Regra de três–Receita Federal 2012

Olá pessoal!

Recebi hoje uma dúvida bem interessante, sobre a questão abaixo, resolvida no meu curso de RLQ:

ATFRB 2012 [ESAF]

Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a

a) 2.

b) 4.

c) 3.

d) 5.

e) 7.

Vou iniciar com a resolução apresentada em aula, depois passo à dúvida que me foi enviada.

O primeiro passo é montar a tabela com as informações dadas, para depois fazermos a regra de três.

 

Quanto mais pedreiros disponíveis, maior a área de muro construída. As grandezas são diretamente proporcionais.

Quanto mais pedreiros disponíveis, menos tempo gastaremos para construir o muro. As grandezas são inversamente proporcionais.

Agora, montamos as frações. De um lado da igualdade a fração usada como referência (pedreiros):

Do outro lado a igualdade, colocamos as demais frações multiplicando. Tomamos o cuidado de inverter aquelas que são inversamente proporcionais à quantidade de pedreiros.

Gabarito: E

Muito bem, a dúvida foi: como fazer para partir de

E chegar em:

A dúvida é bastante interessante, e merece ser analisada com calma.

Vamos começar com alguns exemplos mais simples. Observem:

Como fazer para encontrar o valor de “y”?

É o seguinte. Podemos fazer uma operação qualquer do lado esquerdo da igualdade. Se fizermos a mesma operação do lado direito, a igualdade se mantém. E vice-versa.

Então, a título de exemplo, vamos multiplicar o lado direito por 12. Com isso, eliminamos o denominador.

Abaixo, trago apenas o lado direito da igualdade, para a gente ver como ele vai ficar:

Depois da multiplicação por 12, o lado direito agora vale 3.

Para não alterar a igualdade, fazemos a mesma coisa do lado esquerdo. Vejamos como fica o lado esquerdo.

Como fizemos a mesma operação dos dois lados da igualdade, ela se mantém. Juntando os dois lados da igualdade, podemos ver como fica nossa equação:

Continuando.

Agora multiplicamos o lado esquerdo por “y”, para eliminar o denominador. Para não alterar a igualdade, fazemos a mesma coisa do lado direito:

Do lado esquerdo, simplificamos y com y:

Observem então como tudo ficou:

Isso é popularmente expresso como: “multiplicar cruzado”.

Quando temos igualdade entre frações, podemos “multiplicar cruzado”, que a igualdade se mantém. Multiplicamos um denominador pelo numerador da outra fração.

O “4” era um dos numeradores. Multiplicamos pelo denominador da outra fração, obtendo 4 x 12

O “3” era um dos numeradores. Multiplicamos pelo denominador da outra fração, obtendo 3 x “y”

Na sequência, nosso interesse é calcular “y”. Então dividimos os dois lados da igualdade por 3, para deixar que “y” fique sozinho:

Resumindo:

O 3 estava multiplicando “y”. No final, ele apareceu do outro lado da igualdade, dividindo.

Popularmente a gente diz que “passamos o 3 dividindo”.

Assim, tudo que está de um lado da igualdade, multiplicando, pode “passar para o outro lado”, dividindo.

Outro exemplo:

Multiplicando cruzado:

Agora passamos o 2 dividindo:

Outro exemplo:

Multiplicando cruzado:

Agora passamos para o outro lado dividindo:

E assim por diante.

Na questão da Esaf, foi exatamente isso que fizemos. Vejamos tudo mais passo a passo:

Do lado direito temos uma multiplicação de frações. Basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores:

Agora, “multiplicamos cruzado”:

Agora passamos dividindo:

Em seguida, podemos simplificar 210 com 3 (210 dividido por 3 dá 70):

Em outras palavras, dividimos o numerador e o denominador por 3 (o que não altera o resultado).

Agora dividimos o numerador e o denominador por 12: