FCC - Metrô

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um  investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos  os   seus  rendimentos  obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K  supera  o  montante  aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação  corresponde  a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
A 11/32
B 25/64
C 5/8
D 3/16
E 23/256

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Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo "x" de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$ 125 + {125 \over 4} = 156,25$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após "n" meses será de:

$M_J = 100 \times 1,25^n $

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente "n", conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento "K" é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após "n" meses, fica:

$M_K = 50 \times 1,5^n $

Após "n" meses o montante em K ultrapassa o montante em J. 

$M_K > M_J$

$50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$

$\left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $

$1,2^n > 2$

Testando valores, o primeiro "n" natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de "superação", corresponde a:

$M_k - M_J = 50 \times 1,5^4 - 100 \times 1,25^4$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e  que 1,25 = 5/4

$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} - {100 \times 5^4 \over 4^4}$

Colocando 50 em evidência:

$=50 \times {6^4 - 2 \times 5^4 \over 4^4 }$

$={50 \times 46 \over 256}$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$={50 \times 46 \over 256} \div 100$

$={23 \over 256}$

Resposta: E