Petrbrás 2014–parte 1

Olá pessoal!

Hoje inicio a resolução de uma série de questões da prova da Petrobrás, solicitada pelo César Goes. O concurso foi organizado pela Cesgranrio.

A série inicia com a questão 22 da prova:

---

Seja f: [a,b]→R, onde a e b são números reais positivos com a < b, e g: [A,B]→R, tal que g(x) = a + b . f(x – a). Se A é o menor número real para o qual a função g pode ser definida, e B é o maior número real para que g esteja definida, então o intervalo [A,B] será igual a

(A) [0, b -a]

(B) [a, b]

(C) [a, a + b]

(D) [2a, b -a]

(E) [2a, a + b]

Resolução:

A função g é dada por:

Assim, fazendo x = k:

Na verdade a gente não precisaria usar “k”, daria para usar “x” mesmo. Só estou usando “k” porque acho que confunde menos.

O valor da função “g” neste ponto “k” depende de:

• · “a”, que é uma constante real positiva
• · “b”, que é outra constante real positiva
• ·

Deste modo, g(k) só vai existir se também existir f(k-a).

Já sabemos que a função “f” está definida no intervalo de “a” até “b”.

Assim, f(k-a) só existe se k-a estiver no intervalo de “a” até “b”:

Ou seja, os valores extremos para os quais a função “g” está definida são 2a e b+a. Isso está expresso na alternativa E, gabarito da questão.

---

Agora vamos para a questão 23 da mesma prova:

Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões

Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era dada por

Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor?

(A) log 8

(B) log 5

(C) log 3

(D) log 2

(E) log 0,125

 

Resolução:

Agora vamos calcular a seguinte quantia:

Portanto, a resposta da questão será:

Multiplicando numerador e denominador pelo log de 2:

Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1.

Gabarito: B

Resolução da prova EPPGG 2013–questão 35

35) Se a operação π y é definida como o triplo do cubo de y, então o valor da expressão representada pelo produto entre π 2^1/3 e π 2^0,5 é igual a:

a)

b)

c)

d) 0

e) 1

---

Resolução:

No desenvolvimento acima, tivemos que lembrar que 2 elevado a meio é o mesmo que a raiz quadrada de 2.

Bom, agora que calculamos cada uma das parcelas, basta fazer o produto:

Gabarito: B

Função de segundo grau

Hoje respondo a uma dúvida do Mateus, que me enviou esta questão por e-mail:

---

Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x²– 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5).

Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue os próximos itens.

O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

---

Resolução.

O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo:

Temos uma função de segundo grau (parábola), com concavidade para baixo (pois o sinal de x² é negativo). Quando isso ocorre, a função apresenta ponto de máximo.

Numa função do tipo , o ponto extremo ocorre para:

Utilizando este resultado acima:

O ponto de lucro máximo ocorre para milhares de unidades.

Item certo.

ISS Natal 2008–Funções

Olá pessoal, hoje trago uma questão sobre funções, cobrada pela Esaf em 2008:

(ESAF – ISS Natal 2008) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade



para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo x real.

Vamos ver o caso em que x = 0. Substituindo x por 0, temos:

Agora vejamos outro caso. Façamos. Temos:

Vamos parar a conta por um instante, e relembrar a seguinte propriedade da radiciação:

Logo:

Ok, então o número pode ser escrito assim:

Agora aplicamos novamente a propriedade:

Agora podemos continuar o problema, de onde tínhamos parado:

Substituindo I em II:

Agora cancelamos f(0) com –f(0):

Para dividir duas potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes:

Gabarito: A

Aproveitando, informo que no TecConcursos já temos mais de 2.800 questões de exatas comentadas.

Bons estudos!

Vítor