Probabilidade condicional

Hoje respondo a uma dúvida da Cristiane Ferreira. Não sei se é de algum concurso ou não.

 

Enunciado:

Dados A e B eventos com

calcular:

 

Resolução.

Antes de tudo, temos que relembrar a fórmula da probabilidade condicional. É a que segue:

Agora aplicamos este resultado à questão.

No numerador temos a intersecção entre dois conjuntos:

- o conjunto “A união com B”

- o conjunto B

Vejam que o segundo conjunto está contido no primeiro. Logo, a intersecção corresponderá ao conjunto menor:

Esse resultado não é tão difícil de entender. Se é dado que o evento B ocorreu, então temos certeza absoluta de que ocorreu o evento A ou o evento B (união). Por isso a probabilidade é 1.

Antes de atacarmos a letra “b”, vamos calcular a probabilidade da união:

Na letra “b”, a primeira probabilidade a ser calculada é:

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:

No numerador, queremos a probabilidade de que o evento “A” não ocorra e o evento “B” também não ocorra.

Isso é exatamente o contrário da união entre A e B. Para ficar mais claro, vejamos o diagrama:

Em amarelo temos a união entra A e B.

Em azul temos a parte do diagrama que corresponde à intersecção entre (A não ocorre) e (B não ocorre). Os eventos em amarelo e em azul são complementares.

Assim:

Agora podemos voltar no cálculo da probabilidade condicional:

Analogamente:

Por fim, outra forma de resolver a questão é trabalhar com um exemplo numérico.

Considere que tenhamos em uma urna 12 bolas numeradas de 1 a 12.

O evento A ocorre quando extraímos um bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B ocorre quando extraímos uma bola do conjunto {4, 5, 6, 7}

Com isso, vocês podem verificar que:

Se é dado que B ocorreu, então extraímos uma das seguintes bolas: 4, 5, 6, 7.

Logo, temos certeza de que o evento A união com B ocorreu. Temos certeza que alguma bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} foi extraída. Por isso a probabilidade da letra “a” é 1.

Se é dado que B não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “A” é de 5 em 8. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 8 possíveis. Por isso:

Se é dado que A não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {7, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “B” é de 5 em 6. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 6 possíveis. Por isso:

Cris, espero ter ajudado.

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Bons estudos!

Vítor

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