(Cespe)
Uma operadora de telefones pôs em certo local três funcionários para atender seus clientes. O número de clientes que chegam a esse local por minuto, X, segue uma distribuição dada por
em que
é uma constante e k = 0, 1, 2, 3, ....Se um cliente encontra os três atendentes ocupados, ele entra em uma fila única. Não há limites para o tamanho da fila. O tempo gasto por um atendente para cada cliente (isto é, o tempo de atendimento em minutos, T) segue uma distribuição contínua cuja função de densidade é dada por
Em que t>0 e exp{.}representa a função exponencial.
Considerando as informações acima, que descrevem uma fila baseada no processo de vida e morte com taxas de chegada e de serviço constantes com três servidores, julgue o item subsequente.
A mediana e a média de X são iguais.
Resolução:
Primeiro calculamos o valor de
. Somando os valores das probabilidades para todos os valores de X, obtemos 1:
O somatório acima corresponde ao número de Euler:
E é esse o resultado legal. O fato de gama ser igual ao inverso do núero de euler faz com que X, no fundo, seja uma distribuição de Poisson. Só que estava disfarçada. O disfarce era justamente a constante gama, desconhecida.
Neste momento, é bastante útil lembrarmos de como é a fórmula da probabilidade relativa à Poisson. Ela é do tipo:
Se fizermos
chegamos justamente à distribuição de X, vejam:
E agora tudo fica mais tranquilo. Determinar a média de X é fácil. Basta lembrar que, na distribuição de Poisson, a média corresponde a
que já sabemos valer 1.
Para determinar a mediana, precisamos calcular a função distribuição de probabilidade acumulada (FDP).
Logo:
Vejam que a função distribuição de probabilidade (FDP) valia aproximadamente 0,37 para X = 0, e salta para cerca de 0,74 em X =1. Logo, ela cruza a barreira dos 50% justamente em X = 1. Portanto, a mediana vale 1.
Concluindo, a média e a mediana valem 1.
Item certo
Vitor,
ResponderExcluir1) Aquele somatório ser igual ao número de Euler é uma das muitas definições do número de Euler?
1.1) Isso costuma cair em que nível de concurso? Geral, área específica, para estatísticos/matemáticos...?
2) Por que X só pode ser 0 ou 1?
Olá!
ResponderExcluir1) Isso aí, vc está certo, esta é uma das muitas formas de expressar o número de euler
1.1) essa questão específica foi tirada de um cargo de formação específica. Para concursos de formação geral é difícil cair esse tipo de questão.
Num concurso de formação geral, já viria no enunciado a distribuição de poisson no formato "padrão" dela, sem "disfarce".
É importante ainda dizer que esse item que eu trouxe era apenas um de uma série de itens tratando do mesmo enunciado. Vários dos itens subsequentes tratam de teoria das filas - tamanho médio da fila, tempo médio de espera, etc. Esse tipo de matéria não é cobrado em concursos de formação geral.
Então, só para deixar claro:
- questões sobre distribuição de Poisson são muito comuns, caem mesmo em concursos de formação geral
- a forma em particular como esta questão explorou a poisson é que não é característica de concursos de formação geral.
- as questões subsequentes da mesma prova, focadas nesse mesmo enunciado, são de teoria das filas, assunto só cobrado em provas que exigem formação específica.
2) X pode assumir qualquer valor natural - 0, 1, 2, 3, ...
Vitor,
ResponderExcluirItem 1: Perfeitamente respondido! Obrigado.
Item 2: Olhando sua resolução, parece que X só pode assumir 0 e 1. Mas acho que sei o motivo: observe que, na figura que você postou, a probabilidade P(X=0) dá 0,7, quando o correto me parece ser 0,37. Seria coerente com a figura seguinte, em que você faz P(X=0) + P(X=1) e encontra 0,37 + 0,37 = 0,74.
Nossa, verdade, faltou um "3" na frente, vou corrigir, obrigado
ResponderExcluirOlá. Me deparei com uma questao de Poisson da Cesgranrio na qual o nao foi dado o valor e^-x. Procurei na internet uma maneira de realizar a questao durante uma prova mas sem sucesso.
ResponderExcluirVoce poderia explicar como poderia encontrar o valor de e^-x durante a prova ( sem calculadora..rs)
Agradeco antecipadamente
Olá!
ResponderExcluirVc teria a questão para me enviar? Assim posso te responder de forma mais adequada. Se tiver o pdf, basta enviar ao meu e-mail (vitor@tecconcursos.com.br). Se tiver o link da prova, basta postar aqui mesmo. Abraços!