FCC - Metrô

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um  investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos  os   seus  rendimentos  obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K  supera  o  montante  aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação  corresponde  a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
A 11/32
B 25/64
C 5/8
D 3/16
E 23/256

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Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo "x" de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$ 125 + {125 \over 4} = 156,25$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após "n" meses será de:

$M_J = 100 \times 1,25^n $

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente "n", conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento "K" é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após "n" meses, fica:

$M_K = 50 \times 1,5^n $

Após "n" meses o montante em K ultrapassa o montante em J. 

$M_K > M_J$

$50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$

$\left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $

$1,2^n > 2$

Testando valores, o primeiro "n" natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de "superação", corresponde a:

$M_k - M_J = 50 \times 1,5^4 - 100 \times 1,25^4$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e  que 1,25 = 5/4

$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} - {100 \times 5^4 \over 4^4}$

Colocando 50 em evidência:

$=50 \times {6^4 - 2 \times 5^4 \over 4^4 }$

$={50 \times 46 \over 256}$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$={50 \times 46 \over 256} \div 100$

$={23 \over 256}$

Resposta: E

FCC - Sabesp

Hoje resolvo uma questão pedida pelo José Eduardo Vieira. A questão é da FCC:

Um investidor aplicou 25% de um capital, durante 6 meses, sob o regime de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao ano. O restante deste capital ele aplicou durante 1 semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 2% ao trimestre. Se a soma dos valores dos juros destas duas aplicações foi igual a  3.384,00, então o montante correspondente à aplicação sob o regime de capitalização composta foi, em reais, igual a
  a) 65.025,00.
  b) 57.742,20.
  c) 62.424,00.
  d) 64.504,80.
  e) 56.181,60

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Resolução:

1) Aplicação no regime simples

Seja $C_t$ o capital total investido. No regime simples a pessoa aplicou 25% disso, ou seja, $0,25C_t$.

O prazo de aplicação foi de meio ano (n = 0,5) e a taxa de juros foi de 9,6% ao ano (i = 0,096).

No regime simples os juros são dados por:

$J = n \times i \times C$

$J_1 = 0,5 \times 0,096 \times 0,25C_t$

$J_1 = 0,012C_t$

2) Aplicação no regime composto

Agora o capital investido é de $0,75 C_t$, a taxa de juros é de 2% ao trimestre, e o número de períodos é igual a 2 trimestres.

No regime composto o montante é assim calculado:

$M = C \times (1+i)^n $

$M = 0,75C_t \times (1,02)^2$

$M = 0,7803 C_t$

Os juros são iguais à diferença entre montante e capital:

$J_2 = 0,7803 C_t - 0,75C_t = 0,0303 C_t$

3) Juro total

A soma dos juros é igual a 3.384:

$3.384 = 0,12C_t + 0,0303 C_t$

$C_t = {3.384 \over 0,012+0,0303}=80.000

Já vimos que o montante no regime composto é de $0,7803 C_t$. Logo, valerá:

$0,7803 \times 80.000=62.424$

Resposta: C

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Questão de Lógica do ICMS SP 2006

Hoje trabalho uma questão que deu certa polêmica no fórum do TecConcursos. Foi elaborada pela FCC para o concurso do ICMS SP 2006.

Basicamente, ela dá a tabela verdade de uma proposição composta e pede que a gente identifique a sentença que originou tal proposição.

Vamos lá!

Segue link da questão no site do TEC: https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/1573

Sefaz PE

Hoje resolvo as questões da prova da Sefaz/PE. A banca ainda não disponibilizou o gabarito preliminar, então abaixo trago apenas as minhas respostas.

Como estou com pouco tempo disponível, vou direto para as resoluções, sem colocar os enunciados. Assim que a banca soltar as provas, altero esse post colocando os enunciados na íntegra, reanaliso se errei algo, e se cabe algum recurso.

Atualização: Agora que a banca disponibilizou os arquivos originais, dá para dizer que não há recursos cabíveis. Atualizei o post inserindo os enunciados. E pude resolver a questão 17, que estava parcialmente ilegível em meu arquivo escaneado.

11) No quadro abaixo tem-se o plano de amortização de uma dívida de R$ 4.800,00, pelo Sistema Francês, com taxa de 4% ao mês. Ela vai ser paga em 7 parcelas mensais consecutivas, vencendo a primeira delas ao completar um mês da data do empréstimo.



Na tabela, o saldo devedor não ficou zerado porque os cálculos foram feitos com valores aproximados, usando-se somente duas
casas decimais. Nestas condições, é verdade que W + X + Z é igual a
(A) R$ 4.042,25
(B) R$ 4.324,95
(C) R$ 4.294,85
(D) R$ 4.102,75
(E) R$ 4.435,85

Resolução:

X é obtido pegando o saldo devedor do mês anterior e subtraindo a amortização do mês atual:



Como as amortizações crescem em PG de razão 1,04, podemos calcular Z assim:



W é a diferença entre a prestação e a amortização do primeiro mês:



De modo que:



Resposta: E

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12) Um título de valor nominal R$ 1.196,00 vai ser descontado 20 dias antes do vencimento, à taxa mensal de desconto simples de 6%. O módulo da diferença entre os dois descontos possíveis, o racional e o comercial, é de
(A) R$ 0,96
(B) R$ 1,28
(C) R$ 1,84
(D) R$ 12,08
(E) R$ 18,40

Resolução

O período é de 2/3 de mês, a taxa mensal é de 6% e o valor nominal é 1.196.

Primeiro calculamos o desconto comercial:





Agora calculamos o desconto racional:



A diferença entre os dois descontos é:



Resposta: C

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13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 5.000,00, combinando devolvê-la ao fim de 4 meses, acrescida de seus juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Ao completar 3 meses da data do empréstimo, propõe ao credor liquidar a dívida por meio de dois pagamentos iguais, de P reais cada, um a vencer imediatamente e outro daí a 3 meses. Se, na nova transação, vão utilizar o critério do desconto composto racional, mantendo a taxa de 3% ao mês, o valor de P será igual ao produto de 5000 por:

(...)

Resolução

Novo fluxo de caixa:



O valor atual desse fluxo é 5.000:



Multiplicando todos os termos por 1,03^6:

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14) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial, tendo parâmetros n = 9 (n representando o número de ensaios) e p desconhecido (p representando a probabilidade de sucesso em cada ensaio). Desejando-se testar a hipótese nula H0: p = 0,5 versus a hipótese alternativa H1: p > 0,5, considerou-se rejeitar H0 se X for superior a 6. Nessas condições, o nível de significância do teste é igual a
(A) 25/256.
(B) 37/256.
(C) 5/256.
(D) 23/256.
(E) 45/256

Resolução:

Rejeitamos H0 caso obtenhamos 7, 8 ou 9 sucessos em 9 ensaios. A chance de isso ocorrer sob H0 é:







Total:







Resposta: D

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15) Suponha que o número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia seja uma variável com distribuição de Poisson com média de λ pedidos por dia. Sabe-se que o parâmetro λ satisfaz à equação P(X < λ) = 0,008, onde X é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média 15 e variância 25. Nessas condições, a probabilidade de o banco receber, em um dia qualquer, exatamente 4 pedidos de empréstimo
(A) é menor do que 16%.
(B) está compreendida entre 16% (inclusive) e 18% (exclusive).
(C) está compreendida entre 18% (inclusive) e 20% (exclusive).
(D) está compreendida entre 20% (inclusive) e 22% (exclusive).
(E) é maior do que 25%.

 

Resolução:

Sabemos que:



Logo:



Dada a simetria da normal reduzida:



Sabemos que:



Quando Z vale -2,40, X vale lambd



Chance de a distribuição de Poisson assumir o valor 4:



Resposta: C

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16) Com o objetivo de se estimar a renda média mensal, μ, em número de salários mínimos (SM) dos servidores públicos com nível de formação superior (bacharéis) de determinada população, selecionou-se uma amostra aleatória de 100 servidores bacharéis. Os resultados obtidos encontram-se na tabela de distribuição de frequências apresentada a seguir:

 

Considere:
I. Que a população de onde a amostra foi retirada é infinita e tem distribuição normal com desvio padrão igual a 1,6 SM.
II. Para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 100 rendimentos apresentados, foi calculada considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo.
Nessas condições, o intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança igual a 96%, baseado nessa amostra, é dado
por
(A) (9,072; 9,728)
(B) (9,315; 9,725)
(C) (9,180; 9,720)
(D) (9,206; 9,834)
(E) (9,192; 9,848)

Resolução:

Primeiro calculamos a média da amostra:





O intervalo de confiança fica:



O escore da normal padrão vale 2,05, pois:





Logo, o intervalo de confiança fica:



O que nos leva a:

9,192; 9,848

Resposta: E

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17) Considere os quatro primeiros elementos de uma sequência de figuras formadas pela união de carinhas felizes e tristes, como mostrado a seguir:



Sabendo que o padrão observado nos quatro primeiros elementos mantém-se para os demais elementos da sequência, é correto concluir que a figura localizada na 999a posição apresentará um total de carinhas tristes igual a
(A) 499 500
(B) 500 750
(C) 501 000
(D) 500 250
(E) 500 000

Resolução:

O número de carinhas tristes é formado pela sequência: 1, 3, 6, ...

O primeiro termo desta sequência é 1, que corresponde à soma do primeiro número natural:



O segundo termo desta sequência é 3, que corresponde à soma dos dois primeiros naturais:



O terceiro termo é 6, que corresponde à soma dos três primeiros naturais:



O quarto termo é 10, que corresponde à soma dos quatro primeiros naturais:



E assim por diante.

O 999º termo será a soma dos 999 primeiros naturais:



Temos a soma dos termos de uma PA de razão 1. Para calcular a soma, fazemos a média entre o primeiro e o último termo, e multiplicamos pelo número de elementos:



Resposta: A

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18) Um concurso público disponibilizará sete vagas para o cargo de auditor, distribuídas entre quatro cidades conforme descrito na tabela, a seguir:

• Recife: 3 vagas


• Caruaru: 2 vagas


• Petrolina: 2 vaga


• Salgueiro: 1 vaga

Depois que os sete aprovados forem definidos, o número de diferentes maneiras que eles poderão ser distribuídos entre as quatro cidades é igual a
(A) 35
(B) 56
(C) 210
(D) 420
(E) 5040

Resolução:

Suponha que os candidatos serão distribuídos por sorteio. Os 3 primeiros sorteados vão para Recife. Os dois seguintes para Caruaru. E assim por diante.

Permutando a ordem entre os 7, temos um novo caso. Logo, trata-se de permutação de 7 elementos, com repetição de 3 vezes Recife, e 2 vezes Caruaru:



Resposta: D

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19) Um novo edifício será construído para abrigar a sede de uma secretaria estadual. Um dos responsáveis pela obra planejou que, na fase de terraplenagem do terreno, serão necessários 10 caminhões basculantes, de mesma capacidade, para transportar a terra retirada do local, cada um deles fazendo 22 viagens. Entretanto, durante a execução da obra, ele só conseguiu 4 desses caminhões, além de 3 caminhões pequenos, com metade da capacidade dos basculantes. De acordo com o planejamento inicial e considerando que os 7 caminhões disponíveis façam o mesmo número de viagens, cada caminhão deverá fazer, nas novas condições, um total de
(A) 44 viagens.
(B) 40 viagens.
(C) 36 viagens.
(D) 33 viagens.
(E) 31 viagens.

Resolução:

Suponha que cada basculante transporte, por viagem, X toneladas de terra.

Assim, a quantidade de terra é:



Durante a obra, cada caminhão fará “Y” viagens. A quantidade de terra removida será:



Igualando essa quantia a 220X:





Cada caminhão fará 40 viagens.

Resposta: B

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20) . Em determinado setor de um hospital, há apenas três médicos: Lígia, Marina e Roberto. Todos os dias, inclusive domingos e feriados, um único dentre os três deve estar de plantão. Para os meses de novembro, que tem 30 dias, e dezembro, que tem 31 dias, a escala foi feita de modo que o mesmo médico nunca estivesse de plantão em dois dias consecutivos. Os totais de dias em que Lígia, Marina e Roberto darão plantão nesse período são, respectivamente, 31, 18 e 12. Com apenas essas informações, é correto concluir que, necessariamente,
(A) se Lígia estiver de plantão no dia 1 de novembro, então Marina estará no dia 31 de dezembro.
(B) não haverá 3 dias consecutivos nesse período em que o plantão será dado por 3 médicos diferentes.
(C) haverá pelo menos 5 dias consecutivos nesse período nos quais Roberto ficará sem dar plantão.
(D) Marina não poderá ficar 7 dias consecutivos sem dar plantão nesse período.
(E) se Lígia der plantão no dia 31 de dezembro, então poderá estar de folga no dia 25 do mesmo mês.

Resolução:

Como Lígia dá plantão em 31 dos 61 dias, ela está presente em mais da metade dos plantões. Como ela não pode trabalhar dois dias seguidos, a única forma de ela fazer isso é se ela trabalhar dia sim, dia não, e, além disso, iniciar trabalhando dia 1/11 e finalizar trabalhando dia 31/12

Ou seja, Lígia vai trabalhar em todos os dias ímpares deste período (1/11, 3/11, 5/11, etc)

Sabendo disso, vamos às alternativas:

a) Errada. Lígia realmente estará de plantão dia 1/11, mas Marina não estará no dia 31/12, pois tal dia também é de Lígia.

b) Errada. Seria possível, por exemplo, termos:

2/11: Marina

3/11: Lígia

4/11: Roberto

c) Correta.

Roberto só pode ter seus plantões espaçados de uma quantidade par de dias, já que Lígia dá plantão dia sim, dia não.

Se ele der plantões de 2 em 2 dias, no dia 24/11 já terminam os plantões dele, e teremos o mês de dezembro inteiro sem plantão de Roberto.

Se ele der plantão de 4 em 4 dias, no dia 18/12 já terminam os plantões dele, e teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Se ele der plantão de 6 em 6 dias, então teremos vários períodos com 5 dias consecutivos sem plantão.

Se ele tentar misturar períodos com intervalos de 4 dias sem plantão com intervalos de 2 dias sem plantão, teremos uma mistura dos dois primeiros casos, e seus plantões se encerrarão em alguma data entre 24/11 e 18/12. Novamente teremos todo o resto de dezembro sem plantão.

Ou seja, de um jeito ou de outro, sempre haverá algum caso de 5 dias consecutivos sem plantão de Roberto.

d) Errada.

Poderíamos colocar Roberto dando plantão nos dias 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24 de novembro. E Marina daria plantões nos dias pares daí para frente. Veja que ela terá ficado 26 dias sem dar plantão.

e) Incorreta. Já sabemos que Lígia vai dar sim plantão dia 31. E também dará no dia 25/12. Logo, é errado dizer que poderá estar de folga dia 25.

Questão sobre conjuntos da FCC

Hoje me deparei com uma interessante questão sobre conjuntos.

Segue enunciado:

(FCC – TRT 19ª Região)

Mapeando 21 funcionários quanto ao domínio das habilidades A, B e C, descobriu-se que nenhum deles dominava, simultaneamente, as três habilidades. Já com domínio de duas habilidades simultâneas há, pelo menos, uma pessoa em todas as possibilidades. Também há quem domine apenas uma dessas habilidades seja qual habilidade for. O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas. Sabendo-se que o total daqueles que dominam a habilidade A são 12 pessoas e que o total daqueles que dominam a habilidade B também são 12 pessoas, o maior número possível daqueles que só dominam a habilidade C é igual a

a) 3

b) 1

c) 2

d) 4

e) 5

Resolução:

Montando o diagrama:

Notem que a intersecção entre os três conjuntos vale 0, pois ninguém domina simultaneamente as três habilidades.

Vejam que ao todo são 21 pessoas. Logo:

Foi dito ainda que todas estas quantias são diferentes entre si. Observem:

O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas.

Assim:

Ou seja, todos estes números são inteiros e distintos entre si.

E, neste momento, temos que lembrar que a soma dos seis primeiros inteiros positivos é justamente 21:

Concluímos que a, b, c, d, e, f, valem, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Desejamos calcular o valor máximo para “f” (pessoas que só dominam C). Vejam que, para calcular “f”, basta tomar o total de pessoas (21) e subtrair aquelas que têm as habilidades A ou B (união entre A e B):

Para maximizar “f”, temos que maximizar a intersecção entre A e B, que vale “b”.

Lembrem-se neste momento que as possibilidades para nossas incógnitas são 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como a maior quantidade possível para determinado grupo é 6, concluímos que:

Logo:

Gabarito: A