Petrobras 2014 - parte 2

Dando continuidade às questões da Petrobrás, hoje resolvemos a questão 25:

O produto de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1 e termos estritamente positivos é igual a oito vezes a soma desses termos. O maior dos três termos considerados, portanto, vale

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8

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Primeira solução:

Você pode simplesmente testar as alternativas. Como a PA é de razão 1, então temos algo do tipo:

$ (x-1), \, (x), \, (x+1) $

Como as alternativas estão nos dando candidatos ao maior termo, elas nos fornecem possíveis valores de x+1.

Com isso, as PAs fornecidas em cada alternativa são:

Na alternativa "A" a PA é 3, 2, 1. A soma vale 6 e o produto vale 6.

Na alternativa "B" a PA é 4, 3, 2. A soma vale 9 e o produto vale 24

Na alternativa "C" a PA é 5, 4, 3. A soma vale 12 e o produto vale 60

Na alternativa "D" a PA é 6, 5, 4. A soma vale 15 e o produto vale 120. Pronto, aqui já deu certo. O produto foi oito vezes maior que a soma (120 = 8 x 15). Gabarito: D

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Segunda solução.

A soma dos três termos fica:

$ (x-1)+x+(x+1) = 3x $

O produto dos três termos fica:

$ (x-1) \times x \times (x+1) $

A segunda quantia é oito vezes a primeira:

$ (x-1) \times x \times (x+1)=8 \times 3x $

Simplificando os dois lados da igualdade por "x":

$ (x-1) \times (x+1) = 24 $

$ x^2-1=24 $

$ x^2=25 $

$x = 5 $

O termo central da PA vale 5. Logo, o maior termo vale 5 + 1 = 6. Novamente marcamos gabarito letra D.

Questão 15 - ISS São José dos Campos

(Vunesp) Uma sequência é formada por 50 figuras conforme o padrão que exibe as 4 primeiras figuras. Cada figura da sequência é formada por quadradinhos claros e escuros.



A diferença entre o número de quadradinhos escuros da última e da penúltima figuras vale
(A) 99.
(B) 100.
(C) 101.
(D) 102.
(E) 103.

Resolução:

A primeira figura apresenta um quadrado formado por 3 x 3 quadradinhos.

A segunda figura apresenta um quadrado formado por 4 x 4 quadradinhos.

A terceira figura apresenta um quadrado formado por 5 x 5 quadradinhos.

A quarta figura apresenta um quadrado formado por 6 x 6 quadradinhos.

E assim por diante.

Em negrito temos números que formam uma PA de razão 1:

3, 4, 5, 6, ...

Além disso, é importante notar que as figuras alternam formatos de T's e de O's.

Quando temos número ímpar de quadradinhos (3x3, 5x5, 7x7, 9x9), a figura forma um T. Ou seja, os quadradinhos cinzas ocupam a primeira linha e mais a coluna central.

Quando temos um número par de quadradinhos (4x4, 6x6, 8x8...), a figura forma um "O", ou seja, os quadrados cinzas ocupam as bordas da figura.

49ª figura

O 49º termo da PA é dado por:

Ou seja, na 49ª figura teremos um quadrado de dimensões 51 x 51.

A primeira linha dele será inteira pintada de cinza, o que corresponde a 51 quadradinhos.

Além disso, a coluna central dele será inteira pintada de cinza, o que corresponde a mais 50 quadradinhos. Na verdade, a coluna central tem 51 quadradinhos, mas um deles já pertence também à primeira linha e já terá sido pintado.

Total de quadradinhos cinzas: 51 + 50 = 101

50ª figura

O 50º termo da PA será um quadrado formado por 52 x 52 quadradinhos. Nós vamos pintar todas as suas bordas de cinza. São 4 bordas, cada uma delas com 52 quadradinhos, total de 208 quadradinhos.

Contudo, os quatro quadradinhos das quinas terão sido computados duas vezes cada um. Isso porque esses quadradinhos das quinas pertencem a duas bordas ao mesmo tempo. Para eliminar a contagem repetida, fazemos:

 

Assim, a 49ª figura apresentará 101 quadradinhos escuros. A 50ª figura apresentará 204. De modo que a diferença entre ambas é:

Gabarito: E