Basicamente, ela dá a tabela verdade de uma proposição composta e pede que a gente identifique a sentença que originou tal proposição.
Vamos lá!
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quarta-feira, 7 de janeiro de 2015
Questão de Lógica do ICMS SP 2006
Hoje trabalho uma questão que deu certa polêmica no fórum do TecConcursos. Foi elaborada pela FCC para o concurso do ICMS SP 2006.
Basicamente, ela dá a tabela verdade de uma proposição composta e pede que a gente identifique a sentença que originou tal proposição.
Vamos lá!
Segue link da questão no site do TEC: https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/1573
Basicamente, ela dá a tabela verdade de uma proposição composta e pede que a gente identifique a sentença que originou tal proposição.
Vamos lá!
sábado, 3 de janeiro de 2015
Petrobras 2014 - parte 4
A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.
Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é
a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728
Casos possíveis
Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:
Casos favoráveis
São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.
Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:
Probabilidade
Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:
Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é
a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728
Casos possíveis
Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:
$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$
Este é o número de casos possíveis.
Casos favoráveis
São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.
Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:
- escolhemos exatamente dois dos signos
- atribuímos estes signos às 4 pessoas
$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$
Há 66 modos de escolhermos os dois signos.
Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.
Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.
Podemos colocar:
- uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
- ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
- ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso
$ 4+6+4=14 $
Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:
$ 66 \times 14$
Probabilidade
Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:
$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$
Dividindo numerador e denominador por 12:
$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$
$ P= {77 \over 1728}$
Gabarito:A
quinta-feira, 1 de janeiro de 2015
Petrobras 2014 - parte 3
Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás, hoje veremos a questão 24:
No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?
(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572
Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.
O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).
Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.
Número total de possibilidades:
No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?
(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572
Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.
O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).
Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.
Número total de possibilidades:
$ 7 \times 8 \times 8 = 448$
Vamos agora calcular o número de possibilidades em que não há algarismos repetidos.:- para a escolha de X temos 7 opções
- para a escolha de Y temos 8 opções. Mas um dos algarismos já foi usado para X e não queremos repeti-lo. Então sobram 7 opções.
- para a escolha de Z temos inicialmente 8 algarismos. Mas dois deles já foram usados para X e Y e não queremos repeti-los. Sobram 6 opções.
$7 \times 7 \times 6 =294$
Assim, dos 448 números existentes, 294 não nos interessam, pois não apresentam ao menos um algarismo repetido.
$ 448-294=154$
Fazendo a diferença, descobrimos que 154 números atendem ao enunciado.
Gabarito: A
Petrobras 2014 - parte 2
Dando continuidade às questões da Petrobrás, hoje resolvemos a questão 25:
O produto de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1 e termos estritamente positivos é igual a oito vezes a soma desses termos. O maior dos três termos considerados, portanto, vale
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8
Primeira solução:
Você pode simplesmente testar as alternativas. Como a PA é de razão 1, então temos algo do tipo:
Como as alternativas estão nos dando candidatos ao maior termo, elas nos fornecem possíveis valores de x+1.
Com isso, as PAs fornecidas em cada alternativa são:
Na alternativa "A" a PA é 3, 2, 1. A soma vale 6 e o produto vale 6.
Na alternativa "B" a PA é 4, 3, 2. A soma vale 9 e o produto vale 24
Na alternativa "C" a PA é 5, 4, 3. A soma vale 12 e o produto vale 60
Na alternativa "D" a PA é 6, 5, 4. A soma vale 15 e o produto vale 120. Pronto, aqui já deu certo. O produto foi oito vezes maior que a soma (120 = 8 x 15). Gabarito: D
Segunda solução.
A soma dos três termos fica:
O produto dos três termos fica:
A segunda quantia é oito vezes a primeira:
O produto de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1 e termos estritamente positivos é igual a oito vezes a soma desses termos. O maior dos três termos considerados, portanto, vale
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8
Primeira solução:
Você pode simplesmente testar as alternativas. Como a PA é de razão 1, então temos algo do tipo:
$ (x-1), \, (x), \, (x+1) $
Como as alternativas estão nos dando candidatos ao maior termo, elas nos fornecem possíveis valores de x+1.
Com isso, as PAs fornecidas em cada alternativa são:
Na alternativa "A" a PA é 3, 2, 1. A soma vale 6 e o produto vale 6.
Na alternativa "B" a PA é 4, 3, 2. A soma vale 9 e o produto vale 24
Na alternativa "C" a PA é 5, 4, 3. A soma vale 12 e o produto vale 60
Na alternativa "D" a PA é 6, 5, 4. A soma vale 15 e o produto vale 120. Pronto, aqui já deu certo. O produto foi oito vezes maior que a soma (120 = 8 x 15). Gabarito: D
Segunda solução.
A soma dos três termos fica:
$ (x-1)+x+(x+1) = 3x $
O produto dos três termos fica:
$ (x-1) \times x \times (x+1) $
A segunda quantia é oito vezes a primeira:
$ (x-1) \times x \times (x+1)=8 \times 3x $
Simplificando os dois lados da igualdade por "x":
$ (x-1) \times (x+1) = 24 $
$ x^2-1=24 $
$ x^2=25 $
$x = 5 $
O termo central da PA vale 5. Logo, o maior termo vale 5 + 1 = 6. Novamente marcamos gabarito letra D.
quarta-feira, 24 de dezembro de 2014
Petrbrás 2014–parte 1
Olá pessoal!
Hoje inicio a resolução de uma série de questões da prova da Petrobrás, solicitada pelo César Goes. O concurso foi organizado pela Cesgranrio.
A série inicia com a questão 22 da prova:
Seja f: [a,b]→R, onde a e b são números reais positivos com a < b, e g: [A,B]→R, tal que g(x) = a + b . f(x – a). Se A é o menor número real para o qual a função g pode ser definida, e B é o maior número real para que g esteja definida, então o intervalo [A,B] será igual a
(A) [0, b -a]
(B) [a, b]
(C) [a, a + b]
(D) [2a, b -a]
(E) [2a, a + b]
Resolução:
A função g é dada por:
Assim, fazendo x = k:
Na verdade a gente não precisaria usar “k”, daria para usar “x” mesmo. Só estou usando “k” porque acho que confunde menos.
O valor da função “g” neste ponto “k” depende de:
- · “a”, que é uma constante real positiva
- · “b”, que é outra constante real positiva
- ·
Deste modo, g(k) só vai existir se também existir f(k-a).
Já sabemos que a função “f” está definida no intervalo de “a” até “b”.
Assim, f(k-a) só existe se k-a estiver no intervalo de “a” até “b”:
Ou seja, os valores extremos para os quais a função “g” está definida são 2a e b+a. Isso está expresso na alternativa E, gabarito da questão.
Agora vamos para a questão 23 da mesma prova:
Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões
Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era dada por
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor?
(A) log 8
(B) log 5
(C) log 3
(D) log 2
(E) log 0,125
Resolução:
Agora vamos calcular a seguinte quantia:
Portanto, a resposta da questão será:
Multiplicando numerador e denominador pelo log de 2:
Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1.
Gabarito: B
Prova do INPI 2014 - parte 2
Atendendo a novo pedido, hoje resolvo as questões 100 e 104 da prova do INPI 2014, realizada pelo Cespe.
100) Proposição Q:
Q: O tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo, já que o desenvolvimento de um software não exige muito investimento ou não leva muito tempo.
A proposição Q é equivalente a “Se o desenvolvimento de um software não exige muito investimento ou não leva muito tempo, então o tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo”
Resolução:
Quando temos "A, pois B", estamos indicando que a ocorrência de B acarreta na de A. Ou seja, isso é o mesmo que:
Só com isso já dava para responder a questão. Em todo caso, vamos à representação simbólica.
Dando nomes às proposições simples:
L: o tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo.
I: o desenvolvimento de um software exige muito investimento.
T: o desenvolvimento de um software leva muito tempo.
Assim, a proposição Q fica:
Se [(o desenvolvimento de um software não exige muito investimento) ou (não leva muito tempo) ] , então [O tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo]
Introduzindo as proposições:
As proposições A, B e C listadas a seguir constituem as premissas de um argumento:
A: Se a proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo, então o direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência.
B: Se o direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito não só não contribui para o progresso da ciência como também prejudica o mercado.
C: O direito de requerer uma patente de invenção, ou contribui para o progresso da ciência, ou prejudica o mercado, mas não ambos.
Tendo como referência essas premissas, em cada item de 101 a 105 é apresentada uma conclusão para o argumento. Julgue se a conclusão faz que a argumentação seja uma argumentação válida.
104) Se o direito de requerer uma patente de invenção for utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência.
Resolução: como a questão é bem direta, dá para resolver sem precisar sair batizando as proposições.
O item 104 pretende ser a conclusão de nosso argumento. Ele trabalha com o caso de uma patente que é utilizada apenas para prorrogar monopólio de produtos meramente maquiados. Vejam:
Se o direito de requerer uma patente de invenção for utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência.
Muito bem, vamos agora voltar às premissas para ver o que elas nos dizem nesse caso.
Quem trata do assunto é a premissa B. Ela nos diz que, neste caso, duas coisas ocorrem:
E o que afirma a nossa conclusão? Afirma justamente o contrário, que contribui sim para o progresso da ciência.
Portanto, a conclusão não decorre das premissas. O argumento é inválido. ITEM ERRADO.
Se você preferir trabalhar com a simbologia lógica, a resolução seria assim:
M: o direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado
P: o direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência
D: o direito de requerer uma patente de invenção prejudica o mercado
L: proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo.
As premissas ficam:
Tendo a premissa adicional M, analisamos a segunda premissa:
100) Proposição Q:
Q: O tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo, já que o desenvolvimento de um software não exige muito investimento ou não leva muito tempo.
A proposição Q é equivalente a “Se o desenvolvimento de um software não exige muito investimento ou não leva muito tempo, então o tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo”
Resolução:
Quando temos "A, pois B", estamos indicando que a ocorrência de B acarreta na de A. Ou seja, isso é o mesmo que:
$ B \to A $
Outras maneiras de escrever a mesma coisa:- Se B ocorre, então A ocorre
- A ocorre, pois B ocorre
- Desde que B ocorre, A ocorre
- B é condição suficiente para A
- A é condição necessária para B
- A ocorre, já que B ocorre
Só com isso já dava para responder a questão. Em todo caso, vamos à representação simbólica.
Dando nomes às proposições simples:
L: o tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo.
I: o desenvolvimento de um software exige muito investimento.
T: o desenvolvimento de um software leva muito tempo.
Assim, a proposição Q fica:
Se [(o desenvolvimento de um software não exige muito investimento) ou (não leva muito tempo) ] , então [O tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo]
Introduzindo as proposições:
Se ( não I ou não T), então (L)
O que finalmente nos leva à seguinte simbologia:
$ (\neg I \vee \neg T) \to L $
O item 100 descreveu corretamente a proposição. Item certo.As proposições A, B e C listadas a seguir constituem as premissas de um argumento:
A: Se a proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo, então o direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência.
B: Se o direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito não só não contribui para o progresso da ciência como também prejudica o mercado.
C: O direito de requerer uma patente de invenção, ou contribui para o progresso da ciência, ou prejudica o mercado, mas não ambos.
Tendo como referência essas premissas, em cada item de 101 a 105 é apresentada uma conclusão para o argumento. Julgue se a conclusão faz que a argumentação seja uma argumentação válida.
104) Se o direito de requerer uma patente de invenção for utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência.
Resolução: como a questão é bem direta, dá para resolver sem precisar sair batizando as proposições.
O item 104 pretende ser a conclusão de nosso argumento. Ele trabalha com o caso de uma patente que é utilizada apenas para prorrogar monopólio de produtos meramente maquiados. Vejam:
Se o direito de requerer uma patente de invenção for utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência.
Muito bem, vamos agora voltar às premissas para ver o que elas nos dizem nesse caso.
Quem trata do assunto é a premissa B. Ela nos diz que, neste caso, duas coisas ocorrem:
- esse direito não contribui para o progresso da ciência
- esse direito prejudica o mercado.
E o que afirma a nossa conclusão? Afirma justamente o contrário, que contribui sim para o progresso da ciência.
Portanto, a conclusão não decorre das premissas. O argumento é inválido. ITEM ERRADO.
Se você preferir trabalhar com a simbologia lógica, a resolução seria assim:
M: o direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado
P: o direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência
D: o direito de requerer uma patente de invenção prejudica o mercado
L: proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo.
As premissas ficam:
A: $ L \to P$
B: $ M \to (\neg P \wedge D) $
C: $ P \underline{\vee} D $
A conclusão é um condicional:
$ M \to P$
Quando a conclusão é um condicional, podemos usar seu antecedente como premissa adicional. Assim, ganhamos a premissa M. A conclusão se restringe ao seu consequente (P).Tendo a premissa adicional M, analisamos a segunda premissa:
$ M \to (\neg P \wedge D) $
O antecedente é verdadeiro. Para que esta premissa seja verdadeira, seu consequente também deve ser verdadeiro. Logo:
$ (\neg P \wedge D) $
Essa conjunção só é verdadeira se suas duas parcelas também forem V:
$ \neg P $: é verdadeiro
Logo, $ P $ é falso
Nossa conclusão afirma justamente o contrário, ou seja, afirma que P é verdadeiro. Logo, a conclusão não decorre das premissas.
quarta-feira, 17 de dezembro de 2014
Prova do INPI 2014
Olá pessoal!
Olhei agora a prova de Raciocínio Lógico do INPI, não vi recursos.
Atendendo a um pedido, resolvo as questões 110 a 113:
No triênio 2011-2013, 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos.
110 Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA.
111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.
112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.
113 Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil.
Resolução.
Primeiramente, vamos enumerar as informações:
A informação 6 nos diz haver 130 elementos no conjunto vermelho. Já alocamos 50 + 40 + 27 = 117. Faltam 130 - 117 = 13.
Sabemos haver 240 elementos ao todo. Já alocamos 130 + 60 + 36 = 226. Para completar 240 faltam 14.
Agora vamos aos itens:
111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.
Olhei agora a prova de Raciocínio Lógico do INPI, não vi recursos.
Atendendo a um pedido, resolvo as questões 110 a 113:
No triênio 2011-2013, 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos.
110 Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA.
111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.
112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.
113 Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil.
Resolução.
Primeiramente, vamos enumerar as informações:
- 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França;
- 27 patentearam seus produtos nos três países;
- 36 patentearam seus produtos somente no Brasil;
- 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França;
- 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil;
- e 130 patentearam seus produtos na França
110 Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA.
Na intersecção entre França e EUA temos 40 + 2 7 = 67 elementos. Item errado.
111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.
Somente na França são 13 grupos. Item errado.
112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.
112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.
Não patentearam nos EUA: 36 +50 + 13 = 99. Item certo.
113 Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil.
Patentearam no Brasil: 36 + 60 + 27 + 50 = 173. Item certo
quarta-feira, 3 de dezembro de 2014
Prova do INPI 2012–parte 4
Pessoal, mais uma vez resolução “a jato”, porque estou com tempo curtíssimo e a prova já é nesse final de semana.
Fechando os comentários:
Um órgão público pretende organizar um programa de desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, publicou, por engano, um anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de “os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” (anúncio 2).
Considere que X = o conjunto de todos os servidores do órgão; A = o conjunto dos servidores do orgão que têm mais de 30 anos de idade; B = o conjunto dos servidores do orgão que têm menos de 50 anos de idade e C = o conjunto dos servidores do orgão com mais de cinco anos de experiência no serviço público. Sabendo que X , A , B , e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 elementos, julgue os itens seguintes.
65 O conjunto dos servidores que satisfazem ao requisito do anúncio 1 é corretamente representado por A ∩ B ∩ C .
Resolução:
O anúncio 1 se direciona a servidores que têm, ao mesmo tempo:
· Mais de 30 anos (conjunto A)
· Menos de 50 anos (conjunto B)
· Mais de 5 anos de serviço (conjunto C)
Como precisamos satisfazer a todas essas condições ao mesmo tempo, temos então a intersecção entre os três conjuntos.
ITEM CERTO.
66 O conjunto de servidores que satisfazem os requisitos de apenas um anúncio é corretamente representado por
A U B U C – A ∩ B ∩ C .
Resolução:
Já vimos que o conjunto solução para o primeiro anúncio é dado por:
Em relação ao segundo anúncio, o conjunto solução fica:
Notem que o segundo conjunto solução é mais abrangente que o primeiro, pois abarca todos os que estão no primeiro anúncio e, além disso, pega todo mundo que tem mais de 5 anos de serviço mas não está na faixa etária de 30 aos 50 anos.
Logo, se uma pessoa satisfaz ao anúncio 1, necessariamente satisfaz ao 2 também.
Deste modo, a única maneira de uma pessoa satisfazer a apenas um dos anúncios é se ela satisfizer apenas ao segundo. Em outras palavras, ela deve pertencer ao segundo conjunto solução, mas não pertencer ao primeiro. Basta fazer a diferença entre os dois conjuntos:
O item errou, pois, em vez de fazer intersecção entre A e B (vide em vermelho acima), fez a união.
ITEM ERRADO
67 X = A U B .
Resolução.
Perfeito!
Qualquer número real que você pensar atenderá a pelo menos um dos requisitos. Ou será maior que 30. Ou será menor que 50. Não tem como fugir disso.
Exemplos:
35: atende aos dois conjuntos (é ao mesmo tempo maior que 30 e menor que 50)
29: atende apenas ao conjunto B (menores de 50)
51: atende apenas ao conjunto A (maiores de 30).
Assim, de fato, fazendo a união entre A e B, cobrimos todo o conjunto universo X.
ITEM CERTO.
68 As informações do enunciado permitem inferir que, no máximo, 300 servidores não poderiam satisfazer aos requisitos de nenhum anúncio.
Resolução.
Já vimos que o anúncio 1 é o mais restritivo. Já o anúncio 2 abarca todas as pessoas que atenderiam ao 1, e mais algumas pessoas.
Assim, a única forma de uma pessoa não atender a nenhum anúncio é se ela não atender sequer ao anúncio 2. Ou seja, ela não tem entre 30 e 50 anos, e também não tem mais de 5 anos de experiência.
Resultado: vamos focar nossa análise exclusivamente no atendimento ao anúncio 2.
Sabemos que:
Aplicando a fórmula do número de elementos da união:
Resultado:
Bom, as 500 pessoas da intersecção atendem sim ao anúncio 2, pois têm entre 30 e 50 anos.
Resta agora analisar as 700 pessoas que têm mais de 5 anos de experiência, e que também atendem ao anúncio 2.
Como queremos maximizar o número de pessoas que não atendem ao anúncio 2, temos que, minimizar o número de pessoas que atendem sim ao anúncio 2.
Isso será conseguido se as pessoas que têm mais de 5 anos de experiência também tiverem entre 30 e 50 anos. Nessa hipótese, temos:
Veja então que, por enquanto, 300 + 400 = 700 pessoas não atendem ao anúncio 2.
No entanto, resta ainda alocar mais 200 pessoas que têm mais de 5 anos de experiência. Estas pessoas estão incluídas nas 700 que listamos acima e atendem sim ao anúncio 2. Logo, o número máximo de pessoas que não atendem ao anúncio 2 fica:
Assim, o número máximo de pessoas que não atende aos dois anúncios é igual a 500.
O diagrama abaixo ilustra uma situação em que isso se verifica:
Eu marcaria item “errado”, conforme o contra-exemplo acima.
No gabarito definitivo o item foi dado como CERTO.
69 Selecionando-se ao acaso um servidor no órgão, a probabilidade de ele ter mais de 30 anos é superior a 75%.
São 800 servidores com mais de 30 anos, num universo de 1.200. A probabilidade fica:
ITEM ERRADO
70 Sejam p( x ) e q( x ) sentenças abertas com universo X dadas respectivamente por “o servidor x tem entre 30 e 50 anos de idade” e “o servidor x possui mais de cinco anos de experiência no serviço público”. Então, se C é subconjunto de A ∩ B , então o conjunto verdade associado à sentença aberta p( x )→q( x ) coincide com o conjunto universo X .
Foi dito que C é subconjunto de A intersecção com B. Então a representação fica assim:
O problema é que já vimos que C tem 700 elementos e que a intersecção entre A e B tem 500 elementos.
Então é impossível que C esteja contido em A intersecção com B.
Por isso, ao meu ver, caberia a anulação da questão.
A única forma de tentar justificar o gabarito da banca seria a seguinte. Temos um condicional:
Se C é subconjunto de A ∩ B , então o conjunto verdade associado à sentença aberta p( x )→q( x ) coincide com o conjunto universo X .
O antecedente, sublinhado acima, é falso. Sempre que o antecedente é falso, o condicional é verdadeiro. Logo, ITEM CERTO.
terça-feira, 2 de dezembro de 2014
Prova do INPI 2012–parte 3
P: Se o eleitor tem informação completa e barata sobre os custos e benefícios dos serviços públicos providos, então vota em candidatos cujo plano de governo coincide com suas preferências.
Q: Se o eleitor vota em candidatos cujo plano de governo coincide com suas preferências, então o nível de gasto público reflete a preferência do eleitor.
R: Se os governos tendem a escolher estratégias de tributação que levam o eleitor a subestimar os verdadeiros preços dos serviços públicos providos, então o eleitor é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público ou o nível de gasto público não reflete a preferência do eleitor.
Em relação às proposições acima, julgue os itens subsecutivos.
63 O argumento que tem como premissas as proposições P, Q e R e como conclusão “o eleitor vota em candidatos cujo plano de governo coincide com suas preferências” é válido.
Resolução:
Dando nomes às proposições simples:
A: O eleitor eleitor tem informação completa e barata sobre os custos e benefícios dos serviços públicos providos. (*)
B: o eleitor vota em candidatos cujo plano de governo coincide com suas preferências.
C: o nível de gasto público reflete a preferência do eleitor.
D: os governos governos tendem a escolher estratégias de tributação que levam o eleitor a subestimar os verdadeiros preços dos serviços públicos providos
E: o eleitor é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público
O argumento tem as seguintes premissas:
Conclusão:
Vejamos se é possível termos premissas V com conclusão F.
Assumindo conclusão F, temos:
B: falso
Com isso, o consequente da primeira premissa é falso:
Para que esta premissa seja V, seu antecedente deve ser F:
A: falso
Além disso, o fato de B ser falso já garante segunda premissa verdadeira, pois teremos um condicional com antecedente F.
Finalmente, basta que D seja falso para garantirmos a terceira premissa verdadeira, pois teremos novo condicional com antecedente F.
Assim, na situação acima retratada, temos premissas V e conclusão F. Logo, argumento inválido.
ITEM ERRADO.
(*) eu não considero isso uma proposição simples, mas o Cespe considera.
64 A negação da proposição “o eleitor é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público ou o nível de gasto público não reflete a preferência do eleitor” é logicamente equivalente a “o eleitor não é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público e o nível de gasto público reflete a preferência do eleitor.”
Resolução:
Perfeito, aplicação direta da Lei de Morgan.
ITEM CERTO.
Prova do INPI 2012–Parte 2
Oi pessoal!
Eu havia esquecido que o concurso do INPI era esse final de semana agora. Vou agilizar os comentários da última prova, mas terá que ser um esquema de “comentário a jato”, porque essa semana estou de mudança, então estou com pouquíssimo tempo disponível.
Vamos lá! Parte 2 da prova.
Considerando a proposição P: Se cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo, quando você toma uma decisão, o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores, julgue os próximos itens a respeito de proposições logicamente equivalente.
57 A proposição P é logicamente equivalente a: Se cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão, então o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores.
Resolução:
A: cada um busca o melhor para si
B: você toma uma decisão
C: o resultado da escolha depende da reação dos outros jogadores
A proposição P fica:
O exercício nos disse que isso é equivalente a:
De fato, as duas proposições são equivalentes. Se você montar as duas tabelas verdade, verá que são iguais.
Outra opção é usar equivalências lógicas:
ITEM CERTO
58 A negação da proposição “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão” é logicamente equivalente a “cada um busca o pior para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão”.
Resolução
Aplicação direta da lei de Morgan. Temos que negar cada parcela e trocar o conectivo por “ou”.
A banca errou ao negar a primeira parcela. A negação de “cada um busca o melhor para si” seria “existe alguém que não busca o melhor para si”.
Em vez disso a banca escreveu “cada um busca o pior para si”.
ITEM ERRADO.
59 A proposição P é logicamente equivalente a “ninguém busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão e o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores”.
Resolução:
A proposição original é:
No item 59, tentamos substituir esse condicional por uma disjunção. Nesse ponto, a equivalência lógica nos manda negar a primeira parcela (antecedente) e manter a segunda (consequente):
Ou seja, deveríamos ter a negação de “A”, que é o antecedente.
Lembrando que A assume a forma de uma universal afirmativa. Algo como “Todo alfa é beta”. Isto porque afirma-se que todo elemento busca o melhor para si.
Para negar isso, temos que usar a existencial negativa: existe algum alfa que não é beta. Ou ainda, existe alguém que não busca o melhor para si.
A questão, em vez disso, partiu para a universal negativa: nenhum alfa é beta. Em outras palavras: ninguém busca o melhor para si.
Só com isso já marcamos item ERRADO.
60 A proposição P é logicamente equivalente a “se sua escolha não depende da reação dos outros jogadores, então cada um busca o pior para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão”.
Resolução:
A questão tentou trabalhar a equivalência entre condicionais (
De novo, errou ao tentar dizer que a negação de “buscar o melhor para si” é “buscar o pior para si”. Só com essa análise já marcamos ITEM ERRADO.
61 A negação da proposição P é logicamente equivalente a “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão ou o resultado de sua escolha não depende da reação dos outros jogadores”.
Proposição original:
Que é equivalente a:
Agora fazemos a negação disso, usando a lei de Morgan:
O item 61 errou ao usar a disjunção no lugar da conjunção, vejam:
“cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisãoou e o resultado de sua escolha não depende da reação dos outros jogadores”.
62 Se é falsa a proposição “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo”, então é verdadeira a proposição P independentemente do valor lógico de suas demais proposições simples constituintes.
Resolução:
Perfeito! Lembrem-se de que a proposição A é nosso antecedente. Se o antecedente é falso, a proposição composta é verdadeira, independente do valor lógico do consequente.
ITEM CERTO
Eu havia esquecido que o concurso do INPI era esse final de semana agora. Vou agilizar os comentários da última prova, mas terá que ser um esquema de “comentário a jato”, porque essa semana estou de mudança, então estou com pouquíssimo tempo disponível.
Vamos lá! Parte 2 da prova.
Considerando a proposição P: Se cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo, quando você toma uma decisão, o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores, julgue os próximos itens a respeito de proposições logicamente equivalente.
57 A proposição P é logicamente equivalente a: Se cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão, então o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores.
Resolução:
A: cada um busca o melhor para si
B: você toma uma decisão
C: o resultado da escolha depende da reação dos outros jogadores
A proposição P fica:
O exercício nos disse que isso é equivalente a:
De fato, as duas proposições são equivalentes. Se você montar as duas tabelas verdade, verá que são iguais.
Outra opção é usar equivalências lógicas:
ITEM CERTO
58 A negação da proposição “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão” é logicamente equivalente a “cada um busca o pior para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão”.
Resolução
Aplicação direta da lei de Morgan. Temos que negar cada parcela e trocar o conectivo por “ou”.
A banca errou ao negar a primeira parcela. A negação de “cada um busca o melhor para si” seria “existe alguém que não busca o melhor para si”.
Em vez disso a banca escreveu “cada um busca o pior para si”.
ITEM ERRADO.
59 A proposição P é logicamente equivalente a “ninguém busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão e o resultado de sua escolha depende da reação dos outros jogadores”.
Resolução:
A proposição original é:
![clip_image002[1]](http://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2014/12/clip_image0021.png "clip_image002[1]"){kind=small}
No item 59, tentamos substituir esse condicional por uma disjunção. Nesse ponto, a equivalência lógica nos manda negar a primeira parcela (antecedente) e manter a segunda (consequente):
Ou seja, deveríamos ter a negação de “A”, que é o antecedente.
Lembrando que A assume a forma de uma universal afirmativa. Algo como “Todo alfa é beta”. Isto porque afirma-se que todo elemento busca o melhor para si.
Para negar isso, temos que usar a existencial negativa: existe algum alfa que não é beta. Ou ainda, existe alguém que não busca o melhor para si.
A questão, em vez disso, partiu para a universal negativa: nenhum alfa é beta. Em outras palavras: ninguém busca o melhor para si.
Só com isso já marcamos item ERRADO.
60 A proposição P é logicamente equivalente a “se sua escolha não depende da reação dos outros jogadores, então cada um busca o pior para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo ou você não toma uma decisão”.
Resolução:
A questão tentou trabalhar a equivalência entre condicionais (
De novo, errou ao tentar dizer que a negação de “buscar o melhor para si” é “buscar o pior para si”. Só com essa análise já marcamos ITEM ERRADO.
61 A negação da proposição P é logicamente equivalente a “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão ou o resultado de sua escolha não depende da reação dos outros jogadores”.
Proposição original:
![clip_image002[2]](http://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2014/12/clip_image0022.png "clip_image002[2]"){kind=small}
Que é equivalente a:
![clip_image008[1]](http://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2014/12/clip_image0081.png "clip_image008[1]"){kind=small}
Agora fazemos a negação disso, usando a lei de Morgan:
O item 61 errou ao usar a disjunção no lugar da conjunção, vejam:
“cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo e você toma uma decisão
62 Se é falsa a proposição “cada um busca o melhor para si em uma complexa relação de interdependência de estratégias similar a um jogo”, então é verdadeira a proposição P independentemente do valor lógico de suas demais proposições simples constituintes.
Resolução:
Perfeito! Lembrem-se de que a proposição A é nosso antecedente. Se o antecedente é falso, a proposição composta é verdadeira, independente do valor lógico do consequente.
ITEM CERTO
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