conhecidas, sem necessidade de se fazer todo o cálculo. Certamente a pretensão desta questão era que o candidato já soubesse tais resultados de cabeça. Isso porque a variável definida é a famosa “distribuição exponencial”, que tem justamente a função densidade dada por:

Ela tem momentos bem conhecidos, dados por:

No caso da questão,

Então temos, de imediato, esperança igual a 10 e variância igual a 100. Isso sem precisar fazer qualquer integral.

Contudo, em aula eu nem mencionei os resultados acima, afinal, nesta aula não trabalhamos as distribuições de probabilidade mais conhecidas. A distribuição exponencial chegou a ser trabalhada em aula posterior (aula sobre distribuições). Mas, com a retificação do edital, modifiquei a aula de distribuições, e exclui o tópico.

Em todo caso, mesmo com a distribuição exponencial tendo sido eliminada do edital, a questão ainda é perfeitamente útil, afinal, o cálculo da esperança e da variância, para qualquer que seja a variável, pode ser feito a partir das fórmulas de definição. E foi exatamente isso que trabalhamos na aula de introdução às variáveis aleatórias.

Bom, chega de papo e vamos lá. Vamos fazer a partir das fórmulas de definição.

Queremos calcular o tempo médio (ou a esperança da variável T).

Da definição de esperança, temos:

Da definição de esperança, temos:

Como a função vale zero para t < 0, temos:

A dúvida do Rodolfo foi: como fazer essa integral?

Primeiro vamos modificar um pouco:

Bom, fazendo mais passo a passo, é o seguinte. A derivada do produto de duas funções é:

Logo:

Portanto:

Na integral que queremos calcular, fazendo

Ficamos com:

Que é a esperança da variável aleatória.

Rodolfo, é isso, qualquer coisa, só falar.