Resolução da prova de Matemática Financeira–ICMS RJ 2014

Resolução da prova do ICMS RJ – Matemática Financeira

Uma instituição de ensino receberá R$ 10.000,00 por ano, como uma doação à perpetuidade. Considerando os juros efetivos de 12,5% ao ano, então o valor atual desta doação será igual a

(A) R$ 90.000,00 caso a doação seja antecipada.

(B) R$ 77.500,00 caso a doação seja postecipada.

(C) R$ 80.000,00 caso a doação seja antecipada.

(D) R$ 82.500,00 caso a doação seja postecipada.

(E) R$ 87.500,00 caso a doação seja antecipada.

Resolução:

Na renda perpétua “típica”, que é a postecipada, o valor atual (A) é dado por:

Onde P é a prestação e “i” é a taxa de juros. Substituindo os valores:

Vamos representar no diagrama de fluxo de caixa a situação da renda postecipada:

E os pagamentos continuam indefinidamente, todos os anos.

Na renda antecipada, além destes mesmos pagamentos acima representados, temos uma entrada, na data 0, de valor R$ 10.000,00.

Logo, na renda antecipada, o valor atual será de 80.000,00 (correspondente ao valor presente da renda postecipada), somado com a entrada de 10.000,00. O valor atual será de 90.000,00.

Gabarito: A

32 - A aplicação de um capital sob o regime de capitalização simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 15.660,00. A aplicação de um outro capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior sob o regime de capitalização simples, durante 15 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que as duas aplicações foram feitas com a mesma taxa de juros, então a soma dos respectivos juros é igual a

(A) R$ 6.660,00

(B) R$ 3.480,00

(C) R$ 4.640,00

(D) R$ 5.600,00

(E) R$ 6.040,00

Primeira solução: mais demorada

Primeira aplicação:

Segunda aplicação:

Dividindo as duas equações:

Simplificando 2 com 32.480:

Simplificando numerador e denominador (dividindo ambos por 20):

Multiplicando cruzado:

Voltando em I, calculamos o valor do capital:

O capital da segunda aplicação é o dobro disso:

A soma dos capitais é:

A soma dos montantes é:

A diferença entre os dois valores nos dá a soma dos juros:

Gabarito: C

Segunda solução: mais rápida

Primeira aplicação: capital C, durante 10 meses, gerando montante de 15.660

Segunda aplicação: capital 2C, durante 15 meses, gerando montante de 32.480

Se a segunda aplicação fosse de C reais (metade do valor original), o montante também seria reduzido pela metade. O montante seria de

Assim, se tivéssemos duas aplicações de C reais, uma por 10 meses e outra por 15 meses, os montantes seriam 15.660 e 16.240.

A diferença entre eles corresponde justamente ao juro conseguido durante o período de 5 meses, que é a diferença de prazo entre as aplicações. Assim, o juro para 5 meses corresponde a:

Com isso, acabamos de descobrir que o juro correspondente a uma aplicação de 5 meses do capital C é de R$ 580,00.

Na aplicação 1, tivemos 10 meses (10 meses é o dobro de 5 meses). Logo, o juro será de duas vezes 580:

Esse é o juro da primeira aplicação.

Na aplicação 2, tivemos 15 meses (15 meses é o triplo de 5 meses). Logo, o juro será de três vezes 580:

Lembrem-se ainda de que, na aplicação 2, o capital na verdade é 2C. Então o juro tem que ser dobrado:

O juro total fica:

Vejam como esta segunda resolução praticamente não exige contas.

33) 33. Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de desconto racional simples é

(A) R$ 3.500,00

(B) R$ 3.300,00

(C) R$ 3.350,00

(D) R$ 3.400,00

(E) R$ 3.450,00

Taxa de desconto mensal:

Bastou dividir a taxa anual por 12.

Valor atual para desconto comercial:

Valor atual para desconto racional:

A diferença entre ambos é de 517,50:

Lembrando que existe uma relação entre tais descontos. Ela é a seguinte:

Portanto:

O número de períodos é de 5 meses e a taxa de desconto é de 3% ao mês.

Gabarito: E

34. Um capital aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 semestre, apresentou, no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital fosse aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 ano, apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe-se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i ao semestre (i > 0 ). Um outro capital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de i ao semestre, apresentará no final deste prazo um montante de

(A) R$ 16.242,00

(B) R$ 16.200,00

(C) R$ 16.212,00

(D) R$ 16.224,00

(E) R$ 16.236,00

Primeira aplicação:

A diferença entre montante e capital é o juro:

Segunda aplicação:

A diferença entre montante e capital é o juro:

Lembrando que o produto de C por i é 580:

Finalmente, se aplicarmos 15.000,00 a uma taxa de 4% ao semestre, durante 2 semestres, teremos o montante de:

Gabarito: D

35. Sabe-se que um capital é aplicado, durante 2 meses e 12 dias, à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Utilizando a convenção linear, obteve-se que, no final do prazo de aplicação, o valor dos juros simples correspondente ao período de 12 dias foi igual a R$ 104,04.

Este mesmo capital, aplicado durante 2 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, apresentará no final do período um total de juros igual a

(A) R$ 877,20

(B) R$ 1.020,00

(C) R$ 959,60

(D) R$ 938,40

(E) R$ 897,60

Montante na convenção linear:

Onde “z” é a parte inteira do prazo e “q” é a parte fracionária.

Em azul temos o montante obtido ao final da parte inteira do prazo. Disto resulta que a parte em vermelho corresponde aos juros da parte fracionária do prazo, que a questão afirmou ser igual a 104,04

Simplificando 1,0404 com 104,04:

Aplicando este capital durante 2 bimestres, à taxa de juros compostos de 4% ab, temos:

E o juro fica:

Gabarito: B

36. Um investidor aplica um capital no valor de R$ 12.000,00 durante 1 ano e resgata todo o montante no final deste prazo. Ele verifica que a taxa de inflação do período de aplicação foi de 8% e a respectiva taxa de juros real da aplicação foi de 2,5%. Isto significa que o investidor resgatou um montante no valor de

(A) R$ 13.284,00

(B) R$ 12.660,00

(C) R$ 12.830,00

(D) R$ 13.000,00

(E) R$ 13.260,00

Inflação:

Taxa real:

A taxa nominal “i” é tal que:

O montante é dado por:

Gabarito: A

37. Uma dívida deverá ser quitada por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$ 9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$ 16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação, nesta segunda opção, é

(A) R$ 15.750,00

(B) R$ 18.150,00

(C) R$ 17.325,00

(D) R$ 16.500,00

(E) R$ 16.125,00

Fluxo de caixa original:

Segundo fluxo de caixa:

Os dois fluxos de caixa serão equivalentes se tiverem o mesmo valor, na mesma data:

Gabarito: B

38. Carlos obtém de um banco um empréstimo para adquirir um imóvel. O empréstimo deverá ser liquidado por meio de 60 prestações mensais e consecutivas e com a utilização do Sistema de Amortização Constante (SAC), vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Se os valores da primeira prestação e da última são iguais a R$ 4.000,00 e R$ 2.525,00, respectivamente, então o valor da 30 a prestação é igual a

(A) R$ 3.325,00

(B) R$ 3.350,00

(C) R$ 3.250,00

(D) R$ 3.275,00

(E) R$ 3.300,00

Devemos nos lembrar que as prestações, no SAC, se comportam como uma progressão aritmética decrescente. Seja “r” a razão da PA.

O primeiro termo da PA é 4.000

O 60º termo é 2.525

A fórmula do termo geral da PA é:

Agora podemos calcular o trigésimo termo:

Gabarito: D

Instruções: Para resolver às questões de números 39 e 40 considere as informações a seguir:

A tabela abaixo corresponde a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês para ser utilizada em um empréstimo no valor de R$ 100.000,00, que deverá ser quitado por meio de 48 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Considere também que deve ser utilizado o Sistema Francês de amortização com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.

39. Em 15/10/2013, imediatamente após quitar a 12 a prestação, o devedor conseguiu renegociar a dívida pagando o correspondente saldo devedor com 10% de desconto em 15/10/2013. O valor deste pagamento (P), em reais, é tal que

(A) P > 75.000

(B) P ≤ 72.000

(C) 72.000 < P ≤ 73.000

(D) 73.000 < P ≤ 74.000

(E) 74.000 < P ≤ 75.000

Resolução:

A multiplicação do fator de recuperação de capital pelo valor financiado resulta na prestação X:

Depois de já ter pago 12 prestações, restam 48 – 12 = 36.

O valor atual (A) desta série remanescente, formada por 36 pagamentos, na data 12 (1 mês antes do primeiro pagamento) é tal que:

Se pagarmos este valor com 10% de desconto, o valor pago (P) será de:

Gabarito: E

40. O valor da cota de amortização incluída no valor da 2 a prestação é igual a

(A) R$ 1.974,80

(B) R$ 1.260,00

(C) R$ 1.272,60

(D) R$ 1.285,20

(E) R$ 1.630,00

Quando do pagamento da primeira parcela temos juros de 2% incidindo sobre o valor financiado:

A dívida então salta para 102.000,00, quando pagamos a primeira prestação de 3.260. A dívida, logo após a primeira prestação, cai para:

Na segunda prestação temos juros de 2% incidindo sobre tal valor:

O restante da prestação é para amortizar a dívida:

Gabarito: D

Capitalização contínua

16º vídeo da série de matemática financeira.

[youtube=http://youtu.be/Uwmt3dyXS7U]

Matemática financeira - Caixa econômica (parte 2)

Segue a parte final da resolução da prova da Caixa:

[youtube=http://youtu.be/-G7R99vBgjM]

Juros reais e juros aparentes - parte 2

No post anterior, trouxemos um vídeo tratando do tema “inflação, juros reais e juros aparentes”.

No post de hoje, trago a resolução das questões correspondentes. A lista completa pode ser vista neste link.

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Questão 74 CVM 2010 [ESAF]

Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo?

a) 8,5%

b) 7,7%

c) 8%

d) 7,844%

e) 8,68%

Resolução:

A taxa real foi de 18% ao ano. Vamos passar essa taxa para ao trimestre. Lembrando que um ano corresponde a 4 trimestres.

4 trimestres --- 18%

1 trimestre --- r

A taxa de inflação foi tal que converte um valor de R$ 80,00 em R$ 83,20. Assim:

Logo:

Gabarito: E

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Questão 75 - INFRAERO 2009 [FCC]

Um capital de valor igual a R$ 10.000,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ 11.275,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de

(A) 1,75%

(B) 2,00%

(C) 2,25%

(D) 2,50%

(E) 2,75%

Resolução:

O capital é de 10.000,00, e o montante ao final de um período é 11.725,00. Com isso, podemos achar a taxa aparente.

A taxa real é de 10% ao ano.

Para achar a taxa de inflação (j), fazemos assim:

Gabarito: D

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Questão 76 TJ PI 2009 [FCC]

Uma companhia obteve um empréstimo no exterior correspondente a 100.000 dólares americanos, com prazo de vencimento de 5 anos. Os juros incidem trimestralmente a uma taxa de 8% ao trimestre e são incorporados ao principal. O dólar americano estava cotado para compra no dia do empréstimo a R$ 2,00 e no dia da primeira incidência dos juros a R$ 2,20. Efetuada a atualização cambial do principal, já incorporado o valor dos juros, o débito externo da companhia equivalia, na data da primeira incidência de juros, em R$, a

(A) 220.000,00.

(B) 229.800,00.

(C) 237.600,00.

(D) 239.800,00.

(E) 240.200,00.

Resolução:

Se considerarmos o dólar como uma mercadoria, ela aumentou de preço (inflação). Assim, cálculos envolvendo alterações na taxa de câmbio podem ser feitos de maneira muito semelhante aos cálculos para aumento nos preços de mercadorias em geral.

O dólar aumentou 10% no período.

A taxa real de juros é de 8% ao trimestre.

Com isso, temos:

Tendo a taxa aparente, podemos calcular o montante:

Gabarito: C

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Questão 77 AGÊNCIA NACIONAL DE SAÚDE SUPLEMENTAR 2007 [FCC]

O custo efetivo do financiamento de uma determinada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa de inflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo real efetivo referente a esta operação foi de

(A) 4,50%.

(B) 5,00%.

(C) 5,50%.

(D) 5,75%.

(E) 6,00%.

Resolução:

Gabarito: B

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Questão 78 TRE BA 2009 [CESPE]

Em um ano em que a taxa de inflação foi de 6,2% ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar a taxa nominal anual de 17,2% ao ano.

Resolução.

A questão pretendeu confundir o candidato. Somando 6,2% com 11%, chegamos a 17,2%.

Mas não podemos fazer isso.

Somando a taxa real com a taxa de inflação não chegamos à taxa nominal.

Isto é errado.

O correto é fazer com que uma taxa incida sobre a outra, assim:

Gabarito: errado

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Questão 79 SERPRO 2008 [CESPE]

Considerando que, em certo período, uma instituição financeira pagou taxas de juros reais que, somados à taxa de inflação do período, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessa instituição, nesse período, resultou em um montante de R$ 1.560,00 e se, nesse período, a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pela instituição, então a taxa de inflação do período foi superior a 18%.

Resolução

A soma das taxas de inflação e real é 50%.

Sabemos que, no período, o capital de 1.000 foi convertido em um montante de 1.560.

Logo:

Substituindo a equação I em II:

Chegamos a uma equação do segundo grau.

Para resolver a equação de segundo grau, usamos a fórmula de Bháskara.

Dada uma equação do segundo grau do tipo

,

em que “a”, “b” e “c” são números reais, a fórmula nos diz que as soluções da equação (ou seja, os valores de x que satisfazem à igualdade) são dados por:

Neste caso, temos:

Como a taxa de inflação é menor que a taxa real, concluímos que

Esta taxa realmente é superior a 18%.

Gabarito: certo

Juros reais e juros aparentes - parte 1

15º vídeo da série de matemática financeira.

[youtube=http://youtu.be/r7aiLXRT54k]

Perda do poder de compra

14º vídeo da série de matemática financeira, hoje tratando de perda do poder aquisitivo da moeda.

[youtube=http://youtu.be/Td553AJ5MD0]

Enunciado trabalhado no video:

Questão 73 - AFRFB 2002-1 [ESAF]

A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período.

a) 30,00%

b) 23,08%

c) 40,10%

d) 35,30%

e) 25,00%

Bacen 2013–questão 68–área 3

Olá pessoal!

Como já falei em artigo anterior (http://www.tecconcursos.com.br/artigos/gabarito-definitivo-do-bacen), no meu entendimento, o gabarito definitivo do Bacen veio com alguns erros. Já fiz críticas à questão que achei mais grave, que foi uma de RLQ. E farei as demais assim que o concurso for cadastrado no TecConcursos e eu for comentar as provas.

Enquanto isso, o Rodolfo, participante do meu blog (exatasparaconcursos.wordpress.com), pediu que eu comentasse a questão 68 da área 3.

Segue enunciado:

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(Cespe) Considerando que um investidor obtenha retornos diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes

68. Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é maior que 73%

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Comentários:

Primeiro vamos resolver a questão da maneira correta, considerando estritamente as informações dadas no item, ou seja, considerando que P(X=10) e P(X=100) são eventos independentes, exatamente como dito pela questão.

Dois eventos são independentes se, e somente se, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades individuais:

A probabilidade da união é dada por:

A probabilidade da união não é maior que 73%. ITEM ERRADO.

Esta é a solução correta. O problema é que, no gabarito definitivo, a banca inverteu o gabarito, dizendo que o item estaria “CORRETO”.

O grande detalhe é o seguinte. Não faz o menor sentido afirmar que X = 10 e X = 100 são eventos independentes. Isto porque não dá para um título ter retorno diário de 10 e, ao mesmo tempo, ter retorno diário de 100. É impossível que ambos ocorram simultaneamente. Oras, se a probabilidade da intersecção é nula, então ela é diferente do produto das probabilidades. Portanto, na realidade, os eventos não são independentes.

Assim, para chegar ao gabarito definitivo, devemos desconsiderar parte do enunciado. Devemos supor que, na realidade, os eventos são dependentes.

Devemos considerar ainda que, na verdade, estamos diante de eventos mutuamente exclusivos (em vez de independentes entre si). Com esta consideração adicional, aí sim, chegamos ao gabarito oficial.

Dois eventos são mutuamente excludentes quando a probabilidade da intersecção é nula. Disto resulta que a probabilidade da união corresponde à soma das probabilidades:

Aí sim, obtemos um valor maior que 0,73, e marcaríamos “item correto”.