Petrobras 2014 - parte 4

A pedido do Cesar Goes, estou resolvendo algumas questões da prova da Petrobras 2014. Hoje veremos a questão 26 da prova.

---

Considere o universo de doze signos zodiacais. Em um grupo de quatro pessoas, a probabilidade de elas serem regidas por exatamente dois signos é

a) 77/1728
b) 88/1728
c) 154/1728
d) 172/1728
e) 176/1728

---

Casos possíveis

Vamos chamar as pessoas de A, B, C e D. Para cada uma delas temos 12 signos possíveis. Assim, o número total de maneiras de atribuirmos signos a A, B, C e D será:

$ 12 \times 12 \times 12 \times 12=12^4$

Este é o número de casos possíveis.

---

Casos favoráveis

São favoráveis os casos em que temos apenas dois signos presentes.

Para que isso ocorra, vamos dividir o processo de atribuição de signos em duas partes:

1. escolhemos exatamente dois dos signos
2. atribuímos estes signos às 4 pessoas

Para a escolha desses dois signos, temos um caso de combinação de 12 signos, tomados 2 a 2:

$ C_{12,2}= {12! \over 2! \times 10!}=66$

Há 66 modos de escolhermos os dois signos.

Para facilitar o entendimento, considere que os dois signos escolhidos tenham sido Gêmeos e Escorpião.

Escolhidos esses dois signos, vamos agora alocar as pessoas que ficarão em Gêmeos. As que sobrarem estarão automaticamente alocadas em Escorpião.

Podemos colocar:

• uma única pessoa em Gêmeos. Há 4 formas de fazer isso: A, B, C, D
• ou então podemos colocar exatamente duas pessoas em Gêmeos. Há C(4,2) = 6 formas de fazer isso.
• ou então podemos colocar exatamente três pessoas em Gêmeos. Há C(4,3)=4 formas de fazer isso

Observem que tais possibilidades estão conectadas pelo "ou". Estamos diante do princípio aditivo:

$ 4+6+4=14 $

Assim, para cada uma das 66 escolhas de pares de signos, há 14 formas de eu alocar as pessoas.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de casos favoráveis é:

$ 66 \times 14$

---

Probabilidade

Para calcular a probabilidade basta dividir número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:

$ P= {66 \times 14 \over 12^4}$

Dividindo numerador e denominador por 12:

$ P = {11 \times 7 \over 12^3}$

$ P= {77 \over 1728}$

Gabarito:A

Petrobras 2014 - parte 3

Dando continuidade à resolução da prova da Petrobrás, hoje veremos a questão 24:

---

No sistema de numeração de base 8, os números são representados por numerais constituídos de algarismos que variam de zero a sete. Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?

(A) 154
(B) 294
(C) 328
(D) 448
(E) 572

---

Os números com três algarismos são do tipo XYZ. Como a base é 8, então X pode variar de 0 a 7. Y também pode variar de 0 a 7. Idem para Z.

O número total de números existentes pode ser calculado com o princípio fundamental da contagem (PFC).

Para a escolha de X temos 7 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Para a escolha de Y temos 8 opções, eis que é possível também escolher o algarismo 0. E para a escolha de Z temos também 8 opções.

Número total de possibilidades:

$ 7 \times 8 \times 8 = 448$

Vamos agora calcular o número de possibilidades em que não há algarismos repetidos.:

• para a escolha de X temos 7 opções
• para a escolha de Y temos 8 opções. Mas um dos algarismos já foi usado para X e não queremos repeti-lo. Então sobram 7 opções.
• para a escolha de Z temos inicialmente 8 algarismos. Mas dois deles já foram usados para X e Y e não queremos repeti-los. Sobram 6 opções.

Aplicando novamente o PFC:

$7 \times 7 \times 6 =294$

Assim, dos 448 números existentes, 294 não nos interessam, pois não apresentam ao menos um algarismo repetido.

$ 448-294=154$

Fazendo a diferença, descobrimos que 154 números atendem ao enunciado.

Gabarito: A

Análise combinatória

Na aula do meu curso de Raciocínio Lógico para STN, utilizei a questão abaixo, que trata de análise combinatória. A questão gerou dúvidas no fórum do curso, por isso resolvi abordá-la com maior detalhe. Segue enunciado:

(AFRFB 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resolução.

Começando com a solução apresentada em aula.

Para formar uma reta, nós precisamos de 2 pontos. Assim, o número total de retas é dado por:

Só que tem um problema na resolução acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C

B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos não são diferentes entre si. É a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D são, na verdade, 1 reta só. Ou seja, 5 retas estão “sobrando”, estão sendo contadas em excesso, indevidamente.

O número correto de retas fica:

Gabarito: A

A dúvida foi a seguinte: por que não fizemos a combinação de 7 pontos, tomados 4 a 4?

Nós utilizaríamos tal combinação se, de um grupo de 7 pontinhos, quiséssemos escolher 4. Mas não é o caso. O foco da questão é calcular a quantidade de retas. E cada reta é formada por dois pontinhos. São dois pontos que definem uma reta, e não 4.

Para melhor esclarecimento, considerem que temos 7 pontinhos, conforme abaixo desenhado:

 

Desenhamos 7 pontos, de modo que 4 deles são colineares, como determinado pelo enunciado. Agora nosso interesse é contar quantas retas é possível formar. Então basta irmos ligando dois pontos quaisquer, pois dois pontos definem uma reta. Abaixo, representamos as 6 primeiras retas:

Vejam que escolhemos um ponto em particular e, a partir dele, fomos traçando retas, ligando-o aos demais pontos. Então o que é relevante é de quantas formas podemos tomar dois pontinhos para formar retas (combinação de elementos, tomados 2 a 2).

Abaixo, seguem mais 5 retas:

Agora mais 4 retas:

E, finalmente, pelo fato de haver 4 pontinhos colineares, eles acabam definindo uma reta só, que é a que falta:

Total de retas: 6 + 5 + 4 + 1 = 16. São 16 retas ao todo.

Probabilidade MPOG 2005

Hoje resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(ESAF 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56

Resolução:

Vamos dividir o problema em etapas. A primeira etapa vai ser escolher a cadeira de Paulo. A segunda etapa vai ser escolher a cadeira de Pedro.

Quando Paulo se senta na primeira cadeira da fila, para Pedro só há 8 opções. Pedro só pode sentar nas cadeiras de 3 a 10, de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

Deste modo, alocando Paulo na primeira cadeira, há 8 modos de escolher a cadeira de Pedro.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na primeira cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Analogamente, quando Paulo se sentar na última cadeira, Pedro só poderá se sentar nas cadeiras de 1 a 8.

Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na décima cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Finalmente, Paulo ainda pode se sentar nas cadeiras de 2 a 9.

Neste caso, Pedro não poderá se sentar nem na cadeira imediatamente anterior, nem na cadeira imediatamente posterior, nem na própria cadeira escolhida por Paulo. Restarão, portanto, 7 opções de cadeira para Pedro.

Há 56 maneiras de Pedro e Paulo se sentarem com pelo menos uma cadeira vazia entre eles, de tal modo que Paulo ocupe uma das cadeiras de 2 a 9.

Somando tudo, temos:

Há 72 maneiras de eles ocuparem as cadeiras, deixando um lugar vazio entre eles.

Permutação circular–AFRFB 2009

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF - AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

Agora vejam outro caso:

Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

Para mais questões de concursos comentadas, veja também TecConcursos.