Vamos lá!
17. Gabriel é pai de Lucas, e a soma das idades dos dois é 106 anos. Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio. Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje. Hoje, a soma das idades de Caio e Lucas, em anos, vale
(A) 47.
(B) 49.
(C) 51.
(D) 53.
(E) 55.
Resolução:
O enunciado se refere ao presente e ao futuro. Vamos analisá-los separadamente.
Antes disso, é interessante quebrar o enunciado em partes:
- a soma das idades de Gabriel e Lucas é 106 anos
- Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio.
- Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje.
Sabemos que Gabriel é pai de Lucas. E Lucas é pai de Caio.
Gabriel > Lucas > Caio
Hoje Gabriel tem x anos. Foi dito que a soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos (informação 1). Então a idade de Lucas é dada por:
Futuro
No futuro, Caio terá 7 anos a menos que a idade que seu pai tem hoje (informação 3). Logo, sua idade será igual a:
Nessa mesma data, a idade de Lucas será o dobro da idade de Caio (informação 2) . Idade de Lucas no futuro:
Nessa mesma data, a informação 2 nos diz que a idade de Lucas, acima calculada, será igual à idade de Gabriel tem hoje (x):
Presente
Voltando ao presente. Sabemos que Gabriel tem 66 anos. A soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos. Assim calculamos a idade de Lucas:
Lucas tem 40 anos hoje.
Futuro
Analisando novamente o futuro, temos o seguinte. Quando Lucas tiver a idade de seu pai, ou seja, quando ele tiver 66 anos, já terão se passado 66 - 40 = 26 anos.
Nesta data, Caio terá 7 anos a menos do que seu pai tem hoje, ou seja, 40 - 7 = 33 anos.
Presente
Se em 26 anos Caio terá 33 anos, então hoje ele tem:
Somando as idades de Caio (7 anos) e Lucas (40) anos, chegamos aos 47 anos.
Gabarito: A
18. Um número é classificado como quadrado perfeito se sua raiz quadrada for um número inteiro. Beatriz e Juliana estão fazendo um jogo em que, a partir de um número inteiro e positivo que elas sorteiam, a primeira a jogar subtrai um quadrado perfeito do número sorteado. Se o resultado dessa subtração for diferente de zero, a segunda a jogar subtrai um quadrado perfeito do resultado anterior e, a partir daí, elas se alternam subtraindo quadrados perfeitos dos resultados anteriores. Vence o jogo aquela que conseguir obter resultado zero na sua vez de subtrair. No jogo, é proibido subtrair o número zero. Uma rodada é perfeita se a jogadora vencedora sempre subtrai um número que não possibilite à adversária chance de vitória. Se o número inicial de uma rodada é 50, e Juliana é a primeira a jogar, o primeiro número que ela deverá subtrair, de modo a fazer uma rodada perfeita, é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 25.
(D) 36.
(E) 49.
(A) 9.
(B) 16.
(C) 25.
(D) 36.
(E) 49.
Resolução
Vamos por eliminação, começando das alternativas mais fáceis.
Se Juliana subtrair 49 (letra E), deixará resultado 50 - 49 = 1. Beatriz então faz 1 - 1 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra E está descartada, pois Juliana está permitindo a vitória de Beatriz.
Se Juliana subtrair 25 (letra C), deixará resultado 50 - 25 = 25. Beatriz então faz 25 - 25 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra C também está descartada.
As letras C e E foram as mais fáceis, pois Beatriz ganharia em um único passo.
Vamos agora para a letra D, que é um pouco mais complicadinha.
Se Juliana subtrair 36 (letra D), deixará resultado 50 - 36 = 14. Aqui Beatriz ganha, a partir da seguinte estratégia:
- Beatriz subtrai 9, deixando 14 - 9 = 5
- Juliana só poderá subtrair 1 ou 4.
- se subtrair 1, deixa resultado 4 para Beatriz e Beatriz vence. Basta que subtraia 4 - 4 = 0
- se subtrair 4, deixa resultado 1 para Beatriz e Beatriz vence também. Basta fazer 1 - 1 = 0.
A letra "D" nos mostrou um resultado bastante interessante: quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vencerá o jogo.
Aproveitando esse conhecimento, analisamos a letra A. Se Juliana subtrai 9, deixa resultado 50 - 9 = 41. Beatriz então subtrai 36, deixando 41 - 36 = 5. Opa!!! Resultado 5. Beatriz já garante a vitória, pois acabamos de ver que quem deixa o resultado 5 ganha. A letra "A" também está descartada.
Assim, já descartamos as letras A, C, D e E, pois em todas elas Beatriz consegue vencer. Por exclusão, marcamos letra B.
Gabarito: B
Na hora da prova o ideal é marcar a letra B por exclusão. Pois ela é mais demorada de ser analisada.
Em todo caso, como não estamos na prova, dá para gastar um tempinho analisando a tal da letra B.
Primeira coisa: a letra B pode ser analisada de forma similar à letra D, mas vai dar mais trabalho, pois teremos que ir abrindo num número maior de casos.
Vamos então ver outra estratégia possível para analisar a letra B, ok? Daí você fica com a que melhor se identificar.
Antes de efetivamente entrar na letra B, vamos relembrar um pouco do que aprendemos na letra D.
Na letra D vimos que quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vence.
Portanto, quem deixar resultado 5 + 1 = 6, necessariamente perde. Oras, se eu deixo 6, você vai e faz 6 - 1 = 5. Você deixou resultado 5 e com isso venceu.
Pelo mesmo raciocínio concluímos que necessariamente perde quem deixar:
- 5+1=6
- 5+4=9
- 5+9=14
- 5+16=21
- 5+25=30
- 5+36=41
- Números que farão vencer: 5
- Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41
- Números que farão vencer: 2, 5
- Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41
Atualizando a listagem:
- Números que farão vencer: 2, 5
- Números que farão perder: 3, 6, 9, 11, 14, 18, 21, 27, 30, 38, 41
Atualizando:
- Números que farão vencer: 2, 5
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 25, 27, 30, 36, 38, 41
Se eu deixo o 7, você pode fazer:
- 7-1 = 6. Você perde (pois o 6 está na lista dos que fazem perder)
- 7 - 4 = 3. Você perde (pois o 3 está na lista dos que fazem perder)
- Números que farão vencer: 2, 5, 7
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 36, 38, 41, 43
- 10 - 1 = 9 (você perde)
- 10 - 4 = 6 (você perde)
- 10 - 9 = 1 (você perde)
- Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 35, 36, 38, 41, 43, 46
- Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 48
- Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 46, 48
Se o 17 faz vencer, então fazem perder: 18, 21, 26, 33, 42
- Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15, 17
- Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 46, 48.
Bom, vamos parar com essa análise e vamos agora direto para o que interessa.
Na letra B, Juliana faz 50 - 16 = 34.
O 34 não está na lista dos que fazem perder. Já podemos suspeitar que ele faz vencer, ou seja, que ele garante a vitória de Juliana.
Vamos confirmar?
Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 - 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:
- Subtrai 25, deixando resultado 9. Esse resultado a faz perder (veja que o 9 está na lista dos que fazem perder)
- Subtrai 16, deixando resultado 18. Este resultado também a faz perder.
- Subtrai 9, deixando resultado 25. Este resultado também a faz perder.
- Subtrai 4, deixando resultado 30. Este resultado também a faz perder
- Subtrai 1, deixando resultado 33. Este resultado também a faz perder
Gabarito: B
Só por curiosidade, a análise da letra B de forma similar ao que fizemos para as demais alternativas seria assim.
Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 - 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:
- Subtrai 25, deixando resultado 9. Juliana então faz 9 - 9 = 0 e ganha.
- Subtrai 16, deixando resultado 18. Juliana faz 18 - 16 = 2. Beatriz terá que fazer 2 - 1 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
- Subtrai 9, deixando resultado 25. Juliana faz 25 - 25 = 0 e ganha.
- Subtrai 4, deixando resultado 30. Juliana faz 30 - 25 = 5. E já vimos na letra D que quem deixa resultado 5 ganha o jogo.
- Subtrai 1, deixando resultado 33. Juliana faz 33 - 16= 17. Beatriz tem as seguintes opções:
- fazer 17 - 16 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
- fazer 17 - 9 = 8. Juliana faz 8 - 1 = 7. Beatriz então pode:
- fazer 7 - 4 = 3. Juliana faz 3 - 1 = 2. Beatriz faz 2 - 1 =1. Juliana faz 1 -1 = 0 e vence
- fazer 7 - 1 = 6. Juliana faz 6 - 1 = 5 e vence.
- fazer 17 - 4 = 13. Juliana faz 13 - 1 = 12. Beatriz então pode fazer:
- 12 - 1 = 11. Juliana faz 11 - 4 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
- 12 - 4 = 8. Juliana faz 8 - 1 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
- 12 - 9 = 3. Juliana faz 3 - 1 = 2. Beatriz faz 2 - 1 = 1. Juliana faz 1 - 1 = 0 e vence
- fazer 17 - 1 = 16. Juliana faz 16 - 16 = 0 e vence
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