Covariância

No meu curso de estatística, a Ana pediu para eu mostrar de onde vem um resultado utilizado em uma das questões, que foi o seguinte:

Muito bem, vamos lá.

A definição de covariância é:

Sabendo disso, podemos calcular a covariância entre 2X e Y:

Mas, usando propriedades da esperança, temos:

Logo:

Colocando o “2” em evidência:

Dentro da esperança, temos uma constante multiplicativa. Podemos retirá-la da esperança (novamente, aplicação das propriedades da esperança):

Em vermelho temos justamente a covariância entre X e Y (vide equação I). Logo: