Forma alternativa de cálculo da variância

Recebi um e-mail do Antônio Carlos, aluno do Eu Vou Passar, pedindo ajuda com o cálculo alternativo de variância, quando optamos por usar a variável auxiliar.

Bom, relembrando, a variância é uma medida de dispersão. Ela me indica o quanto os dados estão afastados da média aritmética. Para calcular a variância, fazemos assim:

Ou seja, calculamos a média dos quadrados dos desvios. Desvios estes calculados em relação à média aritmética.

Caso estejamos diante de uma amostra, usamos “n – 1” no denominador. Neste caso, usamos o símbolo s² para a variância.

Não entrarei em detalhes no porquê disso, mas fica registrado que o objetivo é obter um estimador não-viciado da média da população.

Ok, continuando.

O grande detalhe é que esta forma de cálculo é muito demorada, é trabalhosa. E, na hora da prova, é sempre bom poupar tempo.

Pois bem, outra maneira de calcular a variância, que demanda muito menos tempo, é a seguinte:

Ou seja:

- calculamos a média dos quadrados

- calculamos o quadrado da média

- subtraímos um do outro, obtendo a variância populacional

Detalhe: essa forma alternativa pressupõe que utilizamos “n” no denominador. Se estivermos diante de uma amostra, temos que multiplicar por “n” (para anular a divisão feita pelo próprio “n”) e dividir por “n – 1”, para obter o denominador correto. Fica assim:

E, é claro, podemos usar o cálculo alternativo da variância em qualquer situação, inclusive quando decidimos adotar a variável “auxiliar”. E aqui reside a dúvida do Antônio Carlos.

Para ver como fica, nada melhor que um exemplo. Utilizarei a recente prova da Esaf, feita agora em 2012:

(ESAF - Ministério da Integração Nacional 2012)

A distribuição de frequências em classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir.

Classe
Mais de 0 a 10	22
Mais de 10 a 20	13
Mais de 20 a 30	10
Mais de 30 a 40	3
Mais de 40 a 50	2

Usando os dados acima, obtenha o valor mais próximo da variância amostral do salário mensal.

a) 121,5

b) 124

c) 126,5

d) 129

e) 131,5

Resolução:

Seja “X” o ponto médio de cada classe.

Classe
Mais de 0 a 10	5	22
Mais de 10 a 20	15	13
Mais de 20 a 30	25	10
Mais de 30 a 40	35	3
Mais de 40 a 50	45	2

Observem que os valores de X são elevados. Para diminuir um pouco as contas, usamos a variável auxiliar, que eu costumo chamar de “d”.

Vamos criar a variável auxiliar “d”, dada por:

Fazemos assim: subtraímos da variável "X" a constante 25 (ponto médio da classe central) e dividimos por 10 (amplitude de classe). O resultado fica:

5	-2	22	-44
15	-1	13	-13
25	0	10	0
35	1	3	3
45	2	2	4
TOTAL		50	-50

Observação: não existe regra fixa para cálculo da variável “d”. O objetivo é usar qualquer transformação (envolvendo somas, subtrações, divisões e multiplicações de constantes) para chegarmos a números mais fáceis de se trabalhar.

Outra forma de cálculo muito comum em livros é subtrair X do ponto de maior frequência. Também dá certo. Aí vai do “gosto do freguês”.

Continuando.

Agora calculamos a média e a variância para “d”. Por quê? Porque para “d” os valores são menores, mais fáceis de se trabalhar.

A média de “d” fica:

Com o mesmo raciocínio, calculamos a média de

5	-2	4	22	88
15	-1	1	13	13
25	0	0	10	0
35	1	1	3	3
45	2	4	2	8
TOTAL			50	112

O que resulta em:

Agora é só aplicar a forma alternativa de cálculo da variância. A variância populacional é igual à diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:

Na variância populacional, o denominador é “n”(= número de dados na amostra).

Mas nós queremos a variância amostral, com denominador “n – 1”. Então multiplicamos o resultado acima por “n”, para cancelar a divisão feita, e dividimos por “n – 1”, para chegarmos ao denominador desejado.

Essa é a variância amostral para “d”.

Agora calculamos a variância amostral para X. Assim:

Quando multiplicamos os dados por uma constante (10), a variância fica multiplicada pela constante ao quadrado (10²). Quando somamos uma constante aos dados (25), a variância não se altera.

Gabarito: C

Pronto. Usamos o cálculo alternativo da variância em conjunto com o emprego da variável auxiliar. Como fizemos?

Calculamos tudo para a variável auxiliar (média e variância). Depois usamos propriedades da variância para achar a dispersão da variável original (X).

É isso.

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Bons estudos!

Vítor

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