Resolução da prova do ICMS RJ – Estatística

41. O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes resultados:

Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a

(A) 8,93

(B) 8,72

(C) 8,54

(D) 8,83

(E) 8,62

Ao valor 8 associamos a frequência acumulada

Ao valor 10 associamos a frequência acumulada:

À mediana (8,8) associamos a frequência acumulada 200 (metade do número de observações).

Então temos (valor/frequência acumulada):

8 --- 148

8,8 --- 200

10 ---- 148+x

Na interpolação linear, fazemos a diferença entre as linhas. Em seguida, montamos as frações e igualamos:

A soma de todas as frequências simples é 400:

Criando a variável auxiliar:

Agora calculamos a média:

Logo:

Portanto:

Gabarito: A

42 - Considere o modelo

(omiti a explicação sobre cada símbolo – basicamente é o modelo usual de regressão linear)

Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a

(A) 785

(B) 810

(C) 515

(D) 920

(E) 460

 

Primeiro calculamos , que é o estimador de :

A soma de quadrados total é igual a:

A soma de quadrados do modelo de regressão é:

Finalmente, calculamos a soma de quadrados dos resíduos:

Gabarito: D

43. Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é

a) 13/100

b) 13/55

c) 7/55

d) 9/110

e) 9/55

 

Número total de casos:

Casos favoráveis

1º tipo: três itens defeituosos

Há 4 formas de escolhermos três itens defeituosos

2º tipo: dois itens defeituosos e um item bom.

Escolha dos itens defeituosos:

Escolha do item bom:

Aplicando o princípio fundamental da contagem:

Há 48 formas de escolhermos 2 defeituosos e 1 bom.

Assim, há 3+48 = 51 casos favoráveis.

Probabilidade:

Gabarito: B

44) Sabe-se que:

I . X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância (2p-2p²).

II . Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância (5p-5p²).

III . A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.

Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a

a) 3/1024

b) 1/64

c) 5/512

d) 15/1024

e) 7/512

 

Resolução:

Antes de entrarmos na resolução da questão, vamos analisar uma distribuição Binomial genérica, com parâmetros “p” e “n”.

Sua esperança e sua variância são:

Dividindo a variância pela esperança:

A divisão entre ambas nos dá a probabilidade de fracasso em um experimento de Bernoulli.

Visto isso, vamos atacar a questão. Dividindo a variância de X por sua esperança:

Concluímos que, para X, a probabilidade “p” é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento. Ou seja, a questão está usando a nomenclatura usual, onde “p” é a chance de sucesso em cada extração.

Lembrando que a esperança é dada por:

E comprando isso com:

Concluímos que:

Uma distribuição binomial com parâmetro n = 2 só pode assumir valores 0, 1, e 2.

A chance de X = 2 é dada por:

Como a chance de X ser menor que 2 é 15/16, então:

Isto ocorre porque X só assume valores 0, 1 ou 2. Logo, o evento X < 2 é complementar a X = 2.

Voltando:

Agora vamos à variável Y. Dividindo sua variância por sua esperança:

O que nos indica que, também para a variável Y, a questão usa a simbologia usual (chamar a probabilidade de sucesso de “p”).

Comparando com , concluímos que, para Y, temos n=5.

Assim, Y é binomial com parâmetros

Agora calculamos as probabilidades:

Logo:

Gabarito: B

45) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é

(A) 0,594

(B) 0,910

(C) 0,766

(D) 0,628

(E) 0,750

Dado:

 

Resolução:

Se em para 1 hora a média é de 12 atendimentos, então para 20 minutos (um terço de hora), a média é:

A fórmula para a distribuição de Poisson é:

Agora substituímos “k” por 0, 1 e 2:

Mas nós queremos a probabilidade de X ser maior ou igual a 3. Basta tomar o evento complementar:

Gabarito: C

---

Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92;

P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

---

46. Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na variável aleatória que representa a proporção de caras em 100 lançamentos, estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC =

Sendo β a probabilidade do erro do tipo II , e admitindo-se a aproximação à normal para a distribuição de , o valor de β é

(A) 0,150

(B) 0,250

(C) 0,106

(D) 0,053

(E) 0,125

 

Resolução.

O exercício pediu a probabilidade de cometermos o erro de tipo II. Ou seja, de aceitarmos H0 dado que ela é falsa.

Isso significa obter proporção amostral menor que 0,75 quando a proporção populacional é 0,8.

Se a proporção populacional é 0,8 (p = 0,8), podemos calcular a esperança e a variância da proporção amostral, assim:

Agora calculamos a estatística teste (Zt):

A chance de aceitarmos H0 corresponde à

O exercício nos disse que:

Logo:

Como a normal reduzida é simétrica em torno de 0, temos:

Gabarito: C

47. O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma repartição pública tem distribuição normal com média μ = 140 segundos e desvio padrão σ = 50 segundos. A probabilidade de que um indivíduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é

(A) 0,765

(B) 0,632

(C) 0,235

(D) 0,189

(E) 0,678

 

O primeiro passo é calcular os escores da normal padrão correspondentes aos valores dados no enunciado. A transformação é feita assim:

Os tempos desejados são 180 segundos (3 minutos) e 240 segundos (4 minutos)

Vamos agora para o gráfico da função densidade da normal reduzida, para indicarmos as áreas desejadas:

O exercício nos disse que a área à esquerda de 2 vale 0,977. Portanto, a área amarela, à direita de 2, vale:

O exercício nos disse ainda que a área à esquerda de 0,8 vale 0,788. Portanto, a soma das áreas amarela e verde é igual a:

Portanto:

Tal área corresponde à chance de termos observações entre 3 minutos e 4 minutos.

Gabarito: D

48. Uma população infinita tem desvio padrão igual a 10 e média μ desconhecida. Uma amostra aleatória com reposição de tamanho n foi selecionada dessa população. Sabe-se que:

I . O valor de n deve ser tal que, com probabilidade 16%, o erro em se estimar μ seja superior a 1.

II . Se x é o valor da média amostral da amostra selecionada, então 7, 40 x = .

Baseado na amostra de tamanho n e nas condições I e II acima, um intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança de 95% é dado por

(A) [39,3 ; 42,1]

(B) [39,5 ; 41,9]

(C) [39,7 ; 41,7]

(D) [39,9 ; 41,5]

(E) [38,7 ; 42,7]

Resolução:

Primeiro vamos determinar o escore da normal padrão que delimita uma área de 16%:

Queremos que a chance de a normal reduzida Z se afastar de sua média (0) de uma distância maior que Zc seja igual a 16%.

Portanto, a soma das áreas verde e amarela vale 16%. Logo, cada uma delas é igual a 8%.

Se a área amarela é 8%, então:

Assim, a chance de Z se distanciar de sua média por uma distância superior a 1,4 é de 16%.

E o exercício pediu para que a chance de se distanciar de sua média por uma distância superior a 1 também seja de 16%.

O erro máximo de estimação é dado por:

Onde Zc é o escore da normal padrão associado à probabilidade desejada. Acabamos de descobrir que vale 1,4.

Queremos que o erro associado a tal probabilidade seja igual a 1:

Finalmente, vamos ao cálculo do intervalo de 95% de confiança. Ele tem o seguinte formato:

O que resulta em:

Gabarito: A