Permutação circular–AFRFB 2009

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF - AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

Agora vejam outro caso:

Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

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