Teorema de Bayes–FCC 2007

Hoje respondo a uma dúvida da Ianna, aluna do meu curso de Estatística para o Bacen.

A dúvida é sobre a questão abaixo, que trata do Teorema de Byes.

Apesar de a questão poder ser resolvida com a aplicação direta deste teorema, vou optar por usar a abordagem frequentista da probabilidade.

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(FCC - TRF 2ª Região 2007)

Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é:

a) 0,9

b) 0,8

c) 0,4

d) 0,35

e) 0,32

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Resolução:

Vamos supor que a população tem 100.000 habitantes. Para obedecer às condições do enunciado, temos o seguinte quadro:

0,5% da população tem a doença.

São 500 doentes.

O teste detecta a doença em 95% dos casos (ele é 95% efetivo na detecção)

Logo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• Os outros 25 pacientes que têm a doença terão exame negativo

O restante da população é saudável:

São 99.500 saudáveis.

Em 1% destes casos o teste dá falso positivo

São 995 saudáveis com teste positivo

Os demais são saudáveis com teste negativo:

Resumindo:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Estamos interessados nos casos em que a pessoa tem a doença. Os casos favoráveis são:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

E foi dada uma condição. A condição é o exame ter dado positivo. Vamos rever nossos casos possíveis e favoráveis.

Casos possíveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo
• 98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo
• 995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Casos favoráveis:

• 475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo
• 25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

A probabilidade fica:

Gabarito: E.