FCC - Metrô

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um  investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos  os   seus  rendimentos  obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K  supera  o  montante  aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação  corresponde  a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
A 11/32
B 25/64
C 5/8
D 3/16
E 23/256

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Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo "x" de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$ 125 + {125 \over 4} = 156,25$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após "n" meses será de:

$M_J = 100 \times 1,25^n $

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente "n", conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento "K" é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após "n" meses, fica:

$M_K = 50 \times 1,5^n $

Após "n" meses o montante em K ultrapassa o montante em J. 

$M_K > M_J$

$50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$

$\left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $

$1,2^n > 2$

Testando valores, o primeiro "n" natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de "superação", corresponde a:

$M_k - M_J = 50 \times 1,5^4 - 100 \times 1,25^4$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e  que 1,25 = 5/4

$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} - {100 \times 5^4 \over 4^4}$

Colocando 50 em evidência:

$=50 \times {6^4 - 2 \times 5^4 \over 4^4 }$

$={50 \times 46 \over 256}$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$={50 \times 46 \over 256} \div 100$

$={23 \over 256}$

Resposta: E

FCC - Sabesp

Hoje resolvo uma questão pedida pelo José Eduardo Vieira. A questão é da FCC:

Um investidor aplicou 25% de um capital, durante 6 meses, sob o regime de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao ano. O restante deste capital ele aplicou durante 1 semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 2% ao trimestre. Se a soma dos valores dos juros destas duas aplicações foi igual a  3.384,00, então o montante correspondente à aplicação sob o regime de capitalização composta foi, em reais, igual a
  a) 65.025,00.
  b) 57.742,20.
  c) 62.424,00.
  d) 64.504,80.
  e) 56.181,60

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Resolução:

1) Aplicação no regime simples

Seja $C_t$ o capital total investido. No regime simples a pessoa aplicou 25% disso, ou seja, $0,25C_t$.

O prazo de aplicação foi de meio ano (n = 0,5) e a taxa de juros foi de 9,6% ao ano (i = 0,096).

No regime simples os juros são dados por:

$J = n \times i \times C$

$J_1 = 0,5 \times 0,096 \times 0,25C_t$

$J_1 = 0,012C_t$

2) Aplicação no regime composto

Agora o capital investido é de $0,75 C_t$, a taxa de juros é de 2% ao trimestre, e o número de períodos é igual a 2 trimestres.

No regime composto o montante é assim calculado:

$M = C \times (1+i)^n $

$M = 0,75C_t \times (1,02)^2$

$M = 0,7803 C_t$

Os juros são iguais à diferença entre montante e capital:

$J_2 = 0,7803 C_t - 0,75C_t = 0,0303 C_t$

3) Juro total

A soma dos juros é igual a 3.384:

$3.384 = 0,12C_t + 0,0303 C_t$

$C_t = {3.384 \over 0,012+0,0303}=80.000

Já vimos que o montante no regime composto é de $0,7803 C_t$. Logo, valerá:

$0,7803 \times 80.000=62.424$

Resposta: C

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Matemática financeira–Codemig

Olá pessoal, recebi um e-mail do Thiago Leandro, solicitando ajuda com um recurso para a prova da CODEMIG.

Segue enunciado:

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Durante dois anos os R$ 3.400,00 (três mil e quatrocentos reais) que estavam depositados na minha poupança renderam 8% de juros ao mês. Quanto recebi de juros nesses dois anos?

A) R$ 9.928,00.

B) R$ 6.528,00.

C) R$ 3.128,00.

D) R$ 3.264,00.

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A banca, no gabarito preliminar, deu como resposta a letra B. Para tanto, considerou o cálculo dos juros pelo regime simples:

Onde:

• n é o número de meses (dois anos correspondem a 24 meses)


• “i” é a taxa de juros mensal (0,08, dada na questão)


• C é o capital (R$ 3.400,00)

Substituindo esses valores na fórmula, tem-se:

Já o Thiago queria a anulação da questão, porque o correto seria utilizar a capitalização composta.

O Thiago está coberto de razão. Na falta de indicação expressa da questão sobre a utilização do regime de juros simples, só podemos nos remeter às situações reais do dia a dia. E, no mundo real, não há a menor dúvida de que a poupança é remunerada pela capitalização mensal dos recursos (portanto, juros compostos).

Este é, inclusive, o posicionamento das bancas mais tradicionais do país, como Cespe e Esaf. Claro que o fato de uma banca tradicional ter determinado posicionamento não faz dele mais ou menos correto. Este é apenas um parêntese para tranquilizar quem se prepara para algum certame organizado por tais bancas.

Voltando à nossa questão, lembro que o art. 5º da MP 2170-36/2001 traz:

Art. 5o Nas operações realizadas pelas instituições integrantes do Sistema Financeiro Nacional, é admissível a capitalização de juros com periodicidade inferior a um ano.

E, por conta desta “brecha”, as instituições financeiras evidentemente cobram juros compostos em suas operações e, portanto, têm também que remunerar a juros compostos.

No caso específico da poupança, prevê a lei 8177/91, em seu art. 12:

Art. 12. Em cada período de rendimento, os depósitos de poupança serão remunerados:

I - como remuneração básica, por taxa correspondente à acumulação das TRD, no período transcorrido entre o dia do último crédito de rendimento, inclusive, e o dia do crédito de rendimento, exclusive;

II - como remuneração adicional, por juros de: (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

a) 0,5% (cinco décimos por cento) ao mês, enquanto a meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, for superior a 8,5% (oito inteiros e cinco décimos por cento); ou (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

b) 70% (setenta por cento) da meta da taxa Selic ao ano, definida pelo Banco Central do Brasil, mensalizada, vigente na data de início do período de rendimento, nos demais casos. (Redação dada pela Lei n º 12.703, de 2012)

§ 1° A remuneração será calculada sobre o menor saldo apresentado em cada período de rendimento.

§ 2° Para os efeitos do disposto neste artigo, considera-se período de rendimento:

I - para os depósitos de pessoas físicas e entidades sem fins lucrativos, o mês corrido, a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança;

II - para os demais depósitos, o trimestre corrido a partir da data de aniversário da conta de depósito de poupança.

§ 3° A data de aniversário da conta de depósito de poupança será o dia do mês de sua abertura, considerando-se a data de aniversário das contas abertas nos dias 29, 30 e 31 como o dia 1° do mês seguinte.

§ 4° O crédito dos rendimentos será efetuado:

I - mensalmente, na data de aniversário da conta, para os depósitos de pessoa física e de entidades sem fins lucrativos; e

II - trimestralmente, na data de aniversário no último mês do trimestre, para os demais depósitos.

O §1º acima transcrito diz que a remuneração é calculada sobre o (menor) saldo apresentado no período. Se é sobre saldo, isso significa que a taxa de remuneração incidirá sobre o valor do capital mais juros anteriores, o que implica necessariamente na capitalização de juros.

Deste modo, a resolução correta para o problema seria calcular o montante (M) segundo a fórmula de juros compostos:

Os juros (J) correspondem à diferença entre montante e capital inicial:

Na falta de alternativa correta, a questão deveria ter sido anulada.

Contudo, já observei várias vezes provas de concurso, elaboradas por bancas menos tradicionais no cenário nacional, ignorando os dispositivos da lei, exigindo que os candidatos utilizem o regime de juros simples, que nos conduz à resposta indicada em B. Por isso alertei ao Thiago que era praticamente certo que a banca organizadora do concurso não anularia a questão, apesar de o Thiago ter razão.

O Thiago entrou com o recurso e, para a minha surpresa, nem uma coisa nem outra: não anulou, nem manteve o gabarito.

Estranhamente a banca alterou a resposta para letra C, o que não pode ser obtido nem com o regime simples, nem com o regime composto. A justificativa da banca foi:

RESPOSTA: Em resposta ao recurso interposto contra questões das provas objetivas e gabaritos preliminares, a Comissão de Análise de Recurso esclarece o que se segue. Com fundamento na bibliografia de:BONJORNO, GIOVANI, GIOVANI Jr.: Matemática. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2011.GIOVANI, GIOVANI Jr.: A conquista da matemática. São Paulo Ed. FTD, 2011.IEZZI e outros: Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Saraiva, 2004.Indicam que:A) R$ 9.928,00. NÃO é a alternativa correta porque: é calculado o valor dos juros e soma ao capital inicial (R$ 6.528,00 + R$ 3.400,00) encontrando o valor do montante: R$ 9.928,00.B) R$ 6.528,00. NÃO é a alternativa correta porque não responde o que foi solicitado no enunciado da questão, pois representa a soma do capital inicial mais os juros do período.C) R$ 3.128,00. ALTERNATIVA CORRETA porque: J = C. I.TJ = 3400(0,08)(24)J = 6528,00 Subtraindo deste valor o capital inicial (R$6.528,00 – R$3.400,00 = R$ 3.128,00), encontra-se os juros dos dois anos conforme solicitado no enunciado.D) R$ 3.264,00. NÃO é a alternativa correta porque: é transformado os anos em meses, mas no cálculo ele considera apenas 1 ano (12 meses), encontrando R$ 3.264,00.Por estas razões a banca DEFERE o recurso.RESULTADO – DEFERIDO COM ALTERAÇÃO DA QUESTÃO DE B PARA C.

Não estou acompanhando este concurso, não sei se ainda cabe algum outro tipo de recurso.

Caso caiba, agora sim, é bastante pertinente que os candidatos questionem novamente a organizadora, pois houve um equívoco na resolução acima, não havendo o menor fundamento alterar o gabarito para a letra C.

Como sobredito, utilizando-se (indevidamente) o regime de juros simples, obtém-se a quantia de R$ 6.528,00 a título de juros, para os 24 meses de aplicação.

A banca resolveu subtrair desta quantia o valor do capital inicial, assim:

E disse que isso é igual aos juros, o que não faz o menor sentido.

Observem que a fórmula já fornece diretamente o valor dos juros. Não devemos, depois disso, subtrair o capital inicial.

Para checar o absurdo que seria, basta pensar que, em vez de aplicar o dinheiro por 24 meses, aplicamos por um mês só.

Os juros seriam iguais a:

Ou seja, ao final de 1 mês, temos um saldo de

Valor este composto do capital inicial (R$ 3.400,00), mais juros de R$ 272,00.

Usando o raciocínio da banca, nossos juros seriam de:

Ou seja, teríamos juros negativos. Pergunta-se: como nosso saldo na conta aumenta, se os juros foram negativos? Essa contradição deixa bem claro o erro cometido pela banca.

Para elaborarem o recurso, vocês podem abrir qualquer livro de matemática financeira (inclusive aquele citado pela banca) e copiarem a definição e a fórmula de juros simples apresentada. Ela será:

Apenas isso, sem que haja subtração do capital inicial.

Estou sem livros aqui comigo, por isso não poderei deixar já indicado para vocês o recurso completo. Mas espero ter dado um norte para a elaboração.

Convenção linear e convenção exponencial

Décimo segundo vídeo da série de matemática financeira.



Questões trabalhadas:

Questão 64 - AFRFB 2003 [ESAF]

Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.

a) 0,5%

b) 1%

c) 1,4%

d) 1,7%

e) 2,0%

Questão 65 - COFECON 2009 [UNIVERSA]

Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta.

(A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos.

(B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.

(C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização.

(D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C).

(E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples.

Questão 66 - SEFAZ PB 2006 [FCC]

Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a

(A) R$ 25.500,00

(B) R$ 24.932,05

(C)) R$ 24.805,00

(D) R$ 23.780,00

(E) R$ 22.755,00

Taxas equivalentes em juros compostos

Décimo primeiro vídeo da série de matemática financeira.

[youtube=http://youtu.be/CH7PC5VQPAY]

Enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 59 - IRB 2006 [ESAF]

Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

Questão 60 - ANTAQ 2009 [CESPE]

Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

Questão 61 - TRE AM 2010 [FCC]

A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de

(A) 9,76%

(B) 10,00%

(C) 10,20%

(D) 10,25%

(E) 10,50%

Questão 62 - TJ SE 2009 [FCC]

Uma taxa de juros nominal de 30% ao ano, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa de juros efetiva de

a) ao mês

b) ao bimestre

c) ao trimestre

d) ao semestre

e) ao ano

Questão 63 - TJ AP 2009 [FCC]

João está financiando um veículo e foi informado que a taxa anual praticada pela concessionária e de 12,0% ao ano. A taxa equivalente mensal, a juros compostos, a ser considerada no empréstimo será de (considerar até a segunda decimal):

(A) 1,24%

(B) 1,00%

(C) 0,94%

(D) 0,90%

(E) 0,84%

Taxa nominal e taxa efetiva

Segue décimo vídeo da série de matemática financiera.



Questão 52 - Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF]

O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação.

a) R$ 27.200,00

b) R$ 27.616,11

c) R$ 28.098,56

d) R$ 28.370,38

e) R$ 28.564,92

Dados: 1,06^6=1,418519

Questão 53 - CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal?

a) 12,616% ao semestre.

b) 24% ao ano.

c) 12% ao semestre.

d) 4,803% ao bimestre.

e) 5,75% ao trimestre.

Dados:

1,02^2 = 1,0404

1,02^3 = 1,061208

1,02^6=1,126162

1,02^12 = 1,268242

Questão 54 - Senado 2008 [FGV]

Um capital de R$ 4.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5.760,00. A taxa de juros nominal anual é:

a) 20%.

b) 21%.

c) 22%.

d) 40%.

e) 44%.

Questão 55 - BASA 2007 [CESPE]

Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416, é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será superior ao triplo do valor inicialmente investido.

Questão 56 - SUSEP 2010 [ESAF]

No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre.

Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.

b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.

c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.

d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.

e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

Questão 57 - STF 2008 [CESPE]

Considerando que um empréstimo de R$ 3.000,00 tenha sido contratado junto a uma financeira, para ser quitado em um ano, e que 1,51 e 1,04 sejam os valores aproximados de 1,03512 e, 1601/12 , respectivamente, julgue os itens que se seguem.

145. Se a taxa de juros nominal anual desse contrato for de 42% e se a capitalização for mensal, a juros compostos, a dívida ao final do período será superior a R$ 4.000,00.

146. Se o montante da dívida ao final do período for de R$ 4.800,00, então a taxa de juros compostos nominal anual, com capitalização mensal, será inferior a 50%.

Questão 58 - ATRFB 2012 [ESAF]

Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a

a) 6,50%.

b) 5,50%.

c) 5,25%.

d) 6,00%.

e) 6,25%.

Juros compostos

Nono vídeo da série de matemática financeira:

[youtube=http://youtu.be/yo1SfImqbws]

Seguem enunciados trabalhados no vídeo:

Questão 44 - SEFZ MG 2005 [ESAF]

A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%.

b) 5%.

c) 5,33%.

d) 6,5%.

e) 7%.

Questão 45 - CEB 2009 [UNIVERSA]

Um investidor aplicou a quantia de R$ 300.000,00 à taxa de juro composto de 7% a.m. Calcule o montante que esse capital irá gerar após 3 meses, considerando a tábua financeira: (1 + 0,07)³ = 1,225043.

(A) R$ 365.985,30.

(B) R$ 367.512,90.

(C) R$ 368.295,70.

(D) R$ 369.675,50.

(E) R$ 371.745,30.

Questão 46 - CVM 2010 [ESAF]

Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 possui uma carência de 18 meses, incidindo sobre o valor financiado, nesse prazo, uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor ao fim do prazo de carência.

a) R$ 100.000,00

b) R$ 112.000,00

c) R$ 112.683,00

d) R$ 119.615,00

e) R$ 118.000,00

Dados: 1,0118 = 1,196147

Questão 47 - DNOCS 2010 [FCC]

O montante apresentado, no final de 2 anos, pela aplicação de um capital de valor igual a R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, é igual ao montante apresentado, no final do período de aplicação, por um segundo capital de valor igual a R$ 6.050,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi de

(A) 12 meses.

(B) 16 meses.

(C) 18 meses.

(D) 20 meses.

(E) 24 meses.

Questão 48 - TJ PI 2009 [FCC]

Um capital aplicado no regime de capitalização composta, à taxa de juros de 10% ao ano, rendeu R$ 31.500,00 de juros em dois anos. O mesmo capital, aplicado pelo mesmo período e a uma taxa de juros de 15% ao ano, no regime de capitalização simples, renderia juros no valor, em R$, de

(A) 44.750,00.

(B) 45.000,00.

(C) 45.300,00.

(D) 45.600,00.

(E) 45.750,00.

Questão 49 - TRE PI 2009 [FCC]

Os capitais X e Y, de soma igual a R$ 2.100,00, foram aplicados a juros compostos, por um bimestre, sendo o primeiro à taxa de 4% ao mês e o segundo, à taxa de 5% ao mês. Se, ao final do prazo, o juro acumulado pelas duas aplicações foi de R$ 190,17, então, é verdade que

(A) X = R$ 1.300,00

(B) Y = R$ 950,00

(C) X − Y = R$ 300,00

(D) o menor dos capitais era de R$ 1.000,00

(E) o maior dos capitais era de R$ 1.300,00

Questão 50 - ATRFB 2012 [ESAF]

Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a

a) R$ 221,10.

b) R$ 220,00.

c) R$ 252,20.

d) R$ 212,20.

e) R$ 211,10.

Questão 51 - AFRFB 2012 [ESAF]

No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois anos. O total de juros auferidos por esse capital no final do período foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no final de 2 anos foi igual a R$ 2.200,00.

Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a

a) 4.800,00.

b) 5.200,00.

c) 3.200,00.

d) 5.000,00.

e) 6.000,00.