Covariância

No meu curso de estatística, a Ana pediu para eu mostrar de onde vem um resultado utilizado em uma das questões, que foi o seguinte:

Muito bem, vamos lá.

A definição de covariância é:

Sabendo disso, podemos calcular a covariância entre 2X e Y:

Mas, usando propriedades da esperança, temos:

Logo:

Colocando o “2” em evidência:

Dentro da esperança, temos uma constante multiplicativa. Podemos retirá-la da esperança (novamente, aplicação das propriedades da esperança):

Em vermelho temos justamente a covariância entre X e Y (vide equação I). Logo:

Estatística MPOG parte 3

Trago hoje o terceiro post da série em que resolvemos a prova de estatística do MPOG 2012.

Enunciados:

(Esaf 2012) Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas.

Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

(Esaf 2012) A probabilidade de uma variável aleatória z com distribuição normal padrão estar no intervalo entre -1,96 e 1,96 desvios padrão é igual a 95%, isto é: P{-1,96 < z < 1,96} = 95%.

Sabe-se que uma variável aleatória contínua x tem distribuição normal com média 10 e variância 4. Assim, pode-se afirmar que P{x < 6,08} é igual a:

a) P(x < 13,92)

b) P(x > 13,92)

c) P(z < 1)

d) P(z = 1)

e) P(x = 13,92)

Segue resolução:

Resolução prova MPOG 2012 - parte 2

Hoje continuamos com a resolução da prova do MPOG.

Seguem enunciados:

A variável aleatória (x, y) possui distribuição conjunta de probabilidade dada por:



Sabendo-se que a expectância de (x, y) é igual a zero, E(x, y) = 0, E(y) = 0,6, e que E(y2) = 9,6, então o desvio padrão de x, a variância de y e a covariância entre x e y são, respectivamente, iguais a:

a) 1; 3; 1,2
b) 2; 9; -1,2
c) 5; 9,24; 1,2
d) 2; 0,36; -1,2
e) 1; 9,24; -1,2

Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância igual a 2. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y = 2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes, então a média e a variância de y são, respectivamente, iguais a:
a) 12; 12
b) 4; 8
c) 12; 8
d) 8; 8
e) 4; 12

Seguem comentários:

ISS SP 2012 - Distribuição geométrica

Yuri, aluno do meu curso de estatística, solicitou a resolução de uma questão do ISS SP 2012, que trata da distribuição geométrica.

Ressalto que todas as questões de exatas do ISS SP 2012 estão comentadas no www.tecconcursos.com.br

Vamos lá, falemos um pouco sobre a distribuição geométrica.

Suponha que realizamos repetidas vezes um experimento de Bernoulli, até que obtenhamos o primeiro sucesso. A variável “X” indica o número de tentativas até conseguirmos o primeiro sucesso. “X” é uma variável com distribuição geométrica.

Exemplo: “X” designa o número de lançamentos de uma moeda até obtermos “cara” pela primeira vez.

Outro exemplo: “X” designa o número de lançamentos do dado até obtermos um múltiplo de 3.

No primeiro caso, a cada lançamento a chance de sucesso (“cara”) é 50%. Dizemos que

No segundo caso, a cada lançamento do dado a chance de sucesso (“múltiplo de 3”) é 1/3. Assim .

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na “k-ésima” tentativa é:

É possível então calcular a média e a variância de “X”, assim:

Finalmente, vamos á questão:

(ISS SP 2012 – FCC)

Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X = 2 | X ≤ 3) é igual a

a) 5/27

b) 4/27

c) 2/9

d) 1/3

e) 6/19

Resolução:

Temos uma distribuição geométrica. Sua média é:

Logo, temos:

Por fim:

Gabarito: E

Distribuição exponencial

Hoje respondo a uma dúvida do Leuilson, aluno do meu curso de estatística. Ele pediu para que eu resolvesse a seguinte questão do concurso da prefeitura de Americana:

(AOPC 2010) Seja X a variável aleatória que representa o tempo gasto, em minutos, em uma conversa telefônica.
Seja

a função de densidade da variável aleatória X,

Qual é a função de distribuição acumulada F(x)?

Resolução:

A função distribuição de probabilidade F(x) é a integral da função densidade. Ou seja:

Portanto:

Papiloscopista PF 2012–Questão 48

(Polícia Federal 2012 – Cespe) Com relação a estatística, julgue o item seguinte.

Suponha que as larguras dos polegares humanos sigam uma distribuição normal com média igual a 2 cm e variância V > 0. Nesse caso, se a probabilidade de se observar um polegar com mais de 2,54 cm de largura for igual a 0,025, então V será inferior a 0,35.

Comentários

Para a normal padrão (Z), sabemos que apenas 2,5% dos valores são maiores que 1,96.

Para a distribuição das larguras dos polegares (X), 2,5% dos valores são maiores que 2,54.

Z e X se relacionam do seguinte modo:



Sabemos que X = 2,54 corresponde a Z = 1,96



Para obter a variância, temos que elevar 0,2755 ao quadrado.

Ou seja, multiplicaremos o desvio padrão por 0,2755, que é um número menor que 1.

Se estamos multiplicando por um número menor que 1, o resultado será ainda menor que o valor original.

Ou seja, a variância será menor que 0,2755.

Então certamente será menor que 0,35.

Item certo

Papiloscopista PF 2012 - Questão 47

Dando continuidade aos posts anteriores:

47. (Polícia Federal 2012 - Cespe) Com relação a estatística, julgue o item seguinte.

Considere que a covariância e a correlação linear entre as variáveis X e Y sejam, respectivamente, iguais a 5 e 0,8. Suponha também que a variância de X seja igual a quatro vezes a variância de Y. Nesse caso, é correto afirmar que a variância de X é igual a 2.

Comentários:

A covariância (cov(X,Y) e a correlação linear se relacionam do seguinte modo:

Substituindo os valores dados pelo enunciado:

(equação I)

Foi dito que a variância de X é igual a quatro vezes a variância de Y.

(equação II)

Substituindo II em I:

O item está errado.