Petrobras 2014 - parte 2

Dando continuidade às questões da Petrobrás, hoje resolvemos a questão 25:

O produto de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1 e termos estritamente positivos é igual a oito vezes a soma desses termos. O maior dos três termos considerados, portanto, vale

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8

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Primeira solução:

Você pode simplesmente testar as alternativas. Como a PA é de razão 1, então temos algo do tipo:

$ (x-1), \, (x), \, (x+1) $

Como as alternativas estão nos dando candidatos ao maior termo, elas nos fornecem possíveis valores de x+1.

Com isso, as PAs fornecidas em cada alternativa são:

Na alternativa "A" a PA é 3, 2, 1. A soma vale 6 e o produto vale 6.

Na alternativa "B" a PA é 4, 3, 2. A soma vale 9 e o produto vale 24

Na alternativa "C" a PA é 5, 4, 3. A soma vale 12 e o produto vale 60

Na alternativa "D" a PA é 6, 5, 4. A soma vale 15 e o produto vale 120. Pronto, aqui já deu certo. O produto foi oito vezes maior que a soma (120 = 8 x 15). Gabarito: D

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Segunda solução.

A soma dos três termos fica:

$ (x-1)+x+(x+1) = 3x $

O produto dos três termos fica:

$ (x-1) \times x \times (x+1) $

A segunda quantia é oito vezes a primeira:

$ (x-1) \times x \times (x+1)=8 \times 3x $

Simplificando os dois lados da igualdade por "x":

$ (x-1) \times (x+1) = 24 $

$ x^2-1=24 $

$ x^2=25 $

$x = 5 $

O termo central da PA vale 5. Logo, o maior termo vale 5 + 1 = 6. Novamente marcamos gabarito letra D.