Variância CGU 2008

Olá pessoal. O Carlos, aluno do meu curso de estatística para o STN, pediu que eu resolvesse a questão abaixo usando a fórmula alternativa de cálculo para a variância.

Segue enunciado:

CGU 2008 [ESAF]

Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela distribuição de frequências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas frequências f.

a) 1.

b) 2,44.

c) 5,57.

d) 7,056.

e) 10.

Resolução:

Primeiro, vou iniciar pela fórmula de definição. É a mesma solução já apresentada em aula.

Para calcular o desvio-padrão, precisamos dos desvios em relação à média aritmética. Portanto, o primeiro passo é encontrar a média aritmética.

Para tanto, criamos a coluna adicional, em que multiplicamos cada valor de x pela sua frequência:

A média fica:

Um detalhe. Para esta série de dados, especificamente, não era necessário fazer o cálculo para chegar à média. Temos uma sequência simétrica. A média é simplesmente o termo do meio.

Agora podemos calcular os desvios (e) em relação à média:

Podemos agora calcular a média dos desvios ao quadrado:

A média dos desvios ao quadrado é a variância:

Agora um detalhe. Estamos trabalhando com uma amostra.

Sempre que trabalhamos com uma amostra, a variância é dita “variância amostral”. Estamos, na verdade, a partir de uma amostra, estimando a variância da população.

Para que este estimador possua uma característica importante, de modo que possamos classifica-lo como não viciado, é necessário que o denominador da variância seja trocado. Em vez de dividirmos por ‘n’, dividimos por “n – 1”. Nestes casos, o símbolo geralmente utilizado para a variância é s².

E o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância:

Gabarito: E

Agora, atendendo ao pedido do Carlos, segue nova solução, utilizando o método alternativa de cálculo da variância.

O primeiro passo é calcular a média. Já sabemos que vale 25.

O segundo passo é calcular a média dos quadrados:

Logo, a média dos quadrados fica:

A variância populacional é dada pela diferença entre a média dos quadrados e o quadrado da média:

Para calcular a variância amostral, aplicamos o fator de ajuste:

Logo:

Que é o mesmo resultado anteriormente obtido.