Conjuntos–ISS Natal 2008

Hoje resolvemos uma interessante questão da Esaf, a pedido do Ivanor, aluno do Eu Vou Passar. Segue:

(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Os conjuntos X, Y e Z são respectivamente iguais a {a, b, c, d, e}, {d, e, f} e {a, b, g}. Sabendo-se que A = λ ∩ Y = ∅ e B = λ ∪ Y = X ∪ Z , então, o total de subconjuntos do conjunto λ é igual a:

a) 20

b) 15

c) 14

d) 18

e) 16

Comentários:

Não sei se a questão foi anulada, mas acredito que tenha sido.

Vamos começar analisando a segunda igualdade:

A união entre X e Z corresponde aos elementos que pertencem a X ou a Z:

A união entre Y e λ corresponde aos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Veja que “Y” contém o elemento “f”. Logo, esse elemento aparecerá na união entre Y e λ. No entanto, “f” não aparece na união entre X e Z. Logo, é impossível que esta igualdade ocorra, devendo a questão ser anulada.

Para aproveitarmos a questão, suponha que, na verdade, Y = {d, e}

Assim, o conjunto λ deve, no mínimo, conter todos os demais elementos que faltam para obtermos o conjunto . Logo, λ contempla: a, b, c, g.

Além disso, a primeira igualdade (λ ∩ Y = ∅) nos diz que λ e Y não têm elementos em comum. Logo, o conjunto λ corresponde apenas aos elementos acima citados:

Genericamente, o número de subconjuntos de um conjunto com “n” elementos é igual a 2ⁿ.

λ tem 4 elementos. Assim, o número de subconjuntos fica:

O que coincide com o gabarito preliminar (letra E).

No entanto, tivemos que adaptar a questão para chegar ao resultado. Ao meu ver, deveria ter sido anulada. Não tenho o gabarito definitivo para saber se foi anulada ou não.

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