Prova do INPI 2014

Olá pessoal!

Olhei agora a prova de Raciocínio Lógico do INPI, não vi recursos.

Atendendo a um pedido, resolvo as questões 110 a 113:

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No triênio 2011-2013, 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos.

110 Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA.
111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.
112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.
113 Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil.

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Resolução.

Primeiramente, vamos enumerar as informações:

1. 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França;
2. 27 patentearam seus produtos nos três países;
3. 36 patentearam seus produtos somente no Brasil;
4. 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França;
5. 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil;
6. e 130 patentearam seus produtos na França

As informações de 1 a 5 podem ser preenchidas diretamente no diagrama:

A informação 6 nos diz haver 130 elementos no conjunto vermelho. Já alocamos 50 + 40 + 27 = 117. Faltam 130 - 117 = 13.

Sabemos haver 240 elementos ao todo. Já alocamos 130 + 60 + 36 = 226. Para completar 240 faltam 14.

Agora vamos aos itens:

110 Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA.

Na intersecção entre França e EUA temos 40 + 2 7 = 67 elementos. Item errado.

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111 Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França.

Somente na França são 13 grupos. Item errado.

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112 Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA.

Não patentearam nos EUA: 36 +50 + 13 = 99. Item certo.

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113 Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil.

Patentearam no Brasil: 36 + 60 + 27 + 50 = 173. Item certo

Questão sobre conjuntos IGC SP

Olá pessoal! Atendendo ao pedido do Tiago Souza, resolvo a questão abaixo, da prova do IGP SC.

Seguem enunciado e resolução:

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Um restaurante está atendendo a um evento fechado para 150 pessoas. Destas, 130 bebem refrigerantes, 75 bebem vinho e 105 bebem cerveja. No máximo, quantas pessoas não bebem nem vinho e nem cerveja?

a) 130

b) 45

c) 75

d) 120

 

Resolução:

Queremos maximizar a quantidade que não bebe cerveja e nem vinho.

 

MAXIMIZAR: Não bebe cerveja e não bebe vinho

 

O detalhe é que é bem mais fácil trabalhar com o evento complementar. Ou seja, as pessoas que não atendem ao enunciado.

Pergunta: quem são as pessoas que NÃO se enquadram nesta condição?

Não se enquadram nesta condição as pessoas que bebem vinho e as que bebem cerveja.

 

NÃO ATENDEM AO ENUNCIADO: quem bebe vinho ou quem bebe cerveja

 

Muito bem. Vamos justamente focar nos casos que não atendem ao enunciado. Queremos minimizar esta quantidade.

 

MINIMIZAR: bebe vinho ou bebe cerveja

 

Há 75 que bebem vinho e mais 105 que bebem cerveja:

Aqui chegamos a um absurdo. É impossível chegar a 180 pessoas se, no restaurante, só há 150 pessoas ao todo.

Podemos concluir então que há pessoas contadas em duplicidade.

Seja “x” a quantidade de pessoas que bebe vinho e bebe cerveja e que foi contada em duplicidade. O diagrama abaixo representa isso:

Acima representamos o fato de haver 75 pessoas que bebem vinho e 105 que bebem cerveja.

A união entre os dois conjuntos tem a seguinte quantidade de elementos:

Lembrem-se de que acima temos as pessoas que não atendem ao enunciado. Queremos minimizar esta quantidade.

A quantidade a ser minimizada é:

Vejam que “x” aparece subtraindo. Para minimizar a quantidade acima, “x” assumir o maior valor possível. O maior valor possível para “x” é 75. Se x fosse maior que 75, o conjunto em azul teria mais de 75 pessoas, o que é absurdo.

Assim:

Logo, a quantidade de pessoas que bebem vinho ou cerveja é:

Se são 105 pessoas que bebem vinho ou cerveja, o restante não bebe nenhuma destas duas bebidas:

Gabarito: B

Questão sobre conjuntos da FCC

Hoje me deparei com uma interessante questão sobre conjuntos.

Segue enunciado:

(FCC – TRT 19ª Região)

Mapeando 21 funcionários quanto ao domínio das habilidades A, B e C, descobriu-se que nenhum deles dominava, simultaneamente, as três habilidades. Já com domínio de duas habilidades simultâneas há, pelo menos, uma pessoa em todas as possibilidades. Também há quem domine apenas uma dessas habilidades seja qual habilidade for. O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas. Sabendo-se que o total daqueles que dominam a habilidade A são 12 pessoas e que o total daqueles que dominam a habilidade B também são 12 pessoas, o maior número possível daqueles que só dominam a habilidade C é igual a

a) 3

b) 1

c) 2

d) 4

e) 5

Resolução:

Montando o diagrama:

Notem que a intersecção entre os três conjuntos vale 0, pois ninguém domina simultaneamente as três habilidades.

Vejam que ao todo são 21 pessoas. Logo:

Foi dito ainda que todas estas quantias são diferentes entre si. Observem:

O intrigante no mapeamento é que em nenhum grupo, seja de domínio de uma ou de duas habilidades, há número igual de pessoas.

Assim:

Ou seja, todos estes números são inteiros e distintos entre si.

E, neste momento, temos que lembrar que a soma dos seis primeiros inteiros positivos é justamente 21:

Concluímos que a, b, c, d, e, f, valem, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Desejamos calcular o valor máximo para “f” (pessoas que só dominam C). Vejam que, para calcular “f”, basta tomar o total de pessoas (21) e subtrair aquelas que têm as habilidades A ou B (união entre A e B):

Para maximizar “f”, temos que maximizar a intersecção entre A e B, que vale “b”.

Lembrem-se neste momento que as possibilidades para nossas incógnitas são 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como a maior quantidade possível para determinado grupo é 6, concluímos que:

Logo:

Gabarito: A

RLQ MPU - parte 2

Hoje terminamos a resolução da prova do MPU.

[youtube=http://youtu.be/MuBgD7yjZp0]

Enunciados trabalhados no vídeo:

Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores.

A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2/3 são de A e 3/5 são de B, julgue os itens a seguir.

48 Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%.

49 O conjunto CP(A) U CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise

50 A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise.

 

 

Conjuntos–ISS Natal 2008

Hoje resolvemos uma interessante questão da Esaf, a pedido do Ivanor, aluno do Eu Vou Passar. Segue:

(ISS-NATAL - 2008 / ESAF) Os conjuntos X, Y e Z são respectivamente iguais a {a, b, c, d, e}, {d, e, f} e {a, b, g}. Sabendo-se que A = λ ∩ Y = ∅ e B = λ ∪ Y = X ∪ Z , então, o total de subconjuntos do conjunto λ é igual a:

a) 20

b) 15

c) 14

d) 18

e) 16

Comentários:

Não sei se a questão foi anulada, mas acredito que tenha sido.

Vamos começar analisando a segunda igualdade:

A união entre X e Z corresponde aos elementos que pertencem a X ou a Z:

A união entre Y e λ corresponde aos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Veja que “Y” contém o elemento “f”. Logo, esse elemento aparecerá na união entre Y e λ. No entanto, “f” não aparece na união entre X e Z. Logo, é impossível que esta igualdade ocorra, devendo a questão ser anulada.

Para aproveitarmos a questão, suponha que, na verdade, Y = {d, e}

Assim, o conjunto λ deve, no mínimo, conter todos os demais elementos que faltam para obtermos o conjunto . Logo, λ contempla: a, b, c, g.

Além disso, a primeira igualdade (λ ∩ Y = ∅) nos diz que λ e Y não têm elementos em comum. Logo, o conjunto λ corresponde apenas aos elementos acima citados:

Genericamente, o número de subconjuntos de um conjunto com “n” elementos é igual a 2ⁿ.

λ tem 4 elementos. Assim, o número de subconjuntos fica:

O que coincide com o gabarito preliminar (letra E).

No entanto, tivemos que adaptar a questão para chegar ao resultado. Ao meu ver, deveria ter sido anulada. Não tenho o gabarito definitivo para saber se foi anulada ou não.

Para mais questões de exatas, acesse: www.tecconcursos.com.br. Lá já temos, hoje, duas mil novecentas e vinte e nove questões de exatas comentadas.

SUSEP 2010

Hoje respondo a uma dúvida de um aluno do meu curso de RLQ para a Receita. Durante a aula eu resolvi a questão abaixo, do concurso da SUSEP 2010. Fui de alternativa em alternativa, até achar o gabarito. O aluno então pediu para eu analisar as alternativas “D” e “E”, não analisadas em aula.

Segue enunciado:

(SUSEP 2010 – ESAF) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam , e , respectivamente, as operações de intersecção, união e diferença entre eles.

Seja o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja .

A opção correta é:











 

Comentários:

Como exemplo, considere o conjunto dos números naturais de 1 a 10. Este é o universo no qual estamos trabalhando.

Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo.

A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos. É representada assim:

A união entre A e B éformada pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.

A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem a B.

Analogamente, temos:

O complementar de A é formado pelos elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.

De igual modo, o complementar de B é formado por todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a B.

Observem que, em todas as alternativas, aparece o seguinte conjunto:

No nosso exemplo, este conjunto seria:

Ou seja, o único termo que não pertence a este conjunto é o 3, que está justamente na intersecção entre A e B.

Assim, este conjunto acima é quase igual ao conjunto universo. Só faltou incluirmos o 3 (intersecção entre A e B).

Em algumas alternativas, aparece o complementar deste conjunto.

Para achar o complementar de um conjunto, pegamos todos os elementos que não pertencem a ele. No nosso exemplo:

Pois 3 é o único elemento que ficou de fora.

Agora vamos analisar cada alternativa.

Letra A:

A alternativa está errada, pois afirmou que o resultado seria o conjunto universo.

Letra B:

A letra b traz exatamente a mesma sequência de operações da alternativa ‘a’. Já vimos que o resultado é o conjunto {3}.

A alternativa está errada, pois afirma que o resultado é vazio.

Letra C:

Exatamente como afirmado pela alternativa, o resultado é o conjunto vazio. Os dois conjuntos obtidos não têm elementos em comum. Por isso sua intersecção é o conjunto vazio.

Gabarito: C

Letra D:

A alternativa está incorreta, pois afirma que o resultado é igual a . Mas a união entre A e B é dada por:

Letra E:





A alternativa erra ao dizer que o resultado é o conjunto universo.